2008_MARZEC_OKE_PR_I_ODP.pdf

(235 KB) Pobierz
untitled
Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki
Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom rozszerzony
1
ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA – ZESTAW NR 1
POZIOM ROZSZERZONY
Etapy rozwiązania zadania
Uwagi
I metoda rozwiązania („PITAGORAS”):
Sporządzenie rysunku w układzie współrzędnych: np.
• Rysunek musi zawierać daną prostą oraz
punkty A i B . Inne elementy mogą, ale nie
muszą być uwzględnione.
• Współrzędne punktu C można odczytać
z rysunku, ale zdający musi sprawdzić, np.
przez wstawienie do równania prostej
prawidłowość odczytu. Przyznajemy pełna
pulę punktów.
• W przypadku, gdy zdający poda odczytane
współrzędne punktu C i nie dokona
sprawdzenia z warunkami zadania otrzymuje
punkty tylko w czynnościach 1.1 i 1.5.
A
y
12
11
10
C
9
8
7
1.1
6
1
5
C
4
3
2
1
–8
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1 2
3
4
5
6
7 89
10 11 12 13
x
–1
–2
–3
B
Wprowadzenie oznaczenia współrzędnych punktu C , np.
1.2
C
= − lub
(22 3 , )
y y
Cx x .
=−+
(,
)
33
1
Wykorzystanie twierdzenia Pitagorasa i zapisanie warunku
prostopadłości odcinków AC i BC :
AC
2
+ = , w którym
BC
2
AB
2
1.3
AC
2
= − + ,
10
y
2
168 720
y
BC
2
= − + ,
10
y
2
92 260
y
AB =
2
260
1
lub
AC
2
=
1
(
10
x
2
+ +
64 232
y
)
,
BC
2
=
1
(
10
x
2
− +
164 1108
)
.
9
9
Doprowadzenie do równania kwadratowego z jedną niewiadomą:
np.
1.4
y
2
− += lub
y
x
2
− −=
500
x
.
1
1.5
Rozwiązanie równania i zapisanie odpowiedzi:
C = lub
( )
10, 4
1
C =− .
( )
5, 9
12
13 36 0
5081238.015.png 5081238.016.png
Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki
Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom rozszerzony
2
1.1
II metoda rozwiązania („WEKTORY”):
Sporządzenie rysunku w układzie współrzędnych.
1
Rysunek musi zawierać daną prostą oraz punkty
A i B . Inne elementy mogą, ale nie muszą być
uwzględnione.
Wprowadzenie oznaczeń pomocniczych i wyznaczenie wektorów:
→
→
np.
C
= − ,
(22 3 , )
y y
CA
= −+ −,
[ 24 3 ,12 ]
y
y
CB
= −+ −−
[ 16 3 , 2 ]
y
y
1.2
1
12
14
18
→
→
lub
Cx x ,
=−+
(,
)
33
CA
=−+ + ,
[2 ,
]
33
CB
=− −
x x
]
33
.
Wykorzystanie warunku prostopadłości wektorów
→
CA ,
→
CB i zapisanie
równania: np.
(
1.3
− +−++−−−=, gdzie y to rzędna punktu C
24 3
y
)(
16 3
y
) ( )( )
12
y
2
y
0
1
lub
− + − + + − =
( )( ) ( )( )
2
x
6
x
1
x
14
x
28 0
, gdzie x to odcięta punktu C .
9
Doprowadzenie do równania kwadratowego z jedną niewiadomą :
np.
1.4
y
2
− += lub
13 36 0
y
x
2
− −=
500
x
.
1
1.5
Rozwiązanie równania i zapisanie odpowiedzi:
( )
10, 4
C =− .
( )
5, 9
1
1.1
III metoda rozwiązania („KONSTRUKCJA”):
Sporządzenie rysunku w układzie współrzędnych.
1
Rysunek musi zawierać daną prostą oraz punkty
A i B . Inne elementy mogą, ale nie muszą być
uwzględnione.
Zapisanie równania okręgu o środku w punkcie
S = , który jest
( )
środkiem odcinka AB i promieniu
r
= =
B
1
260
:
1.2
2
2
1
⎛ ⎞
1
2
( ) ( )
x
−+−= ⎜ ⎟
2
2
y
5
2
⎝ ⎠ .
260
2
Zapisanie układu równań:
⎧
⎨
xy
+=
32
1.3
1
⎛ ⎞
1
2
2
2
⎪
( ) ( )
x
−+−= ⎜ ⎟
2
y
5
260 .
⎝ ⎠
2
⎩
Doprowadzenie obliczeń do postaci równania kwadratowego,
np.:
1.4
y
2
− += lub
13 36 0
y
x
2
− −=
500
x
.
1
x x
[6 ,
C = lub
2, 5
1
5081238.017.png 5081238.018.png 5081238.001.png 5081238.002.png
Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki
Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom rozszerzony
3
1.5
Rozwiązanie równania i zapisanie odpowiedzi:
( )
C =− .
( )
5, 9
1
Ogólnie, rozwiązanie powinno mieć postać:
1.1 Sporządzenie rysunku w układzie współrzędnych.
1
1.2 Przedstawienie metody pozwalającej wyznaczyć punkt C .
1
W metodzie II i III przestawione zostały
czynności 1.2 i 1.3 i zapisane w kolejności takiej,
jaka będzie miała miejsce w trakcie rozwiązania
tą metodą.
1.3
Zapisanie warunków algebraicznych wynikających z obranej
metody rozwiązania.
1
1.4 Doprowadzenie do równania kwadratowego z jedną niewiadomą.
1
1.5 Wyznaczenie współrzędnych punktów C.
1
2.1 Zapisanie wzoru funkcji g w postaci
g
()
x
=
a
+
2
dla
x ≠ − .
3
1
Przyznajemy punkt również wtedy, gdy zdający
nie zapisze dziedziny funkcji g .
x
+
3
2.2 Wyznaczenie współczynnika a z równania
g
( )
−
4 =
6
:
a
=
−
4
.
1
2
2.3 Doprowadzenie nierówności
−
4
+ <
24
do postaci
− −
20 0
3
<
.
1
x
+
3
+
2.4
Wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności
g
( )
x
<
4
:
1
x ∈ −∞ − ∪ − ∞ .
3,
3
3.1 Zapisanie podstawy logarytmu:
p
=
2
.
1
3.2 Obliczenie wartości funkcji f dla argumentu
x
=
0
125
:
f
( )
0 −
125
=
3
.
1
3.3 Narysowanie wykresu funkcji
y
= x
f
( )
−
4
.
1
Narysowanie wykresu funkcji g
W tej czynności oceniamy poprawność
wykonania przekształcenia
y
7
y = . Punkt
przyznajemy trównież wtedy, gdy zdający
niepoprawnie wykona przesunięcie, ale
poprawnie wykona przekształcenie
f
( )
6
y
log 2 −
= x
( )
4
5
4
3
y = .
Jeśli zdający od razu narysuje wykres funkcji g,
to przyznajemy punkt w czynnościach 3.3 i 3.4.
f
()
2
3.4
1
1
–8
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
12
3
4
5
6
789
10 11 12 13
x
–1
–2
y
log 2 −
= x
( )
4
–3
–4
–5
–6
y
=
log
2
x
C = lub
10, 4
x
x
,5
( )( )
x
x
5081238.003.png 5081238.004.png 5081238.005.png 5081238.006.png
Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki
Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom rozszerzony
4
3.5
Podanie miejsca zerowego funkcji g :
x
=
5
.
1
Czynność 3.5 oceniamy konsekwentnie do
uzyskanej przez zdającego funkcji g .
a
4.1
Wyrażenie funkcji tgα w zależności od a i H :
tg
α
==
a
HH
2
.
1
2
4.2 Wyrażenie funkcji cosαw zależności od a i h : cos
α .
h
a
1
Wykorzystanie wyznaczonych zależności i doprowadzenie podanego
w treści zadania związku
2 aHh
= ⋅ do zależności z jedną zmienną α:
4.3
a
1
np.
2
=
tg stąd
α
H
= ,
a
a =
cos stąd
α
ha
=
cos
α;
H
2tg
α
po podstawieniu otrzymujemy 2tg
α α.
cos
Doprowadzenie zależności do postaci równania, w którym jest tylko
4.4
jedna funkcja trygonometryczna, np.:
2sin
α
=−
1 sin
2
α dla
α∈ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ .
0, 2
π
1
Rozwiązanie równania, np. dokonanie podstawienia sin
t = α
4
4.5
i rozwiązanie równania kwadratowego
t
2
+ −= :
210
t
1
t =− − oraz
12
t =− + .
12
Jeśli zdający nie wskaże właściwego rozwiązania
spełniającego warunki zadania, to nie otrzymuje
punktu za tę czynność.
4.6 Odrzucenie ujemnego pierwiastka i podanie odpowiedzi: sin
α
= −
2 1
.
1
II sposób rozwiązania (czynności 4.3 i 4.4)
Zapisanie wyrażenia
a ⋅
2
=
H
h
w postaci proporcji
4.3
1
2
a
1
ah
h
= ⇔⋅ =.
2
Ha
H a
Wykorzystanie funkcji trygonometrycznych do zapisania proporcji
1
2
a
h
a
4.4
w postaci równania jednej zmiennej:
2
⋅ =⋅α,
H
2 tg
= α stąd
cos
1
ah
Ha
=
, 2 tg
⋅ α= α α+ α− = dla
cos , sin
2
2 sin
1 0
α∈ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ .
0, 2
π
h
⎛ ⎞
⎛ ⎞
5081238.007.png 5081238.008.png 5081238.009.png 5081238.010.png 5081238.011.png
Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki
Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom rozszerzony
5
Sporządzenie rysunku dla n = 4.
y
1
9
5.1
16
1
4
16
1
16
5
0
1
2
3
x
4
4
4
5.2
Obliczenie sumy pól czterech prostokątów:
2 2 2 2
11 12 13 14 5
44 44 44 44 2
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞
.
1
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠
5.3
Obliczenie sumy pól wszystkich n prostokątów w postaci:
2
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞
1 2
2
1
n
2
1 2 ...
2
+ ++
2
n
2
1
Wystarczy, że zdający poprawnie zapisze lewą
stronę podanej postaci.
⋅ + ⋅ + + ⋅ =
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
...
.
nn nn
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠
nn
n
3
Wykorzystanie podanej tożsamości i przekształcenie sumy do postaci:
5.4
S
=
nn
( 2 )
6
+ +
n
lub
S
=
( 2 )
6
+ +
n
.
1
n
n
3
n
n
2
6.1 Zapisanie wielomianu w postaci:
W
( )
x
=
x
4
−
2
x
3
+
x
2
+
x
2
−
6
x
+
9
.
1
6.2
Zapisanie wielomianu w postaci sumy dwóch składników nieujemnych:
np.
W
( ) ( ) ( ) 2
=
x
2
x
−
1 −
2
+
x
3
lub
W
() ( )
x
=
x
2
−
x
2
+
( ) 2
x
−
3
.
1
6
6.3
Uzasadnienie, że oba składniki są nieujemne i nie mogą być
jednocześnie równe 0, więc wielomian
W nie ma pierwiastków
( )
1
rzeczywistych.
II metoda rozwiązania:
Obliczenie pochodnej wielomianu
6.1
Wx i jej miejsca zerowego:
( )
1
3
2
Wx
( ) ( ) ( )
= − + ,
2 2 3
x x
2
1
x = .
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
1 1
n
x
'
5081238.012.png 5081238.013.png 5081238.014.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin