1.1. Zapisz schemat zdania:
a) Jeżeli nie spróbuję, to nie wygram.
b) Nie jest prawdą, że jeśli spróbuję, to wygram.
c) Nie jest prawdą, że jeśli nie wygrałem, to nie spróbowałem.
d) Jeżeli Mieczysław oświadczył się Karolinie, to jest ślepy lub zakochany.
e) Jeżeli Karolina wyjdzie za Mieczysława, a jej plan się powiedzie, to zostanie bogatą wdową.
f) Karolina przyjmie oświadczyny Mieczysława i wyjdzie za niego wtedy i tylko wtedy, gdy Mieczysław zapisze jej dom lub podaruje dwa samochody.
g) Jeżeli Mieczysław nie rozwiedzie się z żoną i nie ożeni z Karoliną, to zachowa majątek i szacunek rodziny, ale nie będzie szczęśliwy.
h) Tadeusz nie będzie zadowolony, jeśli wróci wcześniej i pozna całą prawdę.
i) Jeżeli Tadeusz nie wróci wcześniej, to o ile sąsiedzi będą dyskretni, Tadeusz o niczym się nie dowie.
j) Tadeusz zabierze synowi kieszonkowe i nie pozwoli korzystać z komputera, jeśli zobaczy jego świadectwo.
k) Nie jest prawdą, że jeśli przeczytam podręcznik i nie będę opuszczał zajęć, to zdam egzamin.
l) Jeżeli nie przygotuję się do egzaminu, to albo będę miał szczęście i wylosuję łatwe pytania, albo nie będę miał szczęścia i nie zdam egzaminu.
ł) Jeśli pójdę na imprezę, to jutro będzie bolała mnie głowa i nie nauczę się logiki, a jeśli nie nauczę się logiki, to nie zaliczę poniedziałkowego kolokwium; ale jeśli nie pójdę na imprezę, to będę cały czas myślał, co straciłem i też nie nauczę się logiki.
Zadania 1.2, 1.3 i 1.4 mają na celu utrwalenie w pamięci tabelek zero-jedynkowych oraz wyrobienie umiejętności sprawnego posługiwania się nimi.
1.2. Tam gdzie jest to możliwe, określ wartość całego zdania o podanym schemacie, wiedząc, że p = 1.
35
a) p Ù q
b) p Ú q
c) p ® q
d) p º q
e) p Ú ~ p
f) (p Ù q) ® p
g) (p Ù q) º p
h) p Ù ~ (p Ú q)
i) p º (~ p Ù q)
j) (~ p ® q) ® ~ p
k) (p º ~ p) Ú (q ® p)
l) ~ [(p ® q) Ú p]
1.3. Tam gdzie jest to możliwe, określ wartość całego zdania w przykładach z poprzedniego zadania, wiedząc, że p = 0
1.4. Tam gdzie jest to możliwe określ wartość zmiennej q, wiedząc że całe zdanie o podanym schemacie jest prawdziwe, natomiast p = 0.
a) p ® q
b) q ® p
c) p º q
d) ~ q ® ~ p
e) ~ (p Ú q)
f) ~ (p Ù q)
g) ~ p Ù (p Ú q)
h) (p Ú ~ q) º ~ p
i) q Ú ~ (p ® q)
1.5. Sprawdź, czy formuła jest tautologią metodą wszystkich możliwych podstawień. Następnie sprawdź to samo przy pomocy metody skróconej.
a) p ® ( p ® q)
b) (p Ù q) ® (p Ú q)
c) (p Ù q) Ú (p ® q)
d) (p ® q) ® (~ p Ú q)
e) (p Ù ~ q) ® ~ ( p ® q)
f) (p º q) ® [(p ® q) Ú q]
g) [(p ® q) Ù q] ® (p º q)
h) (p ® q) º (~ q ® ~ p)
i) (~ p ® q) º (q ® p)
Porównaj wyniki otrzymane obydwiema metodami. Jeżeli jeszcze nie całkiem rozumiesz ideę działania metody skróconej, zwróć uwagę, na następujące fakty. W przypadku formuł, które okazały się zawsze prawdziwe, gdy sprawdzałeś je zwykłą metodą, założenie, że mogą okazać się fałszywe (przy metodzie skróconej) prowadzi do sprzeczności. Sprzeczność ta wskazuje, że formuła nie może stać się schematem zdania fałszywego, a więc musi być zawsze prawdziwa. W obu metodach ten sam fakt został wykazany różnymi sposobami.
Jeśli przy sprawdzaniu zwykłą metodą, okazywało się, że formuła może okazać się schematem zdania fałszywego przy pewnym konkretnym podstawieniu, to badając formułę metodą skróconą, otrzymujemy to właśnie podstawienie jako to, przy którym nie ma sprzeczności.
1.6. Sprawdź, czy formuła jest kontrtautologią metodą wszystkich możliwych podstawień. Następnie sprawdź to samo przy pomocy metody skróconej.
a) (p Ú q) Ù (p Ù ~ q)
b) (p Ù q) Ù ( p ® ~ q)
c) p Ù ~ ( p ® q)
d) ~ [ p ® (p ® ~ q)]
e) ~ (p Ú q) Ù (~ p ® q)
f) (p º q) Ù ~ (p ® q)
Podobnie jak w poprzednim zadaniu porównaj wyniki otrzymane obydwiema metodami i zauważ występujące prawidłowości.
1.7. Sprawdź skróconą metodą, czy formuła jest tautologią.
a) [(p Ù ~ q) Ù (q º ~ r)] ® r
b) [p ® (q Ù r)] ® [~ q ® (p Ú ~ r)]
c) (p ® q) ® {(p ® r) ® [(p ® (q Ù r)]}
d) [(p Ù q) ® ~ r] ® [~ (r ® ~ p) ® ~ q]
e) {[p ® (q ® r)] Ù (r ® s)} ® [(q Ù ~ r) ® ~ s]
f) {[(p Ú q) ® r] Ù ~ r} ® (~ p Ù ~ q)
g) [(q ® r) Ù p] ® [(p ® q) ® (r Ú ~ p)]
h) [~ (~ p ® ~ r) ® ~ q] ® [(~ p Ù q) ® ~ r]
i) [(~ q ® p) Ù (p ® ~ r)] ® [(q Ú r) ® ~ p]
j) ~ (p Ù q) ® {(~ p Ú r) ® [p ® (~ q Ù r)]}
k) (q ® ~ p) ® {(~ r ® p) ® [~ p ® (q Ù r)]}
l) [(p º q) Ú (q Ù r)] ® [ ~ r ® (q º r)]
ł) {[p º (q Ù ~ r)] Ù [q ® (p º r)]} ® (p ® r)
m) [(p Ù ~ r) ® ~ q] º [(p Ù q) ® r]
n) [p ® (~ q Ú r)] º [~ (~ p Ú q) Ú ( r Ú ~ p)]
o) (p ® q) º [(r Ù p) ® (r Ù q)]
p) [(p Ù ~ s) ® q] ® {[(r Ú s) ® ~ q] ® (p ® ~ r)}
1.8. Sprawdź skróconą metodą, czy formuła jest kontrtautologią.
a) ~ [p ® (~ q Ù r)] Ù (p ® r)
b) (p ® q) Ù {(~ q ® ~ r) Ù ~ [(p Ú r) ® q]}
c) ~ {[~ p ® (q Ù r)] Ú [ r ® (p Ù q)]}
d) [~ p ® (q ® r)] Ù ~ [(p Ú q) ® (~ p ® r)]
e) [p ® ~ (~ q Ú ~ r)] Ù ~ [~ p Ú (q Ù r)]
1.9. Które z poniższych zdań są prawdami logicznymi?
a) Józef zostanie prezesem lub nie zostanie prezesem.
b) Albo Józef będzie uczciwy i nie zostanie prezesem albo jeśli Józef nie będzie uczciwy to zostanie prezesem.
c) Jeżeli Józef zostanie prezesem wtedy i tylko wtedy gdy nie będzie uczciwy, to nie jest prawdą, że zarazem Józef będzie uczciwy i zostanie prezesem.
d) Jeżeli Józef zostanie prezesem wtedy i tylko wtedy gdy nie będzie uczciwy, to albo Józef będzie uczciwy, albo nie zostanie prezesem.
e) Jeżeli Józef zostanie prezesem wtedy i tylko wtedy gdy zwolni Jerzego lub Mieczysława to jeśli Józef nie zwolni Jerzego to nie zostanie prezesem.
f) Jeżeli Józef zostanie prezesem wtedy i tylko wtedy gdy zwolni Jerzego lub Mieczysława to jeśli J...
adad.molo