Mały Wykład z Mechaniki Kwantowej, Zalewski.pdf

(1122 KB) Pobierz
Notatki.dvi
Mały wykład z mechaniki kwantowej
Kacper Zalewski
27 sierpnia 2004
Spis treści
1 Stała Plancka h
3
2 Pomiary w mechanice kwantowej
11
3 Wektory stanu – zasada superpozycji
15
4 Interpretacja probabilistyczna
19
5 Reprezentacje wektorów stanu – funkcje falowe
25
6 Funkcje falowe i wektory uogólnione
31
7 Kwantowanie
37
8 Wartości średnie
43
9 Ped czastki w mechanice kwantowej
47
10 Równanie Schrödingera niezależne od czasu
51
11 Wielkości jednocześnie mierzalne
59
12 Czastki identyczne
65
13 Metoda zaburzeń
73
14 Metoda RayleighaSchrödingera
79
15 Metoda zaburzeń dla stanów zdegenerowanch
83
16 Kret czastki o spinie zero
91
17 Przestrzenie niezmiennicze i nieredukowalne wzgledem grupy
obrotów
99
18 Spin
105
19 Spin
1
2
109
20 Równanie Schrödingera dla czastki ze spinem 1/2
115
1
21 Równania ruchu – obrazy mechaniki kwantowej – równanie
Schrödingera zależne od czasu.
121
22 Stany stacjonarne i pakiety falowe
125
23 Swobodne pakiety falowe
129
24 Rozpraszanie
133
25 Obraz Heisenberga
139
26 Metoda zaburzeń zależnych od czasu
143
27 Zaburzenie stałe w czasie
147
28 Kinematyka rozpraszania elastycznego
151
29 Pierwsze przybliżenie Borna
157
30 Rozpady rezonansów
161
31 Oddziaływanie ładunku elektrycznego z polem elektromagne
tycznym
165
32 Zaburzenie harmonicznie zależne od czasu
171
33 Przejścia dipolowe elektryczne w atomach
175
2
Rozdział 1
Stała Plancka h
Za dzień narodzenia mechaniki kwantowej jest uważany 14 grudnia roku 1900.
Tego dnia, na posiedzeniu Niemieckiego Towarzystwa Fizycznego w Instytucie
Fizyki Uniwersytetu Berlińskiego czterdziestodwuletni profesor zwyczajny tego
uniwersytetu, Max Planck wygłosił referat pt ”O teorii prawa rozkładu energii
w widmie normalnym". W ciagu roku akademickiego posiedzenia Niemieckiego
Towarzystwa Fizycznego w Berlinie odbywały sie co dwa tygodnie. Uczestniczyli
w nich fizycy z różnych jednostek naukowych i nie tylko – jednym z założycieli
był słynny przemysłowiec Siemens. W porównaniu do naszych konwersatoriów
PTF te zebrania były bardziej robocze. W szczególności, w roku 1900 referaty
dotyczyły czesto promieniowania ciała doskonale czarnego, nad którym fizycy
berlińscy prowadzili badania zarówno doświadczalne jak i teoretyczne. Referat
Plancka też należał do tej serii.
Powszechnie wiadomo, że ciała rozgrzane świeca. Nateżenie światła zależy
od rodzaju świecacego ciała. Na przykład roztopione szkło świeci znacznie
słabiej niż kawałek wegla rozgrzany do tej samej temperatury. Kirchhoff w
roku 1859 pokazał metodami termodynamiki, że dla ciała w równowadze z
promieniowaniem stosunek nateżenia promieniowania emitowanego do nateżenia
promieniowania absorbowanego przy danej długości fali jest uniwersalna, nieza
leżna od rodzaju ciała i jego powierzchni funkcja długości fali i temperatury
e(ω)
a(ω) = ρ(ω, T ).
(1.1)
Zgodnie z obecnymi zwyczajami zamiast długości fali λ wprowadziliśmy tu
czestość kołowa
ω = 2πc
λ
.
(1.2)
W tym wzorze c oznacza predkość światła w próżni. Szybko zauważono, że
wzór (1.1) upraszcza sie, jeśli rozważać ciało, które absorbuje całe padajace
na nie promieniowanie niezależnie od jego długości fali. Dla takiego ciała,
nazwanego ciałem doskonale czarnym, przy odpowiednim doborze normaliza
cji, a(ω)≡1 i funkcja ρ(ω, T ) jest rozkładem energii w promieniowaniu emi
towanym. Planck zaproponował wzór na ten rozkład, który w odróżnieniu
od wzorów proponowanych przez jego poprzedników znakomicie zgadza sie z
doświadczeniem. W dzisiejszych oznaczeniach:
3
ρ(ω, T ) =
hω 3
π 2 c 3
1
.
(1.3)
hω
k B T −1
e
Iloczyn ρ(ω, T )dω, daje energie na jednostke objetości, promieniowania o czestości
kołowej z przedziału dω, znajdujacego sie w równowadze z ciałem doskonale
czarnym o temperaturze T . Ten wzór zawiera dwie stałe fizyczne: stała Boltz
manna k B , która wystepuje także we wzorze Boltzmanna łaczacym entropie
układu z liczba dostepnych układowi stanów mikroskopowych, i stała h. Oz
naczenie h, które zostało wprowadzone znacznie później przez Diraca, jest obec
nie powszechnie używane. Planck wprowadził stała h = 2πh, która została
potem na jego cześć nazwana stała Plancka. Stała h ma różne nazwy: zre
dukownana stała Plancka, hprzekreślone, lub po prostu stała Plancka. Stała
Boltzmanna wystepuje w wielu wzorach termodynamicznych. Mimo to Boltz
mann nie wyznaczył nigdy jej wartości numerycznej. We wzorach termodynam
icznych znanych Boltzmannowi przed rokiem 1900 stała k B wystepuje zawsze
pomnożona przez stała Avogadry. Ten iloczyn, oznaczany przez R i znany jako
stała gazowa, był dobrze zmierzony, ale ponieważ oszacowania liczby Avogadry
były wówczas bardzo niepewne, trudno było przejść od stałej R do stałej k B .
Porównujac swój wzór z doświadczalnym rozkładem energii w widmie ciała
doskonale czarnego, Planck wyznaczył po raz pierwszy wartość numeryczna
stałej Boltzmanna. Znajac te stała i stała gazowa wyliczył stała Avogadry.
Otrzymał bardzo rozsadny wynik, co stanowiło niezależne od widma ciała doskonale
czarnego potwierdzenie wzoru (1.3). Według obecnych danych:
h = 1, 055×10
−34 J sek.
(1.4)
Znane sa jeszcze cztery dalsze cyfry za przecinkiem, ale nie podajemy ich tu
taj. Stała Plancka ma wymiar działania, czyli iloczynu energii i czasu, lub
równoważnie pedu i drogi.
W swoim referacie Planck podał wyprowadzenie wzoru (1.3) w oparciu o
zdumiewajace współczesnych założenie, że przekazywanie energii miedzy ciałem
promieniujacym i polem promieniowania odbywa sie nie w sposób ciagły, ale
”paczkami" o energii
E = hω.
(1.5)
Sam Planck, fizyk konserwatywny, głeboko znajacy i ceniacy klasyczna fizyke,
nazwał w późniejszych wspomnieniach przyjecie tego założenia "aktem roz
paczy". Widział, że wzór (1.3) dobrze odtwarza dane i chciał go za wszelka cene
jakoś wyprowadzić. Na podstawie klasycznej elektrodynamiki przyjmowano
wtenczas, że źródłem promieniowania o czestości ω jest oscylator harmoniczny
o czestości ω. Wzór (1.5) sugerował wiec, że oscylatory harmoniczne emitujace
promieniowanie nie zmieniaja energii w sposób ciagły, ale maja poziomy en
ergetyczne odległe od siebie o wielokrotności kwantu energii hω. Później, w
oparciu o rozumowanie, które ma już wartość tylko historyczna, Planck doszedł
do słusznego wniosku, że stan oscylatora o najniższej energii ma energie 2 hω.
Tak wiec energia oscylatora harmonicznego może przyjmować tylko wartości
E n = hω(n + 1
n = 0, 1, 2, . . . .
(1.6)
4
2 ),
50441980.001.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin