2.doc

1. Postać macierzowa układu równań

Układ n - równań o n - niewiadomych

a11x1 + a12x2 + ........ + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ........ + a2nxn = b2

.....................................................

an1x1 + an2x2 + ........ + annxn = bn

można zapisać :

Rozwiązanie (*) jest następujące:

A-1AX = A-1B pamiętając, że A-1A = 1 oraz 1X = X

stąd : X = A-1B   dla A   nieosobliwej

Przykład:

W postaci macierzowej:

gdzie:

Problem : poszukiwanie macierzy A-1

1) det A = 1 + 9 + 8 + 2 + 6 - 6 = 20 ; (np. metodą Sarrusa)

2) obliczamy dopełnienia algebraiczne macierzy A:

A11 = 7, A12 = 1, A13 = -11,

A21 = 1, A22 = 3, A23 = 7,

A31 = 5, A32 = -5, A33 = -5.

stąd:

3) Transponując oraz dzieląc przez   det A    otrzymamy:

4) Następnie obliczamy:

5) Stąd otrzymujemy wynik:

Układ n - równań o m - niewiadomych

Twierdzenie Kroneckera - Capellego

Przykład:

postępowanie:

wiec rząd macierzy A nie może = 3 (musi być mniejszy);

więc rząd macierzy A wynosi 2

Rząd tej macierzy tez wynosi 2 - s p r a w d z i ć !!!

cd.

rozwiązujemy np. metodą Sarrusa

Uwaga !!!

Wyniki są funkcjami parametru  "z"

np. dla  z = 1 mamy:

x = 1+1/7 = 8/7 oraz y = 1 + 10/7 = 17/7

2. Postać blokowa macierzy A

Dana:

Wtedy  A   ma postać blokową.

Przykład;

Dzielimy  A na 4 - podmacierze :

      Stąd:

Uwaga !!!

Dana macierz może "posiadać" różne macierze blokowe (być podzielona w dowolny - "wygodny" - sposób)

Wniosek:

W wielu wypadkach bardzo   u p r a s z c z a   to rachunki

np. pozwala diagonalizować daną macierz, co znacznie upraszcza obliczenia        numeryczne

3) Wartości własne macierzy A

       np.

więc:

równanie sekularne (*) przybiera postać:

-l 3 +2l 2 + 30l - 60 = 0;

l 2(l - 2) - 30(l - 2) = 0;

(l -2)(l 2 - 30) = 0;

stąd:

wiec pierwiastki charakterystyczne macierzy   A   wynoszą:

Uwaga !!!

Macierz kwadratowa A = [aii] jest 3-ciego stopnia (i = 1,2,3) i posiada 3 pierwiastki charakterystyczne l i (i = 1,2,3)

Własności:

                                    c.n.d.

2) Iloczyn pierwiastków charakterystycznych l i  równa s ię  wartości wyznacznika macierzy A, tzn.:

                         c.n.d.

3) Ślad macierzy a równa się sumie jej pierwiastków charakterystycznych, tzn.:

c.n.d.

4. Tw. Cayley'a - Hamiltona

Wielomian charakterystyczny W(l ) macierzy A ma tę własność, że:

Spr. (poprzedni przykład):

l 3 -2l 2 - 30l + 60 = 0;

l = A więc mamy równanie macierzowe:

A3 -2A2 -30A + 60 = 0

1