PODSTAWY TELEKOMUNIKACJI

Temat: Problemy optymalizacji systemów.

Cel wykładu: Zapoznać słuchaczy z problematyką optymalizacji w systemach

telekomunikacyjnych.

Zagadnienia:

·         Optymalny system telekomunikacyjny;

·         Nieoptymalny system PCM;

·         Tendencje rozwojowe;

              Opracował:

dr inż. Bronisław Marcinkowski

Optymalny system telekomunikacyjny

W teorii informacji optymalnym systemem telekomunikacyjnym nazywa się taki system, w którym transmisja przebiega ze średnią przepływnością informacji R dowolnie bliską przepustowości kanału C, przy zastosowaniu metody kodowania, której istnienie jest dowiedzione w pracy Shannona, a która zmniejsza prawdopodobieństwo błędu symbolu zakodowanego (albo ekwiwokację kanału) do wartości dowolnie bliskiej zeru.

Jednakże realizacja takiego systemu z punktu widzenia kosztu może okazać się niemożliwa. Tym niemniej jego potencjalne charakterystyki robocze są użyteczne przy ustalaniu górnej granicy możliwości praktycznych systemów.

Przepustowość kanału systemu optymalnego (w bit/s) jest podana wzorem:

C = r log2 m = r H (si)max                                                                      (1)

dt

gdzie:

·      r = 1/Tm  elementów/s – przepływność elementowa (prędkość impulsowania),

·      H – entropia telekomunikacyjna – miara średniej informacji na element sekwencji (literę, stan, symbol) w bit/element,

·      Tm – czas trwania symbolu m.

Rozważania w dotyczą znaczenia tego wyrażenia i występującej również jego postaci (2), wyprowadzonej przez Shannona dla kanału z szumem gaussowskim. Własności dotyczące przepustowości kanału zostały wcześniej przewidziane przez Hartleya. Omawiana zależność jest często nazywana twierdzeniem Shannona-Hartleya albo prawem przepustowości kanału

                                                                                    (2)

Wzór ten wyprowadzono, posługując się zasadą próbkowania, prędkością impulsowania i pojęciem przestrzeni sygnałów. Wynik można uzyskać w sposób mniej elegancki ze wzoru (1) w następujący sposób. W zaszumionym skwantowanym przebiegu PAM można mówić, że dwa stany przebiegu zaszumionego są rozróżnialne, jeśli wartość skuteczna sygnału zaszumionego jest dwukrotnie większa od wartości skutecznej samego szumu. Uogólniając to na m stanów, mówimy, że m stany są rozróżnialne, jeśli wartość skuteczna sygnału zaszumionego jest równa m wartościom skutecznym szumu. Ponieważ wartość średnio-kwadratowa sumy dwóch niezależnych przebiegów jest sumą ich wartości średniokwadratowych. wynika stad następujące wyrażenie:

                                          (3)

przy czym S i N są mocami średnimi odpowiednio sygnału i szumu.

Dla kanału bezszumnego prawdopodobieństwa a posteriori wynoszą:

     ;             i=j                             (4)

Podstawiając wyrażenie (3) do wzoru (4), otrzymuje się (w bit/s)

                                                                                    (5)

Ponieważ przepływność symboli r jest odwrotnością czasu trwania symbolu Tm, więc r nie może być zwiększane bez ograniczeń, biorąc pod uwagę zagadnienia związane z czasem narastania zbocza impulsu, przenikami międzyelementowymi itp. Nyquist wykazał, że dla uniknięcia przeników międzyelementowych między niezależnymi próbkami (impulsami reprezentującymi stany źródłowe lub symbole) szerokość idealnego pasma przepustowego musi być równa połowie odwrotności odstępu pomiędzy sąsiednimi impulsami (symbolami)

                                                                                                  (6)

Korzystając z zależności r = l/Tm i podstawiając wyrażenie (6) do wzoru (5), otrzymuje się zależność (2).

Uzyskany rezultat oznacza, że dana przepływność średniej informacji C może być utrzymana przez zamianę w sposób wykładniczy szerokości pasma i stosunku sygnału do szumu. Sugeruje to interpretację wyjściowego stosunku sygnału do szumu dla idealnego systemu. Rozpatrzmy proces przebiegający według schematu przedstawionego na rys. 1; system optymalny zawiera koder, nadajnik, kanał, odbiornik i dekoder. Przepływność entropii ze źródła R1 jest identyczna z przepływnością entropii do odbiornika R2 obydwie równe są przepustowości C.

Rys. 1. Optymalny proces telekomunikacyjny; R1 = R2 = C

Przepływności średniej informacji, we wszystkich punktach łącza są zatem identyczne, nie muszą natomiast być identyczne wartości S/N i szerokości pasma. Ponieważ R1 = R2, przepływność informacji na wejściu demodulatora może być przyrównana do przepływności na wyjściu dekodera

                                          (7)

Wyjściowe pasmo podstawowe fm jest na ogół węższe, niż szerokość pasma transmisyjnego B, stąd wyjściowy stosunek sygnału do szumu powinien być większy od wejściowego stosunku sygnału do szumu. Rozwiązując równanie (7) względem (S/N)o, otrzymuje się wyrażenie (8) w ogólnej postaci oraz przybliżenie dla dużej wartości stosunku sygnału do szumu przed detekcją

                                          (8)

Wzmocnienie przemiany stosunku sygnału do szumu dla systemu idealnego wzrasta zatem wykładniczo ze wzrostem współczynnika rozszerzenia pasma B/fm. Jest ono znacznie większe, aniżeli występujące w innych systemach modulacji, gdzie szerokość pasma i stosunek sygnału do szumu mogą być wymieniane w celu polepszenia wyjściowego stosunku sygnału do szumu, np. w systemach takich, jak FM/PM (7-151) i PPM/ /PDM.

Charakterystyki optymalne (idealnego) systemu telekomunikacyjnego określone wzorem (8) są przedstawione na rys. 2 dla wartości B/fm = l, 6, 14, 24 i 104; ostatnie cztery wartości odpowiadają następującym wartościom b dla modulacji FM: l, 5, 10 i 50. Podane są także wartości graniczne dla PCM (patrz tabl. 1). Wymiana szerokości pasma na stosunek S/N nie może być jednak prowadzona bez ograniczenia - moc szumów wejściowych Ni rośnie ze wzrostem B

                                                                      (9)

Jeśli podstawi się wyrażenie (9) do wzoru (2) otrzyma się w rezultacie zależność

                                                                      (10)

Viterbi wykazał, że przy wzroście szerokości pasma górna wartość graniczna C jest proporcjonalna do stosunku S/no wyznaczonego przez obliczenie granicy wyrażenia (10).

Rys. 2. Charakterystyki wyjściowego stosunku sygnału do szumu (SNR0) . dla optymalnego systemu i ograniczenia SNR0 dla binarnego systemu PCM

Proces obliczania granicy jest ułatwiony, jeśli zapisać omawiane wyrażenie tak, aby odpowiadało postaci (l + x)1/x dla x ® 0, co daje podstawę logarytmu naturalnego e

                                          (11)

Zatem przy wymianie szerokości pasma na stosunek sygnału do szumu przepustowość jest ograniczona wzorem

                                                                                                                (12)

To znaczy, że ograniczenie od góry wzrostu przepustowości kanału przy zwiększaniu B jest określone stosunkiem średniej mocy sygnału do gęstości widmowej szumu. Jest to zgodne z tym, czego można było oczekiwać. Przypuśćmy, że z powodu niskiego poziomu mocy sygnału w paśmie B1 w stosunku do poziomu szumów w paśmie nieskończonym (rys. 3), stosunek sygnału do szumu jest mały już dla pasma Bl. Wówczas z punktu widzenia sygnału na tle szumu, szerokość pasma Bl ma wartość graniczną; przepustowość C nie może być zwiększona przez zwiększenie B1 do pewnej wartości B2 i nie może być zachowana stopa błędu bez zwiększenia poziomu sygnału. Szerokość pasma nie może być zatem dowolnie wymieniana na stosunek sygnału do szumu dla każdego poziomu SNR, ponieważ moc sygnału może już być graniczna w stosunku do gęstości widmowej szumu. Wymiana szerokości pasma na stosunek sygnału do szumu (dla zwiększenia przepustowości) jest ograniczona wstępnym stosunkiem wartości średniej mocy sygnału do poziomu gęstości widmowej szumu.

Rys. 3.  Poziomy sygnału i szumu w paśmie transmisyjnym B1

Inne warunki jakie musi spełniać system optymalny są następujące. Aby zachować przepływność R bliską przepustowości C określonej wyrażeniem granicznym log2 M(T)/Tm, jeśli wzrasta Tm musi wzrastać M(T). Ze wzoru

M(T) = mT / Tm                                                                                    (13)

wynika, że jeśli wzrasta Tm przy stałym czasie trwania elementu kodowego Tc, to zwiększa się liczba stanów M(T); oznacza to większą liczbę cyfr w słowie kodowym, ponieważ

n = rTm = Tm/Tc.                                                                                     (14)

Jest to korzystne, ponieważ wiemy z teorii kodowania, że dłuższe kody mają lepsze własności kontroli błędów (korekcji większej liczby c błędów). Zmniejsza się zatem prawdopodobieństwo błędu elementowego (słowa kodowego), wobec czego zmniejsza się ekwiwokacja kanału, co umożliwia zbliżenie przepływności informacji do wartości C. Tym niemniej w praktyce Tm może być zwiększone dowolnie tylko w przypadku, gdy transmisja nie ma ograniczeń wynikających z pracy na bieżąco. Ponieważ Tm jest czasem trwania elementu źródłowego (słowa kodowego), więc jeśli elementy źródłowe reprezentują próbki przy częstotliwości Nyquista 2fm, to dla transmisji na bieżąco wartość Tm nie może przekroczyć l/2fm = Ts. W przeciwnym razie sygnały ze źródła nie mogą być zakodowane bezpośrednio, ale muszą być zapamiętywane, następnie sygnał wyjściowy z pamięci (rejestru, taśmy, komputera itp.) musi być zakodowany z dłuższymi czasami Tm dla każdej próbki. Stanowi to problem przy transmisji na bieżąco dźwięku albo obrazu. Transmisja tekstu, dalekopisowa lub fototelegraficzna może odbywać się z dowolną podstawą czasu.

W granicznym przypadku niewystępowania błędów, system optymalny wymaga nieskończenie długiego opóźnienia czasowego. Nieskończenie długi czas trwania elementu kanałowego jest ujawniony w wyrażeniu

                                                                                    (15)

stanowiącym przybliżenie funkcji próbek ergodycznego źródła białego szumu gaussowskiego (nieskorelowanych, a zatem niezależnych funkcji próbek). Najlepszą metodą detekcji dekodowania byłaby korelacja przychodzącego ,,przetworzonego szumowo" alfabetu z M(T) funkcjami próbek dopasowanymi do M(T) elementów alfabetu nadanego. Sygnały wyjściowe korelatora będą z zasady równe zeru dla wszystkich stopni za wyjątkiem stopnia, którego zapamiętany przebieg odpowiada elementowi nadanemu, ponieważ korelacja skrośna będzie tam autokorelacją szumu białego, a zatem funkcją delta. Niezależny szum addytywny będzie miał niewielki udział w sygnałach wyjściowych korelatora. Wymagany czas trwania elementu kanałowego dla transmisji niewprowadzającej błędów jest zatem nieskończenie długi.

Szczególną postacią elementu o skończonym czasie trwania, mającym odpowiednie własności dla funkcji autokorelacji jest tak zwany kod zupełny (ang. perfect) opracowany przez Barkera. Mówimy, że n-cyfrowa bipolarna sekwencja kodowa jest zupełna, jeśli boczne listki jej funkcji autokorelacji są nie większe niż E/n, gdzie E jest wartością funkcji autokorelacji w początku układu współrzędnych (i energią sekwencji) i w rezultacie — amplitudą sygnału wyjściowego korelatora na końcu elementu. Sekwencje takie wzmagają własności kompresji elementów (impulsów), jeśli chodzi o funkcję autokorelacji, co powoduje polepszenie detekcji.

Nieoptymalny system PCM

W binarnym systemie PCM sygnał na wyjściu kodera źródłowego składa się z sekwencji stanów binarnych. Proces transmisji jest przedstawiony na rys. 4; koder generuje ciągłe impulsy si(t), i = 1,0, dla każdego stanu binarnego, z użyciem pewnego sposobu modulacji PCM, jak FSK, PSK itp. Kanał wprowadza szumy; w odbiorniku odbywa się detekcja elementów z prawdopodobieństwem błędu cyfrowego Pe i dekodowanie z prawdopodobieństwem błędu słowa (próbki, litery znaku) Pcw. W celu powiązania własności omawianego systemu PCM z własnościami systemu idealnego należy wyznaczyć ekwiwokację kanału.

Dla każdego systemu średnia informacja wzajemna jest określona wzorem

    I(s,r)              ...