2008_MARZEC_OKE_PR_ODP.pdf

(236 KB) Pobierz
untitled
Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki
Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom rozszerzony
1
ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA – ZESTAW NR 2
POZIOM ROZSZERZONY
Etapy rozwiązania zadania
Uwagi
1.1
+ = lub: zapisanie poszukiwanych liczb z użyciem jednej zmiennej: x , 3 x ,
13 4 x
13
1
− .
Zapisanie sumy kwadratów poszukiwanych liczb:
Sx x y
= + + lub
2
( 2
2
1.2
1
Sx x
=+ + −
( 2
3
(13 4 )
x
2
1
Zapisanie sumy kwadratów szukanych liczb jako funkcji jednej zmiennej:
Zdający nie musi wyznaczyć
dziedziny funkcji, o ile
przeprowadzi rozwiązanie do
końca i otrzyma trzy dodatnie
liczby.
⎛ ⎞
13
1.3
1
() 2 8 13
=−+ gdy
2
x
⎝ ⎠ .
4
Obliczenie argumentu, dla którego funkcja S przyjmuje wartość najmniejszą:
x =
2
1.4
x
∈ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ więc funkcja S osiąga najmniejszą wartość dla
0,
13
x
=
2
.
1
4
1.5
Podanie odpowiedzi: Poszukiwane liczby to : 2, 6, 5.
1
Wprowadzenie oznaczeń: x , 3 x , y – poszukiwane liczby i zapisanie równania:
4
xy
3
2
Sx x x
∈ ⎜ ⎟
0,
i
⎛ ⎞
5080905.016.png 5080905.017.png 5080905.018.png 5080905.019.png
Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki
Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom rozszerzony
2
Sporządzenie wykresu funkcji g.
7
y
g
f
6
5
4
3
2
1
2.1
x
1
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-1
-2
2
-3
-4
-5
-6
-7
2.2
Zapisanie podstawy a lub wzoru funkcji f :
a = lub
1
2
x
fx ⎛⎞
() 1
2
= ⎜ ⎝⎠ .
1
−
⎛ ⎞
1
x
2
2.3
Zapisanie wzoru funkcji g :
gx
()
= −
⎜ ⎝⎠
1
.
1
2
2.4
Podanie wszystkich argumentów, dla których
gx > :
( )
0
x ∈−∞ .
( )
,2
1
5080905.001.png 5080905.002.png 5080905.003.png 5080905.004.png 5080905.005.png
Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki
Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom rozszerzony
3
3.1
Wykorzystanie definicji rozwiązania równania lub twierdzenia o pierwiastkach
wielomianu i zapisanie równania z niewiadomą m :
1
3
+ ⋅ − ⋅ −=.
3
1
2
2
1 1 0
1
3.2
Obliczenie wszystkich wartości m , dla których liczba 1 jest rozwiązaniem równania
(pierwiastkiem wielomianu):
m = lub
0
m = .
1
1
Uzasadnienie, że dla
m = równanie ma tylko jedno rozwiązanie
0
x = (wielomian
1
ma tylko jeden pierwiastek), np. dla
m = równanie ma postać
0
3.3
1
x
3
− =− ++=, a trójmian
1
( ) (
x
1
x x
2
1 0
)
x x
2
+ + nie ma pierwiastków.
1
m = równanie ma więcej niż jedno rozwiązanie (wielomian
ma więcej niż jeden pierwiastek), np. dla
1
3.4
m = równanie ma postać
1
1
( ) ( )
x
+ −=, co oznacza, że liczba ( − też jest jego rozwiązaniem.
1
2
x
1 0
3
3.1
II sposób rozwiązania: czynność 3.1, 3.2
Zapisanie równania w postaci iloczynu, np. ( )(
x
− ++= i wykonanie
1
x bx c
2
)
0
1
mnożenia
xb xcbxc
3
+− +− −=.
( ) ( )
1
2
0
3.2
Zastosowanie twierdzenia o równości wielomianów do zapisania układu warunków:
1
b =+ i
2
1
bm
= + oraz rozwiązanie równania
3
1
mm
3
+ =+:
1
2
1
m = lub
0
1
m = .
1
3.1
III sposób rozwiązania: czynność 3.1, 3.2
Wykorzystanie twierdzenia o pierwiastkach wielomianu i wykonanie dzielenia
wielomianu W przez dwumian ( 1
x
−
:
1
W
( )( )
x
=
x
−
1
(
x
2
+
( )
3
+
1
x
+
m
3
−
m
2
+
1
) ( )
+
m
3
−
m
2
,
3.2
Skorzystanie z twierdzenia o reszcie i obliczenie m :
0
3
− m
2
=
stąd
m = lub
0
m = .
1
1
mm
Uzasadnienie, że dla
c = ,
m
m
5080905.006.png 5080905.007.png 5080905.008.png
Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki
Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom rozszerzony
4
4
4.1
Wykorzystanie w analizie zadania własności: promień okręgu jest prostopadły do
stycznej w punkcie styczności.
1
Wyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkt B i prostopadłej do prostej
4.2
o równaniu
y
=+:
9
y
= −−.
x
1
2
Wyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkt A i prostopadłej do prostej
4.3
o równaniu
y
=−:
y
= −+.
1
x
2
1
2
1
Obliczenie współrzędnych punktu przecięcia prostych
y
= −+ i
x
2
y
= −−,
4.4
2
1
który jest środkiem okręgu stycznego do danych prostych:
S =− .
( )
2,3
4.5
Obliczenie promienia szukanego okręgu:
=== .
25
1
Jeśli zdający nie zapisał w
punkcie 4.1 własności:
promień okręgu jest
prostopadły do stycznej w
punkcie styczności, ale z niej
skorzystał w rozwiązaniu, to
przyznajemy punkt w
czynności 4.1.
1
2 1
2 3
2 1
x
rAB
5080905.009.png 5080905.010.png 5080905.011.png 5080905.012.png
Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki
Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom rozszerzony
5
II sposób rozwiązania:
y
14
13
W
12
11
10
9
8
B
7
4.1
6
1
5
P
4
3
S
2
1
A
x
Wykorzystanie własności – środek okręgu leży na symetralnej odcinka AB .
Obliczenie współrzędnych punktów W – przecięcia się danych prostych
oraz P – środka odcinka AB :
( )
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
W = ,
8,13
P =− .
( )
1, 4
4.2
Wyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkty W oraz P (symetralnej
odcinka AB ):
y =+.
5
1
4.3
Wyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkt B i prostopadłej do prostej,
na której leży ten punkt (lub prostej przechodzącej przez punkt A i prostopadłej do
1
1
prostej, na której leży ten punkt):
y
= −− lub
2 1
x
y
= −+.
x
2
2
4.4
Obliczenie współrzędnych środka okręgu:
S =− .
( )
2, 3
1
4.5
Obliczenie promienia okręgu:
rAB
=== .
25
1
-6
5080905.013.png 5080905.014.png 5080905.015.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin