Matematyka wedyjska.pdf

Matematyka wedyjska

Matematyka wedyjska to system szybkiego liczenia w pamięci, stworzony przez

Hindusów i opisany w Wedach. Został ponownie odkryty w XX wieku przez historyka i

badacza sanskrytu, Bharatiego Krisznę.

Matematyka wedyjska to system szybkiego liczenia w pamięci, stworzony przez Hindusów i

opisany w Wedach . Został ponownie odkryty w XX wieku przez historyka i badacza

sanskrytu, Bharatiego Krisznę.

Możliwości matematyki wedyjskiej są jeszcze potężniejsze niż systemu Trachtenberga .

Pozwala ona na konwertowanie ułamków typu 14/89 na ułamki dziesiętne, podnoszenie

dużych liczb do kwadratu, mnożenie liczb przez 9,99,999 itp. i wiele innych działań.

Matematyka wedyjska oparta jest na 16 sutrach:

1. Przez jeden więcej niż poprzednia.

2. Wszystkie od 9, ostatnia od 10.

3. Pionowo i na krzyż.

4. Przenieś i zastosuj.

5. Jeśli samuccaya jest równa, to jest zerem.

6. Gdy jedno jest stosunkiem, inne jest zerem.

7. Przez dodawanie i odejmowanie.

8. Przez dopełnienie lub jego brak.

9. Rachunek różniczkowy.

10. Przez niedostatek.

11. Specyficzny i ogólny.

12. Reszta z ostatniej cyfry.

13. Ostatni i podwojony przedostatni.

14. Przez jeden mniej niż przez poprzedni.

15. Produkt sumy.

16. Wszystkie mnożniki.

Nie do każdej sutry udało mi się odnaleźć odpowiadające jej metody. Gdyby ktoś z Was

dysponował odpowiednimi materiałami, bardzo proszę o kontakt.

I Przez jeden więcej niż poprzednia

Nazwa angielska: By one more than the one before. Nazwa indyjska: Ekadhikena Purvena

1. Podnoszenie do kwadratu liczb kończących się na 5.

Bierzemy cyfrę dziesiątek, mnożymy ją przez liczbę o jeden od niej większą. Do otrzymanej

liczby dopisujemy 25.

15^2 = 1*2 (2 o jeden większa od 1) | 5*5 = 2 | 25 = 225

35^2 = 3*4 (4 o jeden większa od 3)| 5*5 = 12 | 25 = 1225

75^2 = 7*8 (8 o jeden większa od 7)| 5*5 = 56 | 25 = 5625

125^2 = 12*13 (13 o jeden większa od 12) | 25 = 156 | 25 = 15625

2. Mnożenie liczb dwucyfrowych typu xy i xz (gdzie y+z=10)

Bierzemy cyfrę dziesiątek, mnożymy ją przez liczbę o jeden od niej większą. Do otrzymanej

liczby dopisujemy iloczyn cyfr dziesiątek. 29*21 = 2*3 (3 o jeden większa od 2) | 09 (9*1) =

609

32*38 = 3*4 (4 o jeden większa od 3) | 16 (2*8) = 1216

74*76 = 7*8 (8 o jeden większa od 7) | 24 (4*6) = 5624

3. Rozwinięcia dziesiętne liczb typu 1/19, 15/29, 45/69

1/19

Zaczynamy od licznika, którym jest 1. Dzielimy go przez 2 (2 o jeden większe od 1- ale tej,

która stoi przed dziewiątką w mianowniku)

1/2 = 0 r 1

(1)0/2 = 5

5/2 = 2 r 1

12/2 = 6

6/2 = 3

3/2 = 1 r 1

11/2 = 5 r 1

15/2 = 7 r 1

17/2 = 8 r 1

18/2 = 9

Dzielenie wykonujemy aż do uzyskanie pożądanej dokładności. W tym wypadku 1/19 =

0,0526315789

1/29

Ponownie zaczynamy od licznika, którym jest 1. Dzielimy ją przez 3 (o jeden większe od 2,

która stoi przed 9 w mianowniku).

1/3 = 0 r 1

10/3 = 3 r 1

13/3 = 4 r 1

14/3 = 4 r 2

24/3 = 8

8/3 = 2 r 2

22/3 = 7 r 1

17/3 = 5 r 2

Dzielenie wykonujemy aż do uzyskania żądanej dokładności. W tym wypadku 1/29 =

0,03448275.

45/69

Zaczynamy od 45, która znajduje się w liczniku. Dzielimy ją przez 7 (o jeden większe od 6,

która stoi przez 9 w mianowniku)

45/7 = 6 r 3

36/7 = 5 r 1

15/7 = 2 r 1

12/7 = 1 r 5

51/7 =7 r 2

27/7 = 3 r 6

Dzielimy aż do momentu uzyskania pożądanej dokładności. W tym przykładzie 45/69 =

0,652173.

II Wszystkie od 9, ostatnia od 10

Nazwa angielska: All from 9 and the last from 10. Nazwa indyjska: Nikhilam

Navatashcaramam Dashatah.

1. Odejmowanie liczb od wielokrotności 10.

10000-4979

10-9 = 1 (odejmujemy od 10, bo 9 jest cyfrą jedności)

9-7 = 2

9-9 = 0

9-4 = 5

Wynik odczytujemy od dołu: 5021

2. Podnoszenie liczb do potęgi.

Do liczby dodajemy cyfrę jej jedności. Wynik mnożymy przez cyfrę dziesiątek (w przypadku

liczby trzycyfrowej- liczbę złożoną z cyfry setek i dziesiątek) pomnożoną przez dziesięć. Do

wyniku dodajemy cyfrę jedności podniesioną do kwadratu.

36^2 = (36+6)*30+6^2 = 42*30+36 = 1260+36 = 1296

69^2 = (69+9)*60+9^2 = 78*60+81 = 4680+81 = 4761

124

124^2 = (124+4)*120+4^2 = 128*120+16 = 15360+16 = 15376

III Pionowo i na krzyż

Nazwa angielska: Vertically and crosswise. Nazwa indyjska: Urdhva-tiryagbhyam

1. Mnożenie liczb do 100

80*91

100-80=20

100-91=9

20*9=(1)80 (zostaje 80, 1 idzie na dół)

80-9=71+1 (ta z góry) = 72

Wynik: 7280

56*88

100-56=44

100-88=12

44*12=(5)28

56-12=44+5 (ta z góry) = 49

Wynik: 4928

2. Mnożenie liczb trzycyfrowych, których cyfry setek są takie same.

Dodajemy do siebie pierwszą liczbę oraz liczbę złożoną z cyfr dziesiątek i jedności drugiej

liczby. Wynik mnożymy przez cyfrę setek. Do wyniku dopisujemy iloczyn liczb stworzonych

z cyfr dziesiątek i jedności obu liczb (jeśli otrzymany wynik jest większy niż dwucyfrowy,

nadmiarową liczbę dodajemy do wyniku z pierwszej części)

101x123 = (101+23) | 1*23 = 124 | 23 = 12423

159*178 = (159+78) | 59*78 = 237+46 | (46)02 = 283 | 02 =28302

234*248 = (234+48)*2 | 34*48 = 564+16 | (16)32 = 580 | 32 = 58032

367*315 = (367+15)*3 | 67*15 = 1146+10 | (10)05 = 1156 | 05 = 115605

3. Dodawanie ułamków o różnych mianownikach.

W liczniku zapisujemy sumę iloczynów wyrazów skrajnych. W mianowniku- iloczyn obu

mianowników.

2/3+1/6 = 2*6+3*1/3*6 = 15/18

4/5+6/7 = 4*7+5*6/5*7 = 58/35

IV Przenieś i zastosuj

Nazwa angielska: Transpose and apply. Nazwa indyjska: Paraavartya Yojayet

1. Rozkład wielomianów.

12x^2-8x-32

12x^2-8x-32/(x-2) (sprawdzamy, czy 2 jest pierwiastkiem)

12*2 (ta z wyrażenia x-2) = 24

24+(-8) = 16

Ilorazem jest wyrażenie 12x+16.

16*2 (ta z wyrażenia x-2) = 32

32+(-32) = 0

Reszta wynosi 0.

Rozłożony wielomian wygląda następująco: (12x+16)(x-2)

x^3-3x^2+10w-7

x^3-3x^2+10w-7/(x-5) (sprawdzamy, czy 5 jest pierwiastkiem)

1*5 = 5

5+(-3)=2

2*5 = 10

10+10 = 20

Ilorazem jest wyrażenie x^2+2x+20.

20*5 = 100

100+(-7) = 93

Reszta wynosi 93.

Rozłożony wielomian wygląda następująco: (x^2+2x+20)(x-5)+93

V Jeśli samuccaya jest ta sama, to jest zerem

Nazwa angielska: If the Samuccaya is the same it is zero. Nazwa indyjska: Shunyam

Saamyasamuccaye.

1. Obliczanie wyrażeń zawierających x, zapisanych w postaci ułamka.

Samuccaya to odpowiednio:

suma liczników i suma mianowników w obu wyrażeniach

różnica między licznikiem i mianownikiem w obu wyrażeniach

suma liczników i mianowników w obu wyrażeniach

(2x+9)/(2x+7) = (2x+7)(2x+9)

liczników (4x+16) równa się sumie mianowników (4x+16). Różnica iloczynów elementów

skrajnych daje 0 (2x*2x-2x*2x). Samuccaya równa się zero, więc 4x+16=0. Otrzymujemy

x=-4.

(3x+4)/(6x+7) = (x+1)(2x+3)

Suma mianowników (8x+10) jest wielokrotnością sumy liczników (4x+5). Różnica iloczynów

elementów skrajnych daje 0 (3x*2x-6x*x). 4x+5=0. Otrzymujemy x=-5/4.

(3x+4)/(6x+7) = (5x+6)/(2x+3)

Suma liczników (8x+10) równa jest sumie mianowników (8x+10), ale wymnożenie

elementów skrajnych nie daje 0 (3x*2x = 6x-5x). W takim wypadku są dwa rozwiązania:

jedno standardowe (8x+10 = 0, x =-10/8), a drugie powstałe w wyniku przyrównania licznika

do mianownika jednego z ułamków (np. 3x+4 = 6x+7, x = -1). W tym wypadku x=-10/8 lub x

= -1.

VI Gdy jedno jest stosunkiem, inne jest zerem

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: