ed1.doc

MN jako nauka: badaniesposobów rozwiązania zadania matematycznego za pomocą działań arytmetycznych.

MN jako sztuka:  wybór procedury rozwiązania która jest “najlepiej” dostosowana do danego zadania.

ŹRÓDŁA BŁĘDÓW PRZY ROZWIĄZYWANIU PROBLEMU:

Powstają w dwóch obszarach:

1.    Przy matematycznym formułowaniu zadania.

2.    Podczas wykonywania obliczeń:

Błędy grube  Ü stosowanie komputerów w obliczeniach zmniejszyło prawdopodobieństwo ich występowania.

Błąd metody lub obcięcia    Ü   rozwiązywanie problemu w postaci przybliżonej, mogącej się różnić od postaci pierwotnej.

Błąd zaokrąglenia    Ü    nieskończone rozwinięcia  dziesiętne (lub dwójkowe w komputerze) trzeba zaokrąglać.

DEFINICJE BŁĘDÓW:

wart. dokładna  =  wart. przybliżona + błąd bezwzględny WD =  WP + BB

Błąd względny (BW):    

RERGUŁA ZAOKRĄGLEŃ:

Liczba  x  jest poprawnie zaokrąglona na d-tej pozycji do liczby  x(d)  jeżeli błąd zaokrąglenia  e  jest taki, że

Jeżeli Þ można wybrać zaokrąglenie “w dół” lub “w górę”.

CYFRY ZNACZĄCE:

wartość dokładna:              x

wartość przybliżona:              y

k-ta cyfra dziesiętna liczby y jest znacząca wtedy gdy:

BŁĄD WARTOŚCI FUNKCJI:

BB funkcji:

TEORIA STATYSTYCZNA BŁĘDU ZAOKRĄGLENIA:

Rozkład sumy n wzajemnie niezależnych błędów, przy n®¥, dąży do rozkładu normalnego.Przy obliczeniach, w których występuje n działań: max. błąd bezwzględny   (BB)max  jest proporcjonalny do n; błąd prawdopodobny BP jest proporcjonalny do .

ALBEBRA MACIERZY

Macierz: Uporządkowany zbiór m x n  liczb rozmieszczonych w postaci prostokątnej tabeli o m wierszach i n kolumnach nazywamy macierzą.

aij   (i=1,2,...,m ; j=1,2,....,n)     -      elementy macierzy

A = [ aij] - Jest to macierz typu m x n inaczej  dim A = mxn

·        m = n              ® macierz kwadratowa

·        m ¹ n              ® macierz prostokątna

·        m = 1, n >1® macierz (lub wektor) wierszowy

·        m > 1, n = 1® macierz (lub wektor) kolumnowy

m = 1, n >1              ® macierz (lub wektor) wierszowy

m > 1, n = 1® macierz (lub wektor) kolumnowy

Ważne macierze:

macierz przekątniowa (lub diagonalna) - macierz kwadratowa m x n o własności:  aii ¹ 0, aij = 0 dla i¹j

(wszędzie zera poza główną przekątną)

macierz jednostkowa   I – jeżeli na głównej przekątnej są

jedynki a wszędzie indziej zera.

symbol Kroneckera       Þ  I = [dij]

macierz zerowa 0 - jeżeli wszystkie elementy macierzy     aij = 0

macierz symetryczna - macierz kwadratowa o własności:    aij = aji

macierz asymetryczna - macierz kwadratowa o własności:    aij = -aji

Podstawowe działania na macierzach:

Równość macierzy: dim A = dim B    A = B ®  aij = bij

Dodawanie dwóch macierzy: dim A = dim B = dim C

C = A + B ®  cij = aij + bij

Własności:

1.         A + B = B + A

2.         A + 0 = A

3.         A + ( B + C ) = ( A + B ) + C

Odejmowanie dwóch macierzy: dim A = dim B = dim C

C = A - B    ®      cij = aij - bij      A - B = A + (-B)

Mnożenie macierzy przez liczbę: dim B = dim A

B = aA = Aa              ®  bij =a aij

Własności:

Mnożenie macierzy przez macierz:

Dane: dim A = m x n  dim B = n x q

tzn.  liczba kolumn A  =  liczbie wierszy B

Określamy macierz C, taką, że  dim C = m x q, której współczynniki określone są wzorem:

wtedy:        ¬   macierz C jest iloczynem macierzy A i B.

Własności: (A, B, C - macierze;   a - skalar (liczba)

1.        

2.        

3.        

4.        

5.        

6.        

Transpozycja macierzy:               A   ®    AT

Macierz transponowana powstaje z macierzy wyjściowej przez zamianę wierszy z kolumnami. B = AT ® bij = aji

dim A = m x n              ® dim B = dim AT= n x m.

Własności:

1.         (AT)T = A

2.         (A + B)T = AT + BT

3.        

Wniosek: Macierz identyczna ze swoją macierzą transponowaną jest macierzą symetryczną. AT = A aij = aji czyli: macierz symetryczna jest macierzą kwadratową, której elementy są symetryczne względem przekątnej głównej.

Twierdzenie: Iloczyn macierzy i jej macierzy transponowanej jest macierzą symetryczną,

Wyznacznik macierzy kwadratowej

An x n = [ aij] uporządkowana tablica liczb. Tej tablicy przypisujemy pewną   liczbę W obliczana wg ściśle określonych reguł i zwaną wyznacznikiem:

W = det A = =

SPOSÓB OBLICZANIA WYZNACZNIKA:

Krok 1:  Z kolejnych wierszy macierzy wybieramy po jednym elemencie, każdy leżący w innej kolumnie.

Wybieramy wszystkie możliwe kombinacje.

Krok 2: Dla każdej możliwości określa się najmniejszą liczbę przestawień t odpowiedniej permutacji, przywracającą naturalny porządek 1,2, 3, . . . , n.

Reguła obliczania liczby przestawień:

Idąc w danej permutacji od lewej doprawej strony sumuje się ilość cyfr po prawej stronie kolejnej cyfry, które są od niej mniejsze.

Krok 3: Tworzy się sumę iloczynów elementów wybranych w kroku 1 opatrzonych znakiem “+” gdy ilość przestawień stowarzyszonej permu-tacji wyznaczona w kroku 2 jest parzysta lub znakiem “-“ jeżeli jest nie-parzysta.

Ogólnie:       dla macierzy   An x n

gdzie sumowanie jest rozciągnięte na wszystkie                                                                     możliwe permutacje j1, j2, j...