GRAWITACJA I ELEMENTY FIZYKI RELATYWISTYCZNEJ
1. Elementy astronomii
1.1. Ile razy większa jest średnica kątowa tarczy Ziemi obserwowana przez astronautę na Księżycu, niż tarcza Księżyca obserwowana z Ziemi? Promień Ziemi RZ = 6370 km, a promień Księżyca RK = 1738 km.
1.2 Ile czasu biegnie światło ze Słońca na Ziemię? Jednostka astronomiczna 1AU = 149 600 000 km, a prędkość światła c=3•108
1.3. Promień wodzacy (r1 = 160 • 106 km) pewnej planety w aphelium zakreśla kąt ϕ1= 1° w ciągu doby. Jaki kąt zakreśli promień wodzący tej planety w peryhelium (r2 = 120 • 106 km) w czasie t2 = 12 h?
1.4. Dwie planety poruszają się po orbitach kołowych w jednej płaszczyznie. Promień orbity planety wewnętrznej wynosi R = 108 km , a czas jej obiegu jest k = 1,331 razy mniejszy od okresu obiegu drugiej planety. Oblicz najmniejsza i największa odleglość pomiędzy planetami.
1.5. Oblicz stosunek największej do najmniejszej prędkości liniowej planety, dla której stosunek odlegtości od Stońca w aphelium i peryhelium wynosi k. Uzasadnij odpowiedz.
1.6. Oblicz okres obiegu planety wokoł Słońca, jeśli w ciągu czasu t0 =1s promień wodzący zakreśla pole powierzchni S0 = 2 • 109 km2 (rys.1.1), promień orbity wynosi α= 3 - 108 km. Przyjmij, ze mimośród orbity jest równy zeru.
Rys. 1.1
1.7. Mimośród orbity ziemskiej wynosi = 0,017, a półoś wielka ma dtugość a = 1,5 • 1011 m. 0 ile bliżej Słońca znajduje się Ziemia w peryhelium niż w aphelium?
1.8. Na podstawie III prawa Keplera oblicz czas trwania roku na Plutonie, kt6rego odleglość od Słońca jest n = 39,5 razy większa niż odległość Ziemi od Stońca. Przyjmij, że tor planety jest okręgiem.
1.9. Oblicz okres ruchu ciała po okręgu pod wpływem siły dośrodkowej F =. Wykaż, że stosunek kwadratu okresu obiegu do sześcianu promienia okręgu jest wielkościa stała.
1.10. Udowodnij, że z zasady zachowania momentu pędu dla ruchu planety po orbicie eliptycznej wynika II prawo Keplera. Wskazówka: Iloczyn wektorowy jest miarą pola powierzchni trójkąta o boku R i podstawie ∆R.
1.11. Oblicz średnicę Galaktyki w jednostkach astronomicznych (AU)*, jeśli wiadomo, że światto przebiega od jednego jej krańca do przeciwległego w ciągu okoïo t = 105 lat.
*Jednostka astronomiczna (w skrécie AU) wynosi 149 600 000 km.
1.12. W astronomii często używa się jednostki zwanej ,,parsekiem" (parsek). Jest to skrót od słów; paralaksa sekundowa. Parsek jest to odległość do ciała niebieskiego taka, że kąt paralaksy heliocentrycznej jest równy jednej sekundzie kątowej (ϕ=1"). Oblicz tę odległośc w jednostkach astronomicznych (AU).
1.13. Oblicz średnicę Galaktyki w parsekach; patrz wyniki dwóch poprzednich zadań.
1.14. Okres obiegu planety Neptun po orbicie okołosłonecznej wynosi T = 165 lat. Oblicz (w jednostkach astronomicznych AU) średnią odleglość dN Neptuna od Słońca.
1.15. Kometa Halleya jest kometą okresową. Obiega ona Słońce w czasie około TH = 76 lat po bardzo wydłużonej elipsie o mimośródzie = 0,967. Oblicz najmniejsza odległość, na jaką kometa zbliża się do Sïońca (w jednostkach astronomicznych AU).
1.16. Przyjmując, że orbity Ziemi i Wenus są prawie kołowe i leżą w jednej płaszczyźnie oblicz średnicę kątową Wenus w chwili, gdy znajduje się ona najbliżej Ziemi. Promień orbity Wenus wynosi d = 0,72 AU, promień tej planety R = 6050 km.
1.17. Mimośród orbity eliptycznej pewnej komety jest równy = 0,85, a półoś wielka tej orbity α = 24 AU. Czy istnieje ryzyko zderzenia tej komety z Ziemią, jeśli plaszczyzna jej orbity pokrywa się z płaszczyzną orbity ziemskiej? Uzasadnij odpowiedz rachunkowo.
1.18. Z jakiej odleglości w przestrzeni kosmicznej Uklad Słoneczny, identyfikowany z najobszerniejszą orbitą Plutona o wielkiej półosi α = 39,4 AU, jest widoczny pod kątem ϕ = 5"?
1.19. Co ma większą średnicę kątową na niebie: Słońce czy Księżyc? Promienie tych cial wynoszą odpowiednio rS = 7 • 108 m, RK= 1,738 • 106 m, a ich średnie odległości od Ziemi wynoszą dS = 1,496 • 1011 m i dK = 3,844 • 108 m. Uzasadnij odpowiedź.
1.20. Największe ze znanych planetoid, Ceres i Pallas, mają okres obiegu wokół Słońca T = 4,6 roku. Istnieje hipoteza, że planetoidy pochodzą z rozpadu planety. Która bylaby to planeta, licząc od Słońca?
1.21. Które planety obserwowane z Ziemi mają wyraźne fazy podobne do faz Księżyca? Uzasadnij odpowiedź.
2. Pole grawitacyjne
2.1. W jakiej odległości od Ziemi znajduje się punkt, w którym wypadkowe natężenie pola grawitacyjnego Ziemi i Księżyca jest równe zeru? Stosunek mas Ziemi i Księżyca wynosi k = 81. Odleglość Księżyca od Ziemi d = 384 000 km.
2.2. Wykres zależności natężenia pola grawitacyjnego od odległości od środka Jowisza pokazano na rysunku 2.1.
Oblicz:
a) przyspieszenie ”jowiszowe” na jego powierzchni,
b) promień Jowisza,
c) masę Jowisza.
Rys. 2.1
2.3. Oblicz przyspieszenie ziemskie na biegunie wiedząc, że na równiku wynosi ono gr = 9,78 , a stosunek promieni równikowego do biegunowego wynosi k = 1,003.
2.4. Rysunek 2.2 przedstawia dwa ciaïa A i B o jednakowych masach znajdujące się na powierzchni Ziemi i na linii prostej łączącej srodki Słońca S, Księżyca K i Ziemi Z w chwili zaćmienia Księżyca. Si;a grawitacji działająca na ciało A znajdujące się na półkuli dziennej jest:
a) większa,
b) mniejsza,
c) taka sama jak siła grawitacji działająca na ciało B znajdujące się na półkuli nocnej.
Wybierz i uzasadnij odpowiedź.
Rys.2.2.
2.5. Ziemia jest w przybliżeniu elipsoidą obrotową. Odległość punktu na powierzchni Ziemi od jej środka jest najmniejsza na biegunach, największa zaś na równiku. W związku z tym:
a) ciężar tego samego ciała jest większy na biegunie niż na równiku,
b) stała grawitacji jest większa na biegunie niż na równiku,
c) masa ciała jest większa na biegunie niż na równiku.
2.6. Na jakiej wysokości nad powierzchnią Ziemi ciężar ciał jest o p = 0,01 mniejszy od ciężaru na powierzchni? Przyjmij promien Ziemi RZ = 6370 km.
2.7. Oblicz natężenie pola grawitacyjnego Ziemi przy jej powierzchni, a następnie - natężenie pola grawitacyjnego Słońca przy powierzchni Ziemi. Porównaj te natężenia: które z nich jest większe, ile razy? Masa Słońca jest n = 333 500 razy większa od masy Ziemi. Odległośc Ziemi od Słońca wynosi d = 1,5 • 1011 m. Promień Ziemi RZ = 6370 km.
2.8. W jakiej odległości h od powierzchni Ziemi przyspieszenie ziemskie wynosi g=l. Promień Ziemi RZ = 6370 km, a przyspieszenie ziemskie na jej powierzchni g = 9,8 .
2.9. Ile waży ciało o masie m = 150 kg na powierzchni Księżyca? Promień Księżyca jest k = razy mniejszy od promienia Ziemi, masa Księżyca jest n = 81 razy mniejsza od masy Ziemi. Przyjmij przyspieszenie ziemskie g = 9,8 .
2.10. Ile wynosi róznica ciężarów ciała o masie m = 20 kg na poziomie morza i szczycie Mount Everestu (8880 m)? Promień Ziemi RZ = 6370 km, przyspieszenie ziemskie g = 9,8.
2.11. Oblicz średnią gęstość Ziemi przy założeniu, że jest ona jednorodną kula, znając następujące dane: promień Ziemi RZ = 6370 km, przyspieszenie ziemskie g = 9,8, stata grawitacji G = 6,67.10-11
2.12. Jaką gęstość powinna mieć substancja, z której wykonano dwie kule o promieniu r = 1 m przyciągające się grawitacyjnie z odległości d = 10 m siłą F = 66,7N? Przyspieszenie zemsikie g= 9,8.
2.13. Wyraź przyspieszenie na powierzchni planety, w zależności od jej średniej gęstości i promienia.
2.14. Oblicz masę Ziemï korzystając z danych z zadania 2.11.
2.15. Na rysunku 2.3 przedstawiono wykres zależności przyspieszenia g na pewnej planetoidzie od (r - odlegtość od środka masy planetoidy). Oblicz masę tej planetoidy wiedząc, że stałagrawitacji G = 6,67.10-11
g,
Rys.2.3
,m
2.16. Na pewnej kulistej planecie doba trwa T = 3 h, a ciała na jej równiku nic nie ważą (nie wywierają nacisku na podłoże ani nie unoszą się do góry). Oblicz średnią gestość tej planety. Stala grawitacji G = 6,67.10-11
* 2.17. Na pewnej kulistej planecie przyspieszenia, z jakim ciała spadają swobodnie na biegunie i na równiku, wynoszą odpowiednio gb= 8,76 , gr =...
chomik_ravala