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Introduction to Methods of Applied Mathematics
Introduction to Methods of Applied Mathematics
or
Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers
Sean Mauch
October 12, 2002
Contents
Anti-Copyright
xxiii
Preface
xxiv
0.1 Advice to Teachers
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxiv
0.2 Acknowledgments
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxiv
0.3 Warnings and Disclaimers
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxv
0.4 Suggested Use
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxvi
0.5 About the Title
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxvi
I Algebra
1
1 Sets and Functions
2
1.1 Sets
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Single Valued Functions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Inverses and Multi-Valued Functions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Transforming Equations
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Exercises
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Hints
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7 Solutions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
i
2 Vectors
23
2.1 Vectors
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1 Scalars and Vectors
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.2 The Kronecker Delta and Einstein Summation Convention
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.3 The Dot and Cross Product
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Sets of Vectors in n Dimensions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3 Exercises
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4 Hints
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5 Solutions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
II Calculus
48
3 Dierential Calculus
49
3.1 Limits of Functions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 Continuous Functions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3 The Derivative
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4 Implicit Dierentiation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.5 Maxima and Minima
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.6 Mean Value Theorems
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.6.1 Application: Using Taylor's Theorem to Approximate Functions.
. . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.6.2 Application: Finite Dierence Schemes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.7 L'Hospital's Rule
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.8 Exercises
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.9 Hints
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.10 Solutions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4 Integral Calculus
114
4.1 The Indenite Integral
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.2 The Denite Integral
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
ii
4.2.1 Denition
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.2.2 Properties
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.3 The Fundamental Theorem of Integral Calculus
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.4 Techniques of Integration
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.4.1 Partial Fractions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.5 Improper Integrals
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.6 Exercises
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.7 Hints
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.8 Solutions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5 Vector Calculus
150
5.1 Vector Functions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.2 Gradient, Divergence and Curl
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.3 Exercises
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.4 Hints
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.5 Solutions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
III Functions of a Complex Variable
173
6 Complex Numbers
174
6.1 Complex Numbers
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.2 The Complex Plane
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.3 Polar Form
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
6.4 Arithmetic and Vectors
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
6.5 Integer Exponents
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
6.6 Rational Exponents
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
6.7 Exercises
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
6.8 Hints
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
6.9 Solutions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
iii
7 Functions of a Complex Variable
231
7.1 Curves and Regions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
7.2 The Point at Innity and the Stereographic Projection
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
7.3 Cartesian and Modulus-Argument Form
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
7.4 Graphing Functions of a Complex Variable
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
7.5 Trigonometric Functions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
7.6 Inverse Trigonometric Functions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
7.7 Riemann Surfaces
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
7.8 Branch Points
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
7.9 Exercises
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
7.10 Hints
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
7.11 Solutions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
8 Analytic Functions
351
8.1 Complex Derivatives
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
8.2 Cauchy-Riemann Equations
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
8.3 Harmonic Functions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
8.4 Singularities
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
8.4.1 Categorization of Singularities
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
8.4.2 Isolated and Non-Isolated Singularities
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
8.5 Application: Potential Flow
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
8.6 Exercises
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
8.7 Hints
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
8.8 Solutions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
9 Analytic Continuation
424
9.1 Analytic Continuation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
9.2 Analytic Continuation of Sums
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
9.3 Analytic Functions Dened in Terms of Real Variables
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
9.3.1 Polar Coordinates
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
iv
Plik z chomika:
mike777
Inne pliki z tego folderu:
Tables Of Math, Phisics And Chemistry Engineering Handbook.pdf
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Springer - Foundations of Differential Calculus.pdf
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Mathematics - Introduction to Methods of Applied Mathematic(1).pdf
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