cwicz11-15.pdf

(39 KB) Pobierz
cwicz11-15
Pochodne funkcji
WZiE, sem.I, 2008-09
Zastosowanie pochodnych funkcji
mgr K. Kujawska, SNM
Zad.1 Korzystając z definicji, obliczyć pochodne następujących funkcji w podanym punkcie x 0 :
1.1
f
(
x
)
=
4
x
2
+
2
x
,
x
=
-
2
1.2
f
(
x
)
=
x
+
1
,
x
=
3
1.3
f
(
x
)
=
2
3
x
-
5
,
x
=
3
0
0
x
-
2
0
1.4
f
(
x
)
=
sin
x
,
x
0 p
=
3
.
Zad.2 Obliczyć pochodne następujących funkcji:
2
x
7
3
x
-
1
×
x
3
2.1
f
(
x
)
=
-
-
2
x
6
+
x
5
-
3
2.2
f
(
x
)
=
2.3
f
(
x
)
=
e
x
×
(
3
x
-
3
+
x
)
7
5
3 4
x
5
x
2
-
x
4
2.4
f
(
x
)
=
2.5
f
(
x
)
=
2.6
f
(
x
)
=
x
5
+
5
ln
x
+
5
x
2
+
2
x
-
3
x
4
+
4
x
2
x
2.7
f
(
x
)
=
cos
4
x
+
ln
3
x
2.8
f
(
x
)
=
arctg
(ln
x
)
+
e
-
sin
x
2.9
f
(
x
)
=
cos
x
2.10
f
(
x
)
=
x
2
×
arcsin
3
x
2.11
f
(
x
)
=
ln
2
x
+
ln
x
2
2.12
f
(
x
)
=
ln
arctg
e
2
x
2.13
f
(
x
)
=
2
+
5
ln
3
5
x
2.14
f
(
x
)
=
arcctg
2
2.15
f
(
x
)
=
arccos
x
+
4
1
-
4
x
x
2.16
f
(
x
)
=
arccos
2
(
x
-
2
2.17
f
(
x
)
=
2
sin 4
x
×
log
(
x
2
-
4
2.18
f
(
x
)
=
ln
ln
x
2
2
x
2.19
f
(
x
)
=
sin
2
(log
3
x
)
2.20
f
(
x
)
=
ln
2
x
+
4
x
2
+
1
2.21
f
(
x
)
=
5
x
-
6
2
x
+
4
x
2
+
1
-
1
2.22
f
(
x
)
=
ln
2.23
f
(
x
)
=
(ln
x
)
x
2.24
f
(
x
)
=
x
arcsin
x
x
2.25
f
(
x
)
=
(cos
x
)
sin
x
2.26
f
(
x
)
=
cos
( )
x
ln
x
2.27
f
(
x
)
=
x
cos
x
.
Zad.3 Obliczyć drugie pochodne następujących funkcji:
3.1
f
(
x
)
=
ln(ln
x
)
3.2
f
(
x
)
=
1
tg
2
x
+
ln
cos
x
3.3
f
(
x
)
=
arctg
2
x
2
3.4
f
(
x
)
=
x
×
7
x
3.5
f
(
x
)
=
cos
4
x
3.6
f
(
x
)
=
x
x
.
Zad.4 Dana jest krzywa
f
(
x
)
=
e
-
x
2
i jej punkt
P
=
(
e
-
)
. Napisać równanie stycznej i normalnej w
punkcie P do danej krzywej.
Zad.5 Wyznaczyć współrzędne takiego punktu A, Ŝe styczna do wykresu funkcji f w punkcie A jest
równoległa do prostej k :
5.1
f
(
x
)
=
-
e
4
x
,
k
:
4
x
+
y
=
0
5.2
f
(
x
)
=
-
ln(
3
x
+
2
),
k
:
3
x
+
5
y
=
0
5.3
f
(
x
)
=
-
3
x
+
1
,
k
:
3
x
+
8
y
+
2
=
0
5.4
f
(
x
)
=
cos
2
x
,
x
Î
(
-
p
,
p
),
k
:
x
-
y
+
3
=
0
Zad.6 Wyznaczyć współrzędne takiego punktu A, Ŝe styczna do wykresu funkcji f w punkcie A jest
prostopadła do prostej k :
6.1
f
(
x
)
=
10
ln(
4
x
+
1
),
k
:
3
x
+
8
y
-
16
=
0
6.2
f
(
x
)
=
sin
2
1
x
,
x
Î
(
0
2
p
),
k
:
x
+
8
y
-
3
=
0
3
2
Zad.7 Pod jakim kątem przecinają się krzywe:
7.1
f
(
x
)
=
x
2
+
x
-
2
g
(
x
)
=
x
2
-
x
7.2
f
(
x
)
=
1
,
g
(
x
)
=
1
x
2
.
x
8
Zad.8 Zbadać róŜniczkowalność funkcji:
x
-
1
,
x
<
0
x
(
x
-
1
,
x
<
1
8.1
f
(
x
)
=
8.2
f
(
x
)
=
8.3
f
(
x
)
=
x
2
-
x
.
2
ln(
1
+
x
)
,
x
³
0
x
-
1
,
x
³
1
71856745.010.png 71856745.011.png 71856745.012.png 71856745.013.png 71856745.001.png 71856745.002.png 71856745.003.png
Zad.9 Wyznaczyć parametry a i b , dla których podane funkcje są róŜniczkowalne w R:
x
+
1
x
£
0
ae
x
+
b
,
x
£
0
9.1
f
(
x
)
=
9.2
f
(
x
)
=
.
a
sin
x
+
b
cos
x
,
x
>
0
2
-
x
,
x
>
0
Zad.10 Korzystając z róŜniczki funkcji obliczyć przybliŜone wartości podanych wyraŜeń:
10.1
arcctg
(
0
99
)
10.2
ln(
1
03
)
10.3 arccos(0,51)
10.4 4
15 .
98
Zad.11 Obliczyć granice:
x
-
arctgx
e
x
-
e
-
x
-
2
x
p
-
2
arctgx
11.1
lim
11.2
lim 0
11.3
lim
3
x
-
sin
x
1
x
®
0
x
x
®
x
®
¥
ln
1
+
x
11.4
lim 0 +
ln
sin
2
x
11.5
lim 1
ln(
1
-
x
)
11.6
lim 1
cos
ln(
x
-
1
ln
sin
x
ln(sin(
1
-
x
))
x
x
®
x
®
-
x
®
+
ln(
e
-
e
)
11.7
lim 0
ctgx
-
1
11.8
lim 1
x
-
1
11.9
lim
e x
sin
x
-
x
(
+
x
)
x
x
-
1
ln
x
3
x
®
x
®
x
®
0
x
1
x
1
11.10
lim
x
e
-
1
11.11
lim
(
x
-
3
×
e
x
-
3
11.12
lim 5
sin(
2
x
-
1
×
tg
p
x
x
®
¥
x
®
3
+
x
®
0
,
1
tgx
2
x
2
1
x
11.13
lim 0
x
11.14
lim 0
arctgx
11.15
lim
1
+
p
2
x
®
x
®
x
®
¥
x
6
11.16
lim
x
1
+
2
ln
x
11.17
lim +
®
x sin
x
11.18
lim 0 +
(sin
x )
x
x
®
0
+
x
0
x
®
1
( )
( )
2
x
e
5
x
-
cos
7
x
ln
1
+
7
x
11.19
lim
×
arccos
x
11.20
lim
11.21
lim
.
p
7
x
x
+
cos
5
x
-
e
ln
1
+
6
x
®
0
x
®
0
x
®
¥
Zad.12 Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji:
3
x
2
-
4
2
12.1
f
(
x
)
=
12.2
f
(
x
)
=
e
2
x
-
x
12.3
f
(
x
)
=
x
3
×
e
x
9
-
x
2
1
x
12.4
f
(
x
)
=
x
2
×
e
x
12.5
f
(
x
)
=
2
arctgx
-
ln(
x
2
+
1
12.6
f
(
x
)
= 2
+
arcctgx
12.7
f
(
x
)
=
x
4
-
10
x
2
+
16
ln
x
12.8
f
(
x
)
=
ln
3
x
+
6
ln
2
x
12.9
f
(
x
)
=
1
+
5
arctgx
x
12.10
f
(
x
)
=
2
x
3
-
3
x
2
-
12
x
+
12
ln
x
12.11
f
(
x
)
=
6
arctg
(
x
-
3
-
2
x
+
ln(
x
2
-
6
x
+
10
)
.
Zad.13 Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji w podanym przedziale:
x
2
13.1
f
(
x
)
=
,
x
Î<
4
e
;
e
>
13.2
f
(
x
)
=
4
x
-
5
arctgx
,
x
Î<
0
;
1
>
ln
x
13.3
f
(
x
)
=
(
2
-
x
)
x
2
+
1
,
x
Î<
0
;
2
>
13.4
f
(
x
)
=
100
-
x
2
,
x
Î<
-
6
;
8
>
13.5
f
(
x
)
=
arctg
1
-
x
,
x
Î<
0
;
1
>
13.6
f
(
x
)
=
2
x
3
-
3
x
2
-
36
x
-
8
,
x
Î<
-
3
;
6
>
.
1
+
x
Zad.14 Wyznaczyć przedziały wklęsłości i wypukłości wykresu funkcji oraz współrzędne punktów przegięcia:
14.1
f
(
x
)
=
-
3
x
4
-
4
x
3
+
6
x
2
+
x
14.2
f
(
x
)
=
x
3
×
e
-
x
14.3
f
(
x
)
=
x
2
-
8
ln(
1
+
e
x
)
14.4
f
(
x
)
=
x
2
-
2
x
+
2
x
ln
x
14.5
f
(
x
)
=
-
7
ln
(
7
x
2
+
7
)
14.6
f
(
x
)
=
x
3
+
12
arctgx
.
Zad.15 Wyznaczyć równania asymptot wykresu funkcji:
2
x
2
-
x
+
1
1
3
15.1
f
(
x
)
=
15.2
f
(
x
)
=
e
1
-
x
2
15.3
f
(
x
)
=
2
x
+
x
+
3
x
e
-
1
15.4
f
(
x
)
=
x
×
e
x
15.5
f
(
x
)
=
2
x
+
1
arcctgx
15.6
f
(
x
)
=
x
×
arctg
2
x
x
15.7
f
(
x
)
= p
x
15.8
f
(
x
)
=
x
×
(
p
-
2
arctgx
)
15.9
f
(
x
)
=
ln(
1
+
e
-
x
)
.
-
2
arctgx
,
71856745.004.png 71856745.005.png 71856745.006.png 71856745.007.png 71856745.008.png 71856745.009.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin