20090906153629!Zagadnienia.pdf

(276 KB) Pobierz
234293172 UNPDF
TematykaegzaminuzPodstawsterowania
RafałTrójniak
6wrze±nia2009
Spis tre±ci
1Rozwi¡zanetematy 2
1.1 Napisa¢ równanie ró»niczkowe dla zbiornika z odpływem grawi-
tacyjnym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Definicja transformaty Laplace’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Co to jest transmitancja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Dla skalarnego liniowego równania ró»niczkowego n-tego rz¦du
napisa¢ transmitancj¦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5 Co to jest impulsowa funkcja przej±cia . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.6 Poda¢ trzy warunki jakie musz¡ zaj±¢ aby mo»na było sterowa¢
w układzie otwartym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.7 Poda¢ kształt odpowiedzi na skok i delt¦ Diraca dla członu : . . . 3
1.8 Po co stosuje si¦ kryterium Hurwitza ? . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.9 Jaki wzór opisuje kształt wyj±cia w stanie ustalonym y(t) dla
t !1 , systemu o transmitancji G(s) na sterowanie sygnałem u ( t ). 4
1.10 Czego dotyczy stabilno±¢ w sensie Lapunowa, a czego stabilno±¢
w sensie BIBO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.11 Okre±li¢ stabilno±¢ obiektu G 1 i G 2 w sensie Lapunowa i w sensie
BIBO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.12 Napisa¢ macierzowe równanie stanu układu liniowego . . . . . . . 4
1.13 Napisa¢ rozwi¡zanie równania stanu przyjmuj¡c t 0 = 0 . . . . . . 5
1.14 Warunek konieczny i wystarczaj¡cy stabilno±ci asymptotycznej
dla układu liniowego sdyskretnego . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.15 Poda¢ kryterium sterowalno±ci stanu dla układu liniowego . . . . 5
1.16 Poda¢ kryterium obserwowalno±ci stanu dla układu liniowego . . 5
2Nierozwi¡zanetematy 6
2.1 Narysowa¢ schemat poł¡cze« dla realizacji transmitancji G ( s )
wykorzystuj¡c człony całkuj¡ce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Napisa¢ wzór na funkcj¦ sterowania u k realizowanego przez dys-
kretny regulator PID tylko z wykorzystaniem warto±ci próbek
u k − 1 i próbek pomiarowych bł¦du 1 (ilu?) . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Warunek konieczny i wystarczaj¡cy stabilno±ci asymptotycznej
układu liniowego ci¡głego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4 Poda¢ przykłady wska¹ników jako±ci przebiegu regulacji stoso-
wane dla strojenia regulatorów PID . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.5 Jakie s¡ główne własno±ci regulatora typu LQR odmienne od
regulatora PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1
2.6 Po co stosuje si¦ obserwatory stanu i jaka jest posta¢ równania
asymtotycznej estymacji stanu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3Zadaniazzerówki-grupaA 6
3.1 Dwa zbiorniczki równolegle z tym samym wej±ciem . . . . . . . . 6
3.2 2. Co to jest transmitancja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3 3. Kryterium obserwowalno±ci układu liniowego. . . . . . . . . . 7
3.4 4. Jakie własno±ci ma regulator LQR inne ni» regulator PID. . . 7
4Zadaniazzerówki-grupaB 7
4.1 Dwa zbiorniczki poł¡czone szeregowo. Jakie± tam dane. . . . . . 7
4.2 Czym jest odpowied¹ impulsowa (chyba?) . . . . . . . . . . . . . 7
4.3 Kryterium sterowalno±ci. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.4 Kryterium jako±ci doboru parametrów dla regulatorów PID . . . 7
1 Rozwi¡zane tematy
1.1 Napisa¢ równanie ró»niczkowe dla zbiornika z odpły-
wem grawitacyjnym
• Q 1 - pr¦dko±¢ odpływu wody przez szczelin¦
• h ( t ) - poziom cieczy w zbiorniku
• R - Stała okreslaj¡ca pr¦dko±¢ odpływu wody przez otwór (Opór)
• - g¦sto±¢ cieczy
• P - Pole powieszchni tafli wody (const)
Q 1 = h ( t )
R
(1)
h ( t ) = − 1
PR h ( t ) +
1
P Q ( t ) P = const
(2)
h ( t ) = − 1
R h ( t ) +
1
Q ( t )
(3)
W stanie ustalonym :
h ( t ) = − 1
R h ( t ) +
1
Q ( t ) = 0
(4)
1
R h ( t ) =
1
Q ( t ) = 0 )
R = Q ( t )
= 0
(5)
1.2 Definicja transformaty Laplace’a
L [ f ( t )] = F ( s ) =
Z 1
0 − f ( ) e − s d s = + j!
(6)
2
h ( t )
234293172.001.png
 
1.3 Co to jest transmitancja
Jest to stosunek transformaty Laplace’a funkcji wyj±cia systemu, do transfor-
maty Laplace’a funkcji wej±ci systemu. Zakładamy zerowe warto±ci wej±ciowe.
1.4 Dla skalarnego liniowego równania ró»niczkowego n-
tego rz¦du napisa¢ transmitancj¦
a n y ( n ) ( t ) + a n − 1 y ( n − 1) ( t ) + ... + a 0 y ( t ) = b 0 u ( t )
(7)
Y ( s )( a n s n + a n − 1 s n − 1 + ... + a 0 ) = U ( s ) b 0 u
(8)
Y ( s ) =
b 0
a n s n + a n − 1 s n − 1 + ... + a 0 U ( s )
(9)
G ( s ) = Y ( s )
U ( s )
=
b 0
a n s n + a n − 1 s n − 1 + ... + a 0
(10)
1.5 Co to jest impulsowa funkcja przej±cia
• Jest to odpowied¹ układu na delt¦ diraca
• Pochodna odpowiedzi układu h (4) na skok jednostkowy
g ( t ) = d h t
dt
• Oryginał transmitancji G(s), czyli odwrotna transformata Laplace’a Trans-
mitancji
Y ( s ) = G ( s ) U ( s ) , U ( s ) = 1 ) Y ( s ) = G ( s ) y ( t ) = g ( t )
1.6 Poda¢ trzy warunki jakie musz¡ zaj±¢ aby mo»na było
sterowa¢ w układzie otwartym
Wszystkie poni»sze warunki musz¡ zosta¢ spełnione:
• Obiekt jest stabilny
• Obiekt jest bardzo dobrze znany
• Zagwarantowane zostało, »e w czasie sterowania nie pojawi¡ si¦ zakłucenia
zewn¦trzne, ani obiekt si¦ nie zmieni
1.7 Poda¢ kształt odpowiedzi na skok i delt¦ Diraca dla
członu :
• Całkuj¡cego
• Inercyjnego
• Całkuj¡co-inercyjnego
• ró»niczkuj¡co-inercyjnego
• drugiego rz¦du inercyjnego
• Drugiego rz¦du oscylacyjnego
Rozwi¡zanie w sprawozdaniu nr 2.
3
234293172.002.png
1.8 Po co stosuje si¦ kryterium Hurwitza ?
Stosuje si¦ je, aby na podstawie transmitancji układu okre±li¢, czy jest on asymp-
totycznie stabilny.
1.9 Jaki wzór opisuje kształt wyj±cia w stanie ustalonym
y(t) dla t !1 , systemu o transmitancji G(s) na ste-
rowanie sygnałem u ( t ) .
u ( t ) = A sin( !t )
W stanie ustalonym na wyj±ciu zawsze pojawi si¦ sygnał sinusoidalny, o
takiej samej cz¦stotliwosci jak ten na wej±ciu, ale o przesuni¦tej fazie i innej
amplitudzie.
1.10 Czego dotyczy stabilno±¢ w sensie Lapunowa, a czego
stabilno±¢ w sensie BIBO
Stabilno±¢wsensieLapunowa bierze pod uwag¦ warunki pocz¡tkowe.
Układ jest stabilny w sensie Lapunowa, je±li ka ka»dych warunków pocz¡tko-
wych wyj±cie układu d¡»y do zera przy zerowym sterowaniu.
Stabilno±¢wsensieBIBO Układ jest stabilny w sensie BIBO, je±łi na
ograniczone sterowanie zawsze reaguje ograniczon¡ odpowiedzi¡.
1.11 Okre±li¢ stabilno±¢ obiektu G 1 i G 2 w sensie Lapuno-
wa i w sensie BIBO
G 1 ( s ) =
1
s 2
(11)
G 2 ( s ) = s − 1
s − 1
( s − 1) s =
1
s
s 2 − s =
(12)
G 1 ( s ) to układ całkuj¡cy II rz¦du. Jest niestabilny w sensie Lapunowa, wi¦c
niestabilny w ±¦sie BIBO
G 2 ( s ) !!TODO!!
1.12 Napisa¢ macierzowe równanie stanu układu liniowe-
go
x ( t ) = Ax ( t ) + Bu ( t )
y ( t ) = Cx ( t ) + Du ( t )
(13)
dim[ A ] = p × p
(14)
dim[ B ] = p × n
(15)
dim[ C ] = m × p
(16)
dim[ D ] = m × n
(17)
4
234293172.003.png
1.13 Napisa¢ rozwi¡zanie równania stanu przyjmuj¡c t 0 =
0
Z t
x ( t ) = e At x 0 +
e A ( t − ) Bu ( )d
(18)
0
1.14 Warunek konieczny i wystarczaj¡cy stabilno±ci asymp-
totycznej dla układu liniowego sdyskretnego
Warunkiem koniecznym i wystarczaj¡cym asymptotycznej stabilno±ci układu
liniowego, stacjonarnego, dyskretnego jest, aby wszystkie pierwiastki równa-
nia charakterystycznego macierzy A d le»ały wewn¡trz koła jednostkowego, tzn.
| z i | < 1 dla i = 1 ,...,n .
System b¦dzie stabilny, je±li na okr¦gu jednostkowym, b¦d¡ le»ały tylko jed-
nokrotne pierwiastki wielomianu minimalnego.
1.15 Poda¢ kryterium sterowalno±ci stanu dla układu li-
niowego
Sterowalno±¢ układ jest całkowicie sterowalny, je»eli sterujac ograniczonym
przedziałami, ci¡głym sterowaniem, mo»na układ przprowadzic w sko«czonym
czasie z dowolnego stanu pocz¡tkowego x o do dowolnego stanu ko«cowego x k .
Kryteriumsterowalno±ci Układ opisany równaniem stanu
x = Ax + Bu
(19)
jest całkowicie sterowalny, gdy w jego transmitancji lub transmitancji macierzo-
wej nie ma skróce« (czyli zera licznika ró»ne od zer mianownika).
Twierdzenie Warunkiem koniecznym i dostatecznym X-sterowalno±ci układu
liniowego, stacjonarnego jest, aby rz¡d macierzy Q c był równy długo±ci wektora
stanu.
(20)
1.16 Poda¢ kryterium obserwowalno±ci stanu dla układu
liniowego
Obserwowalno±¢ Układ jest całkowicie obserwowalny, je»eli na podstawie
znajomo±ci sterowania u ( t o ,t k ) i na podstawie znajomo±ci y ( t o ,t k ), mo»na wy-
znaczy¢ stan pocz¡tkowy układu x (w chwili t = t o ).
Transmitancja operatorowa i transmitancja macierzowa opisuja jedynie cał-
kowicie obserwowaln¡ i sterowaln¡ cz¦±¢ systemu.
Kryteriumobserwowalno±ci Układ opisany równaniem stanu oraz równa-
niem wyj±cia
(21)
jest całkowicie obserwowalny, gdy rz¡d macierzy G jest równy długo±ci wektora
stanu.
5
Q c = B AB A 2 B ... A n − 1 B
x = Ax + Bu
y = Cx + Du

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin