top107.pdf

TOPOLOGIA

WPPTI,sem.letni

LISTY1i2

WrocÃlaw,20i27lutego2007

LISTA1

ZADANIE1.Sprawd¶z,_zeponi_zszemetrykiwprzestrzenifunkcjirzeczywistych

ci»agÃlychna[0,1]speÃlniaj»aaksjomatto_zsamo¶sciiwarunektr¶ojk»ata.

Z 1

d 1 ( f;g )=

jf ( x ) ¡g ( x ) jdx

s Z 1

d 2 ( f;g )=

( f ( x ) ¡g ( x )) 2 dx

ZADANIE2.Niech d e b»edziemetryk»aeuklidesow»awprzestrzeniR n .Niech Y½ R n

b»edziepodzbioremotejwÃlasno¶sci,_zedowolnedwapunkty x;y2Y mo_znapoÃl»aczy¶c

Ãlaman»aÃLwcaÃlo¶scizawart»aw Y .DÃlugo¶sci»a l (ÃL)ÃlamanejÃLnazwiemysum»edÃlugo¶sci

jejodcink¶owskÃladowych,gdziedÃlugo¶s¶codcinkatoodlegÃlo¶s¶c d e jegoko¶nc¶ow.W

przestrzeni Y wprowadzamymetryk»e\najkr¶otszejdrogi"

d n ( x;y )=inf fl (ÃL):ÃL ½Y; ÃLÃl»aczy x z yg:

Sprawd¶z,_ze d n jestpoprawniezde¯niowan»ametryk»ana Y .

ZADANIE3.Udowodnij,_zeje¶sli d 1 i d 2 s»ametrykamina X ,to

d s ( x;y )= d 1 ( x;y )+ d 2 ( x;y )oraz d m =max fd 1 ( x;y ) ;d 2 ( x;y ) g

te_zs»ametrykamina X .

ZADANIE4.Udowodnijponi_zszenier¶owno¶sciwdowolnejprzestrzenimetrycznej.

Podajichinterpretacjewj»ezykupotocznym.Czyka_zdaznichjestr¶ownowa_znaz

warunkiemtr¶ojk»ata.

d ( x;y ) ¸jd ( x;z ) ¡d ( y;z ) j; jd ( x;y ) ¡d ( z;v ) j·d ( x;z )+ d ( y;v )

ZADANIE5.OdlegÃlo¶s¶cpunktu x2X odzbioru F½X wprzestrzenimetrycznej

( X;d )okre¶slamywzorem

d ( x;F )=inf

y2F

d ( x;y ) :

PodajprzykÃladnato,_zenieobowi»azujenast»epuj»aceuog¶olnieniewarunkutr¶ojk»ata

d ( x;y ) ·d ( x;F )+ d ( y;F ) :

Wyka_zjednak,_zepozostajewmocyanalogonpierwszejnier¶owno¶scizzadania4

d ( x;y ) ¸jd ( x;F ) ¡d ( y;F ) j:

(Dlaczegoulichaniemami»edzynimir¶ownowa_zno¶sci,skorowzadaniu4byÃla)?

ZADANIE6.Spr¶obujmywprowadzi¶ctakieoto,,metryki"wklasiewszystkich

podzbior¶owprzestrzenimetrycznej( X;d ):

d i ( E;F )= inf

x2E;y2F

d ( x;y ) ;d s ( E;F )=sup

x2E;y2F

d ( x;y ) :

Dlaczegos»atopr¶obynieudane?

LISTA2

ZADANIE7. Kul»aotwart»a opromieniu r i¶srodkuwpunkcie x wprzestrzeni

metrycznej( X;d )nazywamyzbi¶or

K ( x;r )= fy2X : d ( x;y ) <rg:

Jakwygl»adaj»akulewnast»epuj»acychprzestrzeniach:

1)R 2 d e , d t , d s ,

2)przestrze¶nfunkcjirzeczywistychograniczonychnazbiorze Y wmetrycesupre-

mum d sup ( f;g )=sup y2Y jf ( y ) ¡g ( y ) j ?

ZADANIE8.Podzbi¶or U przestrzenimetrycznej( X;d )nazywamy otwartym ,je¶sli

speÃlniaonwarunek

8 x2U 9 r> 0 K ( x;r ) ½U:

Udowodnij,_zesumadowolnejrodzinyzbior¶owotwartychjestzbioremotwartym,i

_zeprzekr¶ojsko¶nczonejrodzinyzbior¶owotwartychjestzbioremotwartym.

ZADANIE9.Udowodnij,_zezbi¶orjestotwartywtedyitylkowtedygdyjestsum»a

pewnejrodzinykul.

ZADANIE10.WR 2 (tosamomo_znazrobi¶cwR n )rozwa_zmytrzymetryki:eu-

klidesow»a,taks¶owkow»aisupremum.Sprawd¶z,_zekuleka_zdejztychmetryks»a

zbioramiotawrtymiwzgl»edemdw¶ochpozostaÃlychmetryk,anast»epniewywnioskuj

ztego,_zewszystkietetrzymetrykimaj»atesamezbioryotwarte(tzn.zbi¶or F jest

otwartywjednejznichwtedyitylkowtedygdyjestotwartywdrugiej).

Wskaz¶owka :Zacznijodlematu,_zedlakazdejparytychmetryk,kulawok¶oÃlpunktu

x wjednejwnichzawierakul»e(naog¶oÃlomniejszympromieniu)wok¶oÃltegosamego

punktuwdrugiejzmetryk.Oka_zesi»e,_zetojedynatechnicznacz»e¶s¶ctegozadania.

TomaszDownarowicz

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: