Cwiczenia_rach_ekon.pdf

Rachunekprawdopodobie«stwa2007/2008.EkonomiaIrok

PiotrKo±cielniak

1Kombinatoryka,prawdopodobie«stwoklasyczneigeometryczne

zad.1.1Obliczprawdopodobie«stwotraﬁeniawDu»ymLotku(6z49)"szóstki","pi¡tki","czwórki"

oraz"trójki".

zad.1.2Nailesposobówmo»naustawi¢8wie»naszachownicy?Jakiejestprawdopodobie«stwo,

»enieb¦d¡si¦wzajemnieszachowa¢?

zad.1.3Napółcestoi15ksi¡»ek.Nailesposobówmo»nawyci¡gn¡¢6znich,takabynie

wyci¡gn¡¢dwóchs¡siednich?

zad.1.4Przyokr¡głymstolesadzamylosowodwóchFrancuzów,dwóchAnglikóworazdwóch

Turków.Jakiejestprawdopodobie«stwo,»e»adnychdwóchs¡siadównieb¦dzietejsamejnaro-

dowo±ci?

zad.1.5Jest5ró»nychparr¦kawiczek.Trzyosobywlosowysposóbwybieraj¡pojednejleweji

jednejprawejr¦kawiczce.Jakiejestprawdopodobie«stwo,»e»adnaztychosóbniedostaniepary?

zad.1.6Wrecepcjijestpi¦¢kluczydopi¦ciupokoji.Pi¦¢osób,zktórychka»dymieszkawjednym

ztychpokoji,losowobierzejedenklucz.Jakiejestprawdopodobie«stwo,»e»adenniewejdziedo

swojegopokoju?

zad.1.7Osiemmał»e«stw,tzn.osmium¦»szczyzniosiemkobiet,dzielisi¦losowonaczterygrupy

poczteryosoby,byodby¢spacerczteremajednakowymiłódkamiczteroosobowyumi.Jakiejest

prawdopodobie«stwo,»ewka»dejłódceb¦dziedokładniepodwóchm¦»szczyznidwojekobiet?A

jakie,»edanym¦»szczyznaspotkanałódceswoj¡»on¦?

zad.1.8Dziewi¦¢osóbidzieg¦siego(tzn.jedenzadrugim).Wpewnejchwilizmieniaj¡siekole-

jno±ci¡.Jakiejestprawdopodobie«stwo,»epotejzamianie»adnaosobanieb¦dzieszłazat¡sam¡

osob¡copoprzednio?

zad.1.9Dwóchkolegówumówiłosi¦naspotkanie.Ka»dyznichprzyjdzienamiejscespotkaniaw

losowowybranymmomenciemi¦dzy12h00a13h00ib¦dzieczeka¢nakoleg¦conajwy»ej15minut.

Jakiejestprawdopodobie«stwo,»esi¦spotkaj¡?

2Prawdopodobie«stwocałkowite,warunkowe,wzórBayesa.Nieza-

le»no±¢zdarze«

(,,P)-przestrze«probabilistyczna;

P()=1,P(A 0 )=1−P(A),A[A 0 =,A\A 0 =;,

P(A[B)=P(A)+P(B)−P(A\B),

P(A[B[C)=P(A)+P(B)+P(C)−P(A\B)−P(B\C)−P(A\C)+P(A\B\C),

P(A 1 [...[A n )=1−P(A 0 1 \...\A 0 n ).

AiBs¡niezale»ne,gdyP(A\B)=P(A)P(B).

P(A|B)= P(A\B)

P(B)

prwadopodobie«stwozdarzeniaA,podwarunkiemzdarzeniaB(gdyP(B)>0).

NiechA 1 ,...,A n jestrozbiciem,tzn. S n i=1 A i =izbioryA i s¡paramirozłaczne.Wtedy:

P(A)=P(A|A 1 )P(A 1 )+···+P(A|A n )P(A n )

(prawdopodobie«stwocałkowite),

P(A) = P(A|A i )P(A i )

P(A|A 1 )P(A 1 )+···+P(A|A n )P(A n )

(wzórBayesa).

zad.2.1Rzucamykostk¡dogry.Czyzdarzenie,»ewypadnieparzystaliczbaoczekjestniezale»ne

odzdarzenia,»ewypadłojednolubdwaoczka?

zad.2.2Rzucamydwomakostkamidogry.NiechAoznaczazdarzenie,»esumaoczekjestwi¦ksza

ni»7,aB,»ewarto±¢bezwzgl¦dnaró»nicyoczekjestmniejszani»2.Czytezdarzenias¡niezale»ne?

zad.2.3S¡dwieurny.Wpierwszejs¡4kulebiałei2czarne,awdrugiej2białei3czarne.

Losujemyjednakulezurnypierwszejiwrzucamydodrugiej,anast¦pnielosujemykulezurny

drugiej.Jakiejestprawdopodobie«stwo,»ewylosujemykul¦biał¡?

zad.2.4S¡trzykarty:jednajestzobustronbiała,jednazobustronczerwona,aostatniazjednej

stronybiała,azdrugiejczerwona.Losujemykart¦ikładziemyj¡nastół.Patrzymyiwidzimy,

»eugóryjeststronakoloruczerwonego.Jakiejestprawdopodobie«stwo,»einadolejeststrona

czerwona?

zad.2.5Dwóchkolegówumówiłosi¦naspotkanie.Ka»dyznichprzyjdzienamiejscespotkaniaw

losowowybranymmomenciemi¦dzy12h00a13h00ib¦dzieczeka¢nakoleg¦conajwy»ej15minut.

Jakiejestprawdopodobie«stwo,»esi¦spotkaj¡,je±liwiemy,»ektóry±znichnapewnoprzyjdzie

mi¦dzy12h00a12h30?

zad.2.6Losujemyniezale»nieodsiebiedwieliczbyzprzedziału[0,1].Jakiejestprawdopodobie«stwo,

»ejednaznichjestwi¦kszani»0.75,je±liwiemy,»ejednaznichjestmniejszaod0.25?

zad.2.7Wcelijesttrzechwi¦¹niów,powiedzmynumer"1","2"i"3".Wiadomo,»edwóchz

nichzostanienast¦pnegodniastraconych,wi¦cjedynkauwa»a,»eprawdopodobie«stwo,»ezostanie

straconywynosi2/3.

"1"mówidostra»nika(którywiektob¦dziestracony):"Obojewiemy,»espo±róddwóchmoich

wsółwi¦¹niównapewnojedenb¦dziestracony,wi¦cje±limipowiesz,któryto,tonicminiepowiesz".

Stra»nikpomy±lałchwil¦ipowiedział""3"zostaniestracona"."1"si¦ucieszył,boterazzostałoich

tylkodwóch,wiecprawdopodobie«stwo,»ezostaniestraconyspadłodo1/2.Czy"1"si¦słusznie

cieszy?

zad.2.8Pasa»erlecizmiastaAdoD,zprzesiadkamiwmiastachCiD.Prawdopodobie«stwo,»e

baga»zaginiewmiastachB,CiDwynosz¡odpowiednio0.1,0.2i0.3.PoprzylociedoDpasa»er

si¦dowiedział,»ebaga»zagin¡ł.Jakiejestprawdopodobie«stwo,»ezagin¡łwmie±cieC?

P(A i |A)= P(A|A i )P(A i )

zad.2.9Wpewnejdru»yniegradwóchnapastników:AiB.Skuteczno±¢wykonywaniaprzeznich

rzutówkarnychwynosiodpowiednio0.8i0.6.Przedmeczemtrenersi¦dowiedział,»edokładnie

jedenznichzostałprzekupiony.Nameczus¦dziapodyktowałrzutkarny,awyznaczonydoniego

napastnikAniestrzelił.Kogomawyznaczy¢trenerdodrugiegokarnego(AczyB),je±liwiadomo,

»eprzekupionyzawodnikniestrzelakarnegozprawdopodobie«stwem0.1?

zad.2.10Królewnanie»kadostałaodmacochytrzyjednakowekoszykipodwajabłka.Wietylko,

»ewktórym±s¡dwatruj¡cejabłka,winnymdwazdroweawostatnimjednozdroweijednotruj¡ce.

Królewnamusiwybra¢jednojabłkoigozje±¢.Dodyspozycjimajednorazowytester.Wylosowała

jednojabłko,aletesterpokazał,»ejesttruj¡ce.Comazrobi¢królewna?

zad.2.11Złyczarownikzamieniłwszystkieksi¦»niczkiw»abyiwpu±ciłjedojednegozczterech

stawówitylkopocałunekmo»ejeodczarowa¢.Ksi¡»e,któryszukał»ony,wie,»ewewszystkich

stawachjesttakasamailo±¢»ab,awstawiegdzies¡ksi¦»niczkistanowi¡onetrzeci¡cz¦±¢»ab.

Ksi¡»ewyłowiłjedn¡»ab¦ipocałowałj¡,tajednakniestałasi¦ksi¦»niczk¡.Cowi¦cejuciekła

ksi¦ciuzpowrotemdostawu.Comaterazzrobi¢ksi¦ciu?Wyłowi¢»ab¦ztegosamegostawu,czy

zinnego?

zad.2.12Nawyspiejestgenerałiszeregowiec.Wysp¦zl¡demł¡cz¡dwamostyprawyilewy

zaminowaneodpowiedniozprawdopodobie«stwem2/3i1/3.Przyprzej±ciuprzezzaminowany

mostprawdopodobie«stwowybuchuminy(iwkonsekwencji±mierci)wynosi1/2.Generałmo»e

wysła¢szeregowcaktórym±zmostów,apotemmusisamopu±ci¢wysp¦.Jak¡strategi¦powinien

obra¢generał,abyprawdopodobie«stwo,»eprze»yjebyłonajwieksze?

zad.2.13Narozstajudróg,zktórychjednaprowadzidomiastaA,adrugadomiastaB,stoj¡dwaj

bli¹niacy,zktórychjedenmówiprawd¦zprawdopodobie«stwemp,adrugazprawdopodobie«stwem

q.Podchodzimydonichipytamy:"KtóradrogaprowadzidoA?"Który±znichodpowiedział"W

lewo".Zapytanydrugibratodpowiedział,»etoprawda.któradrogaprowadzidoA?

3Zmiennelosowe

Tw.CzebyszewaP(|X−EX|<k)1−1/k 2 .

E(aX+bY)=aEX+bEY,Var(aX)=a 2 VarX

E(X+Y)=EX+EY,XiYniezale»netoVar(X+Y)=VarX+VarY

zad.3.1Jakajestoczekiwanaliczbaoczekwrzuciekostk¡?

zad.3.2Rzucamydwomakostkami.Jakajestoczekiwanasumaoczekjakiewypadn¡?

zad.3.3Trzechﬁzyków,dwóchmatematykówijedeninformatyksiadaj¡losowoprzyokr¡głym

stole.Jakajestoczekiwanaliczbaﬁzyków,którzysiedz¡mi¦dzymatematykamipotejstroniestołu

poktórejniesiedziinformatyk.

zad.3.4Osiemosób(czterechchłopcówiczterydziewczyny)losowodobieraj¡si¦wpary.Jaka

jestoczekiwanaliczbaparró»nopłciowych?

zad.3.5Jakijestoczekiwanyzyskgraczawruletk¦?

zad.3.6Wurnies¡4kulebiałe,5czarnychi6zielonych.Losujemybezzwracania3kule.Jaka

jestoczekiwanaliczbawylosowanychkulbiałych?

zad.3.7Lic zbasztukwadliwychXwseriiwytwarz anychprzezpewn¡maszyn¦jestzmienn¡losow¡

orozkładzie x 0 1 2 3 4

zad.3.8Prawdopodobie«stwodotarciareklamydodanejosobywynosi0.2.Jakiejestpraw-

dopodobie«stwo,»ew±ródlosowowybranych10ludziprzynajmniej2znichzobaczyt¡reklam¦?

Jakajestoczekiwanaliczbaosób,którezobaczyreklam¦?

zad.3.9LiczbaklientówXwdanejminuciewpewnymsklepiejestopisanarozkłademPoissonao

parametrze=2.Jakiejestprawdopodobie«stwo,»ewjakiej±minucieniema»adnegoklienta?A

jakie,»eb¦dzieniewi¦cejni»jeden?Ilu±redniob¦dziewsklepiewdanejminucie?

zad.3.10Ka»dyz1000-capracownikówmo»ewybra¢jedenze100ró»nychmodeliiwersjitele-

fonówkomórkowych.Zakładaj¡cniezale»no±¢wyborów,jakiejestprawdopodobie«stwo,»ejeden

typtelefonuwybierze3pracowników?

zad.3.11Wstawiepływa100ryb,aw±ródnich10złotych.Wyłowili±mylosowo5rybek.Jakie

jestprawdopodobie«stwo,»ezłowili±myprzynajmniejjedn¡złot¡rybk¦?Ile±redniozłotychrybek

złowimy?

zad.3.12Pewnachorobawyst¦pujeu1%ludzi.Wprzychodnirozpoczynamypojedy«czebadania

ludzi.Jakiejestprawdopodobie«stwo,»eczwartaosobaoka»esiejakopierwszachora?Jakajest

oczekiwanaliczbabada«bynatraﬁ¢napierwszaosob¦chor¡?

zad.3.13Bezawaryjnyczaspracypewnegourz¡dzenia(wgodz.)jestopisanyrozkłademwykład-

niczymoparametrze=0.01.Jakiejestprawdopodobie«stwo,»etourz¡dzenieb¦dziepracowało

dłu»ejni»200godz.?Ajakie,»ekrócejni»10godzin?Aileb¦dzie±redniopracował?

zad.3.14Pewnacecha(wielko±¢)marozkładnormalnyN(0,1).Jakiejestprwadopodobie«stwo,

»etacechaprzyjmiewarto±¢wi¦ksz¡ni»1?

zad.3.15Długo±¢rozmowytelefonicznejpracownikówwpewnejﬁrmienarozkładnormalnyo

±redniej10miniodchyleniu4min.Jakiejestprawdopodobie«stwo,»epracownikb¦dzierozmawiał

dłu»ejni»15min?

zad.3.16Wła±cicielrestauracjiwiezdo±wiadczenia,»e70%klientów,którzyrezerwuj¡stolik

rzeczywi±cieprzychodzi.Pewnegodniawła±cicielprzyj¡ł60rezerwacji,chocia»matylko50stolików.

Jakiejestprawdopodobie«stwo,»ewtymdniuzabrakniemiejsc?

zad.3.17Handlowieczamawiacodziennie80sztukpewnegoartykułu.Ka»dyz200-tupotencjal-

nychklientówkupuje±rednio1sztuk¦na3dni(niezale»nieodinnych).Obliczprawdopodobie«stwo,

»ewustalonymdniuwszystkiesztukib¦d¡sprzedane.Ailemusizamówi¢sztuk,»ebyzpraw-

dopodobie«stwemconajmniej0.95sprzeda¢wszystkiesztuki?

zad.3.18Kurazprawdopodobie«stwem0.8znosijednojajodziennie(az0.2»adnego).Ilemin-

imalniekurpowinienmie¢hodowca,»ebyprawdopodobie«stwo,»ewyprodukujedziennieprzyna-

jmniej1000jajbyłowi¦kszeni»0.95?

P(X=x)0.10.20.30.30.1 IlewynosiP(1<X3)?Wyznaczwarto±¢

±redni¡E(X)iwariancj¦Var(X).

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: