01.1 - Równania Zupełne.pdf

(72 KB) Pobierz
35156463 UNPDF
1
Wydział:WILi,Budownictwo,sem.3
drJolantaDymkowska
Równaniazupełne
Załó»my,»efunkcje P ( x,y )i Q ( x,y )maj¡ci¡głepochodnecz¡stkowerz¦dupierwszegow
obszarze D R
P ( x,y ) dx + Q ( x,y ) dy =0
nazywamy równaniemró»niczkowymzupełnym ,je»elispełnionyjestwarunek:
8 ( x,y ) 2D P y ( x,y )= Q x ( x,y ) .
Ponadtoje»elispełnionyjestpowy»szywarunek,toistniejefunkcja F = F ( x,y )(okre±lonaw
obszarze D iposiadaj¡cawtymobszarzeci¡głepochodnecz¡stkowerz¦dudrugiego)taka,»e
8 ( x,y ) 2D P ( x,y )= F x ( x,y ) , Q ( x,y )= F y ( x,y ) .
Tymsamymwyra»enie P ( x,y ) dx + Q ( x,y ) dy = dF ( x,y )jestró»niczk¡zupełn¡funkcji F ( x,y ),
arównaniezupełneprzyjmujeposta¢:
dF ( x,y )=0 .
Całk¡ogóln¡takiegorównaniajestfunkcjauwikłana(oileistnieje) y = y ( x )okre±lonarónaniem:
F ( x,y )= C,
gdzie C jestdowoln¡stał¡rzeczywist¡.
Rozwi¡zanierównaniazupełnegopolegawi¦cnaznalezieniufunkcji F ( x,y ) takiej,»e
F x ( x,y )= P ( x,y )i F y ( x,y )= Q ( x,y ).
Przykład Wyznaczy¢całk¦ogóln¡równania:
( ye − x + e x ) dx − e − x dy =0 .
Rozwi¡zanie :
Napoczateksprawdzamy,czyjesttorównaniezupełne:
P ( x,y )= ye − x + e x P y ( x,y )= e − x
Q ( x,y )= − e − x Q x ( x,y )= e − x
Zatem P y ( x,y )= Q x ( x,y ),atymsamymrównaniejestrównaniemzupełnym.
Wcelurozwi¡zaniarównaniaszukamyfunkcji F ( x,y )takiej,»e F x ( x,y )= P ( x,y )i
F y ( x,y )= Q ( x,y ),czyli:
F x ( x,y )= ye − x + e x
F y ( x,y )= − e − x
Skoro
F x ( x,y )= ye − x + e x ,
2 (ozbiorze D zakładamy,»ejestotwartyijednospójny).Równanieró»niczkowe
pierwszegorz¦dupostaci:
2
tocałkuj¡cpowy»sz¡równo±¢wzgl¦demzmiennej x otrzymujemy
F ( x,y )= − ye − x + e x + C ( y ) ,
gdzieC(y)jestnieznan¡funkcj¡zmiennej y (mówimy:stał¡zale»n¡od y ).St¡d
F y ( x,y )= − e − x + C 0 ( y )= − e − x = Q ( x,y ) .
Zatem C 0 ( y )=0atymsamym C ( y )= C ,gdzie C jeststał¡rzeczywist¡.
Całkaogólnanaszegorównaniawpostaciuwikłanejdanajestwi¦crówno±ci¡:
F ( x,y )= − ye − x + e x + C =0 .
St¡d
y = e 2 x + Ce x .
wiczeniaWyznaczy¢całk¦ogóln¡równania:
1 . (3 x 2 − 2 y ) dx +(3 y 2 − 2 x ) dy =0
2 . ( x 2 − 4 xy − 2 y 2 ) dx +( y 2 − 4 xy − 2 x 2 ) dy =0
3 .e y dx − (2 y − xe y ) dy =0
4 . 2 xydx +( x 2 + y 2 ) dy =0
5 .x (( x 2 + y 2 ) − 4) dx + y (( x 2 + y 2 )+4) dy =0
6 .e x (1+ e y ) dx + e y (1+ e x ) dy =0
7 . 2 x y 3 dx + 1 y 2 − 3 x 2
y 4
dy =0
dx + 2 y x dy =0
x 2
1+ x 2 dy =0
10 . 2 x y 3 dx + y 2 − 3 x 2
(1+ x 2 ) 2 dx + e y
y 4 dy =0
11 . (2 x sin y − y 2 sin x ) dx +( x 2 cos y +2 y cos x +1) dy =0
12 . ( e x + y + e x ) dx +( e x + y + e y ) dy =0
13 . (tg x − sin x sin y ) dx +cos x cos ydy =0
14 . (ln y − 2 x ) dx + x y − 2 y dy =0
wiczenieRozwi¡za¢zagadnieniepocz¡tkoweCauchy’egodlarównaniazupełnego:
1 . (2 xy 3 +8 x ) dx +(3 x 2 y 2 +5) dy =0 , y (2)= − 1
2 . (4 x 3 +6 xy 3 ) dx +(9 x 2 y 2 +3) dy =0 , y (1)=0
8 . 2 − y 2
9 . 2 x (1 − e y )
35156463.001.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin