wojinz.pdf

(293 KB) Pobierz
Tutaj i w wielu innych przypadkach powinniśmy wykorzystać algebrę liczb zespolonych, ponieważ każde równanie wyrażone licz...
Tadeusz Wojnakowski
Zastosowanie funkcji inżynierskich w arkuszach kalkulacyjnych
zadania z rozwiązaniami
Funkcje inżynierskie występują we wszystkich arkuszach kalkulacyjnych jak Excel w
MS Office Windows czy Gnumeric lub Kspread w systemie Linux. Jeśli bezpośrednio
funkcje inżynierskie nie występuje w MS Office to należy je dograć wykonując następu-
jące polecenia Po uruchomieniu Excela klikamy na narzędzia następnie w dodatki i wy-
bieramy Analysis ToolPak . Teraz sprawdzamy klikając w wstaw, funkcje i szukamy
funkcji inżynierskich. W funkcjach inżynierskich mamy m. in. funkcje zespolone zaczy-
nające się od znaków IM, funkcje Bessela, formuły dokonujące przekształceń różnych
systemów liczb i inne. W tym artykule zajmiemy się funkcjami zespolonymi, formułami
dokonującymi zamiany systemu liczenia liczb oraz funkcjami Bessela co stanowią około
90% funkcji inżynierskich w arkuszu (jest ich 39 omówiłem ok. 34). Formuły zespolone
omówione w rozdziale I będziemy stosować i omawiać w oparciu o zadania z elektroniki,
przydatne dla nauczycieli matematyki, którzy uczą przedmiotu matematyki w szkłach
policealnych informatycznych. Zamiany systemu liczb (rozdział II) będziemy stosować
do zadań matematycznych, które są w podręczniku metodycznym dla klasy V szkoły
podstawowej (Matematyka – „Krok po kroku” – Beata Kossakowska, Beata Murawska)
oraz będziemy stosować przelicznik liczb w rejestrach systemu operacyjnego. Ten roz-
dział będzie przydatny dla nauczycieli nauczających systemy operacyjne i oprogramo-
wanie biurowe. Natomiast funkcje inżynierskie Bessela wykorzystamy do równania pola
elektromagnetycznego w światłowodach cylindrycznych, które obecnie przeżywają
ogromny rozwój w technologii sieci komputerowej. Ten ostatni rozdział będzie przydatny
dla nauczycieli uczących sieci komputerowe i urządzenia techniki komputerowej.
1
I.
Zastosowanie liczb zespolonych w arkuszu kalkulacyjnym Gnume-
ric i KSpread w systemie Linux i MS Excel systemu Windows
Zastosowanie liczb zespolonych w różnych dziedzinach nauk ma ogromne znaczenie na
przykład wprowadzenie liczb zespolonych w elektrotechnice daje nam pełniejszą infor-
macje o przebiegu zjawiska. Załóżmy, że w obwodzie RLC otrzymaliśmy następujące
równanie:
1
2
U
=
i
R
2
+
ω
L
−
(1)
0
0
ω
C
Widzimy, że powyższy wzór nie daje nam informacji o stosunkach fazowych . Tutaj i w
wielu innych przypadkach powinniśmy wykorzystać algebrę liczb zespolonych. Wyko-
rzystując liczby zespolone nasze powyższe równanie przyjmuje postać:
1
2
U
= 0
i
R
2
+
ω
L
−
⋅
e
j
ϕ
(2)
0
ω
C
Te równanie wyrażone liczbami zespolonymi kryje w sobie dwa równania zawiera-
jące wielkości mierzalne:
- jedno wynika z równości części rzeczywistych (wzór 1)
- drugie wynika z równości części urojonych
W tej pierwszej części równania można wyznaczyć moduł, dający informacje o war-
tości zawady dla prądów zmiennych, drugi pozwoli wyznaczyć argument, dający in-
formacje o stosunkach fazowych. Zakładamy, że ω to częstość kołowa wtedy postać
wykładnicza liczby zespolonej zapiszemy wzorem:
e j
ϕ
=
cos
ϕ
+
j
sin
ϕ
Jeszcze innym przykładem, w którym stosujemy liczby zespolone jest fala elektro-
magnetyczna. Jeżeli przykładowo rozpatrzymy falę elektromagnetyczną rozchodzą-
cą się w kierunku z to wyraża się następującym wzorem:
π
B
=
2
E
e
6
y
x
2
i
439128959.004.png
we wzorze mamy dwie części i możemy powiedzieć, że pole magnetyczne B jest
2 razy większe, co do wartości bezwzględnej od pola elektrycznego E i opóźnione
w stosunku do niego o 30 stopni kąta fazowego.
Do szybszego rozwiązania funkcji zespolonych mogą posłużyć nam arkusze kalku-
lacyjne. W systemie Linux występują dwa arkusze kalkulacyjne. Jeden o nazwie
Gnumeric należy do środowiska graficznego GNOME, a drugi KSpread do środowi-
ska KDE. Aby uruchomić jeden z nich wystarczy wybrać dowolne środowisko gra-
ficzne. W arkuszach kalkulacyjnych występują funkcje inżynieryjne a w nich funkcje
zespolone, których jest około 15. Podstawowe funkcje zespolone omówię na przy-
kładzie zadań. Podaję rozwiązanie matematyczne i rozwiązanie informatyczne w ar-
kuszu kalkulacyjnym. Funkcje zespolone, które w odróżnieniu od liczb rzeczywistych
mają w nazwie formuły dwie pierwsze litery IM od słowa angielskiego imaginary –
urojony.
Zad. 1
Obliczyć moduł liczby zespolonej
z
=
4
.
Rozwiązanie : Stosujemy wzór matematyczny:
|
z +
=
x
2
y
2
gdzie
x ∈
y
R
wtedy po-
stać algebraiczna liczby zespolonej z jest następująca
z =
x +
yi
to otrzymamy wy-
nik: liczba rzeczywista Re = 4, urojona Im = 0 wtedy
z
=
4
2
+
0
2
=
16 = . Spraw-
4
dzamy w arkuszu np. Gnumeric wpisując do dowolnej komórki formułę zespoloną: -
część rzeczywista: =IMREAL (”4”) - część urojona: = IMAGINARY (4+0i)
* Cudzysłów w nawiasach nie jest obowiązkowy natomiast obowiązkowy w MS
Excel-u.
Zad. 2.
Linia o impedancji charakterystycznej Zo jest zakończona impedancją Z k = (70 + 30i)
Ω ; należy znaleźć wartość modułu i argumentu dla znormalizowanej impedancji z k .
Rozwiązanie :
3
|
,
439128959.005.png
Zakładamy, że standardem w Polsce i USA impedancja charakterystyczna wynosi Zo
= 50 Ω .
Stosujemy wzór:
z
=
Z
k
=
70
+
30
i
=
1
4
+
0
i
k
Z
50
o
W arkuszy piszemy: =IMDIV (70+30i;50) otrzymamy wynik jw.
Moduł obliczymy ze wzoru:
z
=
1
4
2
+
0
2
=
1,523
W arkuszu piszemy: =IMABS (1,4+0,6i) otrzymamy wynik jw.
Szukamy argument; zakładamy, że argumentem liczby zespolonej z nazywamy licz-
bę ϕ spełniający układ równań:
cos
ϕ i
=
x
sin
ϕ
=
y
oraz
tg
ϕ
=
y
|
z
|
| z
|
x
cos
ϕ
=
a
=
1
4
=
0
919
oraz
sin
ϕ
=
b
=
0
=
0
394
|
z
|
1
523
|
z
|
1
523
tan
ϕ
=
sin
ϕ
=
0
394
=
0
428
cos
ϕ
0
919
Rozwiązanie w arkuszu: argument liczby zespolonej w arkuszu otrzymamy z formu-
ły: =IMARGUMENT (”1,4+0,6i”) i mamy 0,4048 natomiast tan(0,4048)=0,428.
Zad. 3
Znaleźć wartość admitancji znormalizowanej y k jeżeli impedancja znormalizowana
jest z k =1,4+0,6i.
Rozwiązanie : Wiemy ze wzoru matematycznego, że admitancja znormalizowana
wyraża się następującym wzorem: y k =z -1 to po podstawieniu otrzymamy: y k = 0,6-
0,26i
Rozwiązanie w arkuszu: piszemy formułę na potęgowanie = IMPOWER (1,4+0,6i;-1)
otrzymamy 0,6-0,26i
Zad. 4
Udowodnij, że w zbiorze liczb zespolonych
4 −
{
2
2
4
=
439128959.006.png 439128959.007.png
Rozwiązanie matematyczne: szukamy, dla jakiego kąta mamy takie same ϕ
ϕ = 0, bo sin 0 o = 0 oraz cos 0 o = 1 powołując się na wzór de Moivre’a dla pier-
wiastków
z
=
n
r
⋅
(cos
ϕ
+
2
k
π
+
j
sin
ϕ
+
2
k
π
)
gdzie r = |z|
k
n
n
otrzymujemy
z
=
2
4
⋅
(cos
0
+
2
⋅
0
⋅
π
+
j
sin
0
+
2
⋅
0
⋅
π
)
0
2
2
z
=
4
⋅
(cos
0
0
+
j
sin
0
0
)
=
4
⋅
(
+
0
=
4 =
2
0
z
=
2
4
⋅
(cos
0
+
2
⋅
1
⋅
π
+
j
sin
0
+
2
⋅
1
⋅
π
)
1
2
2
z
1
=
4
⋅
(cos
π j
+
sin
π
)
=
4
⋅
(
−
1
+
0
=
−
4 −
=
2
zostało udowodnione, że z zbiorze liczb zespolonych mamy –2 i 2 .
Rozwiązanie z zastosowaniem arkusza kalkulacyjnego
=IMSQRT (4) Otrzymujemy 2 i należy zgodnie z modułem i naszymi obliczeniami
matematycznymi podać liczbę przeciwną do wyniku, której arkusz nie podaje i obo-
wiązuje dla pierwiastka drugiego stopnia oraz parzystego stopnia np. :
=IMSQRT(5+12i) otrzymamy: 3-2i i zgodnie z zasadą -(3-2i) czyli -3+2i
Zad. 5
Zapisać w postaci trygonometrycznej otrzymane wyniki z równania kwadratowe-
go
z
2
+ z
4
+
5
=
0
, z
1 = -2 +i oraz z 2 = -2 –i .
Rozwiązanie : Wykorzystując wzór z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) szukamy modułu
|
z +
=
a
2
jb
2
= >r
r
=
(
−
2
2
+
1
2
=
5
cos
ϕ
= a
=
−
2
=
−
0
8944
sin
ϕ
= b
=
1
=
0
4472
r
5
r
5
5
|
439128959.001.png 439128959.002.png 439128959.003.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin