Instrukcja do zajęć laboratoryjnych nr 2.                                                        Katedra Podstaw Konstrukcji Maszyn

Metody Numeryczne

Temat: Interpolacja (2) – przybliżanie funkcji zadanej analitycznie

(wzór Czebyszewa, interpolacja geometryczna )

1.     Zadanie do wykonania

a) Wielomiany Czebyszewa

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie wielomianu interpolacyjnego dla zadanego zbioru wartości xi i = 0,1, ... , n,  argumentów funkcji interpolowanej, które mieszczą w przedziale xi Î [-1, 1. Bazę Czebyszewa T0(x), T1(x), ... Tn(x) stanowi zbiór wielomianów określonych wzorem rekurencyjnym:

Tk+1(x) = 2xTk(x), ... Tk-1(x), To (x) = 1, T1(x) = x.                            (1)

Współczynniki wzoru interpolacyjnego Czebyszewa wynikają z układu równań:

                                          (2)

Przykładowy wielomian interpolacyjny Czebyszewa stopnia drugiego:

W(x) = a0T0(x) + a1T1(x) + a2T2(x)                                                        (3)

czyli

W(x) = a0 + a1x + a2(2x2 - 1)                                                        (4)

b) interpolacja trygonometryczna

Jako bazę interpolacji przyjmiemy w tej metodzie zbiór funkcji trygonometrycznych:

                            (5)

Wielomianem interpolacyjnym będzie suma w postaci:

                            (6)

zawierająca 2n + 1 nieznanych parametrów. Najbardziej istotny w praktyce jest przypadek interpolacji funkcji określonej na zbiorze równoodległych węzłów xiÎ[0,2p] dobranych następująco:

, i = 0, 1, ..., 2n                                                                      (7)

2.     Założenia

Przed przystąpieniem do rozwiązywania zadania prowadzący zajęcia zobowiązany jest przedstawić każdej sekcji zbiór danych wejściowych. Dane te należy zapisać w postaci macierzowej.

Podczas wykonywania zadania nie można korzystać z funkcji wewnętrznych programu MATLAB związanych z działaniami na macierzach. Wyjątek stanowi funkcja „zeros ()” , „size ()”, „length()” oraz „plot ()”.

3.     Zadania do wykonania

Aby otrzymać wielomian interpolacyjny Czebyszewa, należy:

§         zdefiniować funkcję argumentową Czebyszew (X,Y), której argumentami będą podane przez prowadzącego dane wejściowe (patrz p.2), w funkcji należy m.in.:

Ø      zbudować tabele wielomianów składowych,

Ø      wyznaczyć wielomian interpolacyjny stopnia 2,

Ø      stosując funkcję plot przedstawić na jednym wykresie węzły interpolacji oraz graficzną reprezentacje otrzymanego wielomianu,

Ø      w celu przedstawienia powyższych danych na jednym wykresie zastosować flagę hold z parametrem on,

Aby otrzymać wielomian interpolacyjny wg interpolacji trygonometrycznej, należy:

·         należy zdefiniować funkcję argumentową trygonom (X,Y), której argumentami będą podane przez prowadzącego dane wejściowe,

Ø      ustalić stopień wielomianu interpolacyjnego na 4,

Ø      zbudować macierz X zawierającą wartości funkcji trygonometrycznych wg wzoru (5),

Ø      transponować macierz X ,

Ø      zbudować macierz X-1=2/(2n+1)*XT,

Ø      zbudować macierz będącą iloczynem X*Y (lub X*YT – w zależności od postaci utworzonej macierzy Y wartości funkcji f(X)),

Ø      obliczyć wartości współczynników wzoru interpolacyjnego,

Ø      stosując funkcję plot przedstawić na jednym wykresie węzły interpolacji oraz graficzną reprezentacje otrzymanego wielomianu,

Ø      w celu przedstawienia powyższych danych na jednym wykresie zastosować flagę hold z parametrem on,

4.       Literatura

[1] Majchrzak E., Mochnacki B., „Metody numeryczne. Podstawy teoretyczne, aspekty praktycne i algorytmy", wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 1994 (i dalsze).

[2] Cegieła R., Zalewski A., „Matlab – obliczenia numeryczne i ich zastosowania”, Wydawnictwo Nakom, Poznań 1996.

[3] Sedgewick R., „Algorithms”, Addison-Wesley, USA 1983.

Opracował: Marek WYLEŻOŁ                            99-02-24