Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów - zadania.pdf

(134 KB) Pobierz
(Microsoft Word - Olimpiada Matematyczna Gimnazjalist\363w - zadania)
Rozwiązania wszystkich zadań z tych zestawów moŜna zamawiać: antitau1@wp.pl
I Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
rok szkolny 2005/06
Zadania zawodów I stopnia
1. Dowieść, Ŝe
3
−
8
+
5
−
24
+
7
−
48
=
1
.
2. Dany jest czworokąt wypukły o następujących własnościach:
• w czworokąt moŜna wpisać okrąg,
• przekątne czworokąta są prostopadłe.
Dowieść, Ŝe jedna z przekątnych czworokąta dzieli drugą na połowy.
3. W kole o promieniu 10 wybrano 99 punktów. Dowieść, Ŝe wewnątrz koła istnieje
punkt odległy od kaŜdego z wybranych punktów o więcej niŜ 1.
4. Wyznaczyć wszystkie rozwiązania układu równań:
25
x
2
+
9
y
2
=
12
yz
9
y
2
+
4
z
2
=
20
xz
4
z
2
+
25
x
2
=
30
xy
w liczbach rzeczywistych x , y , z .
5. Ogrodnik włoŜył 121 jabłek do 15 wiader tak, Ŝe w kaŜdym wiadrze znalazło się co
najmniej jedno jabłko. Czy jest moŜliwe, Ŝe w kaŜdym wiadrze znajduje się inna
liczba jabłek?
6. Wiadomo, Ŝe prawdziwa moneta waŜy 10 gramów, a fałszywa 9 gramów. Mamy 5
monet o łącznej wadze 48 gramów i dysponujemy wagą elektroniczną. Wykonując
waŜenie moŜemy połoŜyć na wagę dowolną liczbę wybranych przez nas monet i
odczytać ich łączną wagę. Czy wykonując nie więcej niŜ 3 waŜenia moŜemy zawsze
rozpoznać, które z danych monet są fałszywe, a które prawdziwe?
7. Na płaszczyźnie dane są punkty A , B , C , D . Punkt B jest środkiem odcinka AC , przy
tym AB = BC = BD = 17 oraz AD = 16. Obliczyć długość odcinka CD .
69839341.004.png
Rozwiązania wszystkich zadań z tych zestawów moŜna zamawiać: antitau1@wp.pl
I Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
zawody II stopnia
28 stycznia 2006
czas: 180 minut
Zadanie 1.
Pewien graniastosłup ma dwa razy więcej wierzchołków niŜ pewien ostrosłup. Który z tych
wielościanów ma więcej ścian i o ile więcej?
Zadanie 2.
Danych jest 111 dodatnich liczb całkowitych. WykaŜ, Ŝe spośród nich moŜna wybrać 11
takich liczb, których suma jest podzielna przez 11.
Zadanie 3.
Dany jest trójkąt ostrokątny ABC , w którym kąt BAC ma miarę 45°. Wysokości tego trójkąta
przecinają się w punkcie H . WykaŜ, Ŝe
AH =
BC
.
Zadanie 4.
Wyznacz wszystkie dodatnie liczby całkowite n , dla których liczba
14 −
9
jest pierwsza.
Zadanie 5.
Dany jest sześciokąt wypukły ABCDEF o kątach przy wierzchołkach A, B, C, D równych
odpowiednio 90°, 128°, 142°, 90°. WykaŜ, Ŝe pole tego sześciokąta jest mniejsze niŜ
1
⋅
AD
2
.
2
n
69839341.005.png 69839341.006.png
 
Rozwiązania wszystkich zadań z tych zestawów moŜna zamawiać: antitau1@wp.pl
I Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
(zawody trzeciego stopnia)
25 marca 2006 r.
1. Ile jest czwórek ( a , b , c , d ) dodatnich liczb całkowitych, które spełniają równanie:
ab
+
bc
+
cd
+
da
=
55
? Odpowiedź uzasadnij.
2. Dany jest równoległobok ABCD . Punkt E naleŜy do boku AB , a punkt F do boku AD .
Prosta EF przecina prostą CB w punkcie P , a prostą CD w punkcie Q . WykaŜ, Ŝe pole
trójkąta CEF jest równe polu trójkąta APQ .
3. W przestrzeni danych jest takich n punktów ( n ≥ 4), Ŝe Ŝadne 4 nie leŜą na jednej
płaszczyźnie. KaŜde dwa z tych punktów połączono odcinkiem niebieskim lub
czerwonym. Udowodnij, Ŝe moŜna tak wybrać jeden z tych kolorów, aby kaŜde dwa
punkty były połączone odcinkiem lub łamaną wybranego koloru.
4. Dany jest taki czworościan, Ŝe kaŜdy kąt dwuścienny wyznaczony przez jego
sąsiednie ściany jest ostry lub prosty. Wierzchołki tego czworościanu leŜą na sferze o
środku S. Czy punkt S moŜe leŜeć na zewnątrz tego wielościanu? Odpowiedź
uzasadnij.
5. Dane są róŜne liczby pierwsze p , q oraz takie dodatnie liczby całkowite a , b , Ŝe liczba
aq daje resztę 1 przy dzieleniu przez p , a liczba bp daje resztę 1 przy dzieleniu przez q .
WykaŜ, Ŝe
a
+
b
>
1
.
p
q
69839341.001.png
 
Rozwiązania wszystkich zadań z tych zestawów moŜna zamawiać: antitau1@wp.pl
Zadania II Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów
1 września 2006 r. – 16 października 2006 r.
(zawody stopnia pierwszego)
1. Czy istnieją takie dodatnie liczby całkowite a , b , Ŝe suma cyfr kaŜdej z nich jest równa
2006, a suma cyfr liczby b
a ⋅
jest równa 2006 2 ? Odpowiedź uzasadnij.
2. Dany jest trójkąt ABC , w którym miara kąta ACB wynosi 90° oraz AC ≠ BC . Punkty P
i Q są takie, Ŝe czworokąt APBQ jest kwadratem. Udowodnij, Ŝe proste CP i CQ są
prostopadłe.
3. Wyznacz wszystkie trójki liczb pierwszych p , q , r spełniające układ równań:
q
=
p
2
+
6
.
r
=
q
2
+
6
4. W trójkącie ABC punkt M jest środkiem boku AB oraz miara kąta ACB wynosi 120°.
Udowodnij, Ŝe
CM
≥
3
⋅
AB
.
6
5. Wyznacz wszystkie dodatnie liczby całkowite n o następującej własności: Dla kaŜdej
pary liczb rzeczywistych dodatnich x , y zachodzi nierówność
xy n
<
x
4
+
y
4
.
6. Czy istnieje taki czworościan, w którym przynajmniej jedna ściana jest trójkątem
rozwartokątnym, a środek sfery opisanej na tym czworościanie leŜy w jego wnętrzu?
Odpowiedź uzasadnij.
7. Spośród wszystkich wierzchołków 17kąta foremnego wybrano dziesięć. WykaŜ, Ŝe
wśród wybranych punktów są cztery będące wierzchołkami trapezu.
69839341.002.png 69839341.003.png
Rozwiązania wszystkich zadań z tych zestawów moŜna zamawiać: antitau1@wp.pl
II Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
(zawody stopnia drugiego)
13 stycznia 2007 r.
1. Wyznacz wszystkie trójki ( a , b , c ) liczb rzeczywistych spełniających układ równań:
a
2
+
b
2
+
c
2
=
23
a
+
2
b
+
4
c
=
22
2. Miara kaŜdego kąta sześciokąta ABCDEF jest równa 120°. Udowodnij, Ŝe symetralne
odcinków AB , CD , EF przecinają się w jednym punkcie.
3. W przestrzeni danych jest 6 punktów, z których Ŝadne cztery nie leŜą na jednej
płaszczyźnie. Łącząc niektóre z tych punktów narysowano 10 odcinków. WykaŜ, Ŝe w
ten sposób uzyskano co najmniej jeden trójkąt.
4. Czy istnieją takie dodatnie liczby całkowite a , b , c , d , Ŝe liczba
( )( )( )( )
+
b
b
+
c
c
+
d
d
+
a
jest w systemie dziesiętnym zakończona cyframi „10”?
Odpowiedź uzasadnij.
5. Trójkąt ABC jest podstawą ostrosłupa ABCS , w którym miary kątów ASB , BSC i CSA
są równe 20°. WykaŜ, Ŝe obwód trójkąta ABC jest nie mniejszy od długości kaŜdej z
krawędzi AS , BS i CS .
a
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin