Konspekt-4.doc

V. Teoria błędów pomiarowych i ich wyrównywania (rachunek wyrównawczy)

              Zadania rachunku wyrównawczego:

- obliczenie wielkości najbardziej prawdopodobnych z rezultatów obserwacji (wyrównanie);

- określenie dokładności pomiarów i otrzymanych wielkości (ocena błędów).

              Źródła błędów:               - błędy przyrządów

                                                                                                  - niedokładności zmysłów obserwatora

                                                                                                  - wpływ warunków pomiaru.

              Rodzaje błędów:               - błędy grube (pomyłki); zwykle łatwe do wykrycia;

- błędy systematyczne: trudniejsze do wykrycia, eliminowane przez wprowadzanie poprawek;

- błędy przypadkowe: zawsze występujące.

              Mierząc wartość wyznaczaną, nie otrzymuje się więc wartości prawdziwej X, lecz wartość spostrzeganą (spostrzeżenie) L. Różnica między nimi jest równa błędowi prawdziwemu:

                                                                      e = X - L

              Hipoteza Hagena:

1.    prawdopodobieństwo popełnienia błędu mniejszego jest większe niż błędu większego;

2.    największe prawdopodobieństwo pojawienia się ma błąd równy zeru;

3.    błędy równe co do wartości, lecz o przeciwnych znakach, występują z tym samym prawdopodobieństwem.

              Rozkład częstotliwości pojawiania się błędów ilustruje krzywa Gaussa.

              Miarą wielkości błędów (powszechnie używaną) jest błąd średni (kwadratowy), określany wzorem:

                                                                      m = Ö [ee]/n,                 przy n ® ¥

              gdzie: n - liczba spostrzeżeń.

              Ponieważ nie mamy do czynienia z nieskończoną liczbą spostrzeżeń, a także zwykle nie dysponujemy możliwością określenia błędu prawdziwego, definicję błędu średniego można przedstawić w postaci:              

                                                                      m = Ö [vv]/(n-1)

              gdzie: v - poprawka, będąca różnicą między wielkością najbardziej prawdopodobną x i spostrzeżeniem L:

                                                                      vi = x - Li

              Częstość pojawienia się błędu mniejszego od błędu średniego wynosi około 65%. W związku z tym wprowadza się pojęcie błędu granicznego (pojawienie się błędu większego niż graniczny jest bardzo mało prawdopodobne); błąd ten równa się:

                                                                      g = (2 ÷ 3)m

              Rozwiązywanie zadań typowych:

a.    Wyrównanie spostrzeżeń (pomiarów) jednakowo dokładnych.

              Wzory:

              - wartość najbardziej prawdopodobna (średnia arytmetyczna):

                                                                      x = [L]/n

              - średni błąd pojedynczego pomiaru:

                                                                      mo = Ö [vv]/(n-1)

              - średni błąd średniej arytmetycznej (wartości najbardziej prawdopodobnej):

                                                                      mx = Ö [vv]/n(n-1) = mo/ Ö n

b.    Wyrównanie spostrzeżeń (pomiarów) niejednakowo dokładnych:

              Wzory:

              - wartość najbardziej prawdopodobna (średnia arytmetyczna ważona):

                                                                      x = [pL]/[p]

              gdzie: p - waga danego spostrzeżenia (pomiaru), wyrażona wzorem:

                                                                      p = mo2/mi2

              gdzie: mo - średni błąd spostrzeżenia (pomiaru) przyjętego za typowe (z wagą p = 1)

                         mi - średni błąd i-tego (dowolnego innego) spostrzeżenia.

              - średni błąd typowego spostrzeżenia (pomiaru):

                                                                      mo = Ö [pvv]/(n-1)

              - średni błąd spostrzeżenia i-tego (dowolnego):

                                                                      mi = Ö [pvv]/pi(n-1) = mo/Ö pi

              - średni błąd wartości najbardziej prawdopodobnej (średniej arytmetycznej ważonej):

                                                                      mx = Ö [pvv]/[p](n-1) = mo/Ö [p]

c.    Prawo przenoszenia się błędów:

              Jeżeli mamy funkcję f (x,y,...,z), przy czym każda ze zmiennych x, y, ... z została określona z błędem mz, my, ...mz, to błąd funkcji f można określić ze wzoru:

                                                                      m2 = (¶f/¶x)2mx2 + (¶f/¶y)2my2 + .....+ (¶f/¶z)2mz2

d.    W przypadku spostrzeżeń pośrednich (nie mierzonych bezpośrednio; np. współrzędne punktów) układa się n równań błędów (sprowadzając je do postaci linowej), przy czym liczba tych równań winna być większa od liczby poszukiwanych niewiadomych (przy równej liczbie spostrzeżeń i niewiadomych nie ma możliwości wyrównania i określenia błędów). Z równań błędów układa się równania normalne w liczbie odpowiadającej liczbie niewiadomych. Równania te rozwiązuje się, uzyskując zarówno wielkości najbardziej prawdopodobne, jak i ich błędy (po wyrównaniu).

VI. Osnowa geodezyjna.

              VI.1. Pojęcie i rodzaje osnów.

              Osnowa geodezyjna: zbiór punktów fizycznych, dla których wyznaczono współrzędne względem przyjętego układu odniesienia, na podstawie pomierzonych między tymi punktami zależności geometrycznych (kątów, kierunków, długości, różnic wysokości).

              Rodzaje osnów:

- ze względu na rodzaj punktów:

              A. Osnowa pozioma

              B. Osnowa wysokościowa.

- ze względu na zasięg, przeznaczenie i charakter konstrukcji geometrycznej osnowy poziome i wysokościowe obejmują następujące rodzaje:

1. Osnowa podstawowa - przeznaczona do badania kształtu i rozmiarów Ziemi oraz nawiązania osnów szczegółowych. Osnowa podstawowa pozioma obejmuje I klasę punktów (względny błąd długości nie powinien przekraczać 1:50 000). Osnowa podstawowa wysokościowa obejmuje I i II klasę (błąd wysokości nie przekraczający odpowiednio ± 1 mm/km i ± 2 mm/km).
2. Osnowa szczegółowa - podstawa do nawiązania i wyrównania osnów pomiarowych oraz do nawiązania zdjęć fotogrametrycznych i numerycznych modeli terenu, w państwowym układzie współrzędnych płaskich i wysokościowych. Osnowa szczegółowa pozioma obejmuje II i III klasę (błąd położenia punktów nie większy od odpowiednio ± 0.05 m i ± 0.10 m). Osnowa szczegółowa wysokościowa obejmuje III i IV klasę (błąd wysokości nie większy od odpowiednio ± 4 mm/km i ± 10 mm/km).
3. Osnowa pomiarowa - baza dla pomiarów sytuacyjnych, rzeźby terenu i pomiarów inżynieryjno-gospodarczych. Osnowa pomiarowa pozioma nie dzieli się na klasy; błąd położenia punktu nie powinien przekraczać ± 0.20 m. Osnowa pomiarowa wysokościowa obejmuje V klasę (błąd wysokości ± 20 mm/km lub dla innych technik pomiarowych - ± 5 cm).

Uwaga: dla punktów I, II i III klasy osnowy poziomej należy wyznaczać wysokości.

- ze względu na sposób geometrycznej konstrukcji sieci osnowę poziomą możemy podzielić na:

1. triangulację,
2. poligonizację.

              VI.2. Triangulacja.

              Triangulacja: rodzaj poziomej osnowy geodezyjnej, w której wyznacza się współrzędne zastabilizowanych (utrwalonych) w terenie punktów, tworzących układ trójkątów. W trójkątach mierzy się kąty i wybrane długości boków.

              Kształty sieci:               - pojedynczy trójkąt, czworobok geodezyjny, układ centralny, pojedynczy łańcuch trójkątów, łańcuch czworoboków, podwójny łańcuch trójkątów, wieniec triangulacyjny, sieć wieńcowa, sieć wypełniająca, sieć powierzchniowa, sieć zagęszczająca (punkty wcinane: w przód, wstecz, w bok).

Kształty sieci triangulacyjnych: układ centralny, łańcuch trójkątów, łańcuch czworoboków, sieć wypełniająca, sieć wieńcowa

              Nawiązanie sieci:               - sieć państwowa (współrzędne punktów w układzie państwowym)

                                                                                                                - sieć lokalna (współrzędne punktów w przyjętym układzie).

              Sieć triangulacyjna w Polsce obejmuje:              - sieć triangulacji państwowej,

                                                                                                                                                                                                    - sieć triangulacji lokalnej.

Sieć triangulacji państwowej jest założona jako sieć jednolita, obejmująca wszystkie punkty I klasy osnowy poziomej oraz wybrane punkty II i III klasy; w jej skład wchodzą:

- sieć główna (wieńce triangulacyjne południkowe i równoleżnikowe w odstępach 200 km, długości boków trójkątów: około 25 km)

- sieć wypełniająca (powierzchniowa) o długościach boków 7 ÷ 8 km

- sieć zagęszczająca (wcięcia) z punktami co 3 ÷ 4 km.

Średni błąd położenia punktu triangulacyjnego w sieci wypełniającej i zagęszczającej wynosi ± 0.07 m.

              Wybór miejsc dla punktów triangulacyjnych:- nie powinny być narażone na zniszczenie,

              ...