mat_odp_rozsz.pdf

(218 KB) Pobierz
LMD-MP11-ODP1-ZR_LMD-MP10-ODP1-ZR
Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM
Matematyka
Poziom rozszerzony
Listopad 2010
W kluczu są prezentowane przykładowe prawidłowe odpowiedzi. Należy również uznać odpowiedzi ucznia, jeśli są
inaczej sformułowane, ale ich sens jest synonimiczny wobec schematu, oraz inne odpowiedzi, nieprzewidziane
w kluczu, ale poprawne.
Numer
zadania
Zdający otrzymuje po 1 punkcie za
Suma
punktów
1.
rozwiązanie, w którym jest istotny postęp
Zdający sprowadzi wyrażenie do najprostszej postaci
1 pkt
^
941
x
2
-+ = +-+
h
^
x
h
^
3232 1
x
-++ = -++
h
^
x
h
^
x
h
^
3232 1
x
+-+ =
h
^
x
h
^
x
h
32
x
-
,
3232
x
3
+--
x
2
x
^
32 32
x
h
$
x
2
^
x
h
^
x
1
h
^
x
1 3 2
^
x
h
x
-
1
gdzie
x !
1
,
x !-
1
,
x
!-
3
.
pokonanie zasadniczych trudności zadania
Zdający zapisze iloraz w postaci sumy dwóch składników, z których jeden jest liczbą
całkowitą.
Np.:
2 pkt
32
x
-
=
3 1 1
(
x
-+ =+ -
)
3
1
x
-
1
x
-
1
x
1
rozwiązanie zadania do końca, ale z usterkami
Zdający rozważy tylko dzielniki liczby , będące liczbami naturalnymi, lub nie sprawdzi,
czy znalezione liczby należą do dziedziny wyrażenia.
3 pkt
1
rozwiązanie pełne
Zdający zauważy, że wartość wyrażenia jest liczbą całkowitą, gdy
4 pkt
x -
1
jest dzielnikiem .
1
lub
Zdający zapisze odpowiedź.
lub
11
x -=-
1 1
x =
2
x =
0
– obie te liczby należą do dziedziny wyrażenia.
2.
rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania
Zdający wyróżni przedziały:
1 pkt
]
--
, 2
g
,
-
2, 4
h
,
4 3
, )
.
rozwiązanie, w którym jest istotny postęp
Zdający zapisze równanie w poszczególnych przedziałach.
Np.:
2 pkt
x
! --
( , )
3
--+-=
x
2
x
4 6
x 24
! -
,
h
x
++-=
2
x
4 6
x 4 3
!
, )
x
+-+=
2
x
4 6
pokonanie zasadniczych trudności zadania
Zdający rozwiąże równania.
Zdający ustali, że
dla
3 pkt
x
! --
,
( , )
3
równanie nie ma rozwiązania,
dla
x 24
! -
h
równanie nie ma rozwiązania,
dla równane jest tożsamościowe – każda liczba rzeczywista należąca do tego
przedziału spełnia równanie.
x 4 3
!
, )
www.operon.pl
1
h
2
x -=
393991192.018.png 393991192.019.png 393991192.020.png
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”
Numer
zadania
Zdający otrzymuje po 1 punkcie za
Suma
punktów
rozwiązanie pełne
Zdający poda odpowiedź:
Do przedziału
4 pkt
4 3
, )
należy co najmniej jedna liczba niewymierna, np.
39
. Liczba ta
należy do zbioru rozwiązań równania.
3.
rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania
Zdający obliczy długość promienia okręgu i jego średnicę .
1 pkt
r
d
2 13
r r
=
6,5
r =
d =
13
rozwiązanie, w którym jest istotny postęp
Zdający zauważy, że przekątna trapezu jest prostopadła do jednego z ramion (kąt wpisany
oparty na średnicy jest prosty) i obliczy długość tego ramienia.
,
2 pkt
x
x 2
+=
12 13
2
2
x =
5
pokonanie zasadniczych trudności zadania
Zdający obliczy wysokość trapezu.
3 pkt
13
$
h
=
12 5
$
, h
=
60
13
rozwiązanie prawie całkowite
Zdający zauważy, że trapez jest równoramienny i obliczy długość krótszej podstawy.
4 pkt
b
=
119
13
rozwiązanie pełne
Zdający obliczy pole trapezu.
5 pkt
P
=+ =
1
d
13
119
n
$
60
51 169
21
2
13
13
4.
rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania
Zdający zapisze wielomian
1 pkt
Wx
()
za pomocą wielomianu niezerowego
Qx
()
, wielomianu
Px
() () ()
()
i reszty
Rx ax bx c
()
=++
.
Wx Qx Px ax bx c
=
$
+ + +
2
rozwiązanie, w którym jest istotny postęp
Zdający zauważy, że reszta z dzielenia wielomianu
2 pkt
Wx
przez
xa
jest równa
Wa
()
i zapisze odpowiednie równości.
abc
++=
1
-+=-
42 3
1
abc
-+=
pokonanie zasadniczych trudności zadania
Zdający rozwiąże otrzymany układ równań.
3 pkt
a
=
5
,
b =
1
, c
=-
5
3
3
rozwiązanie pełne
Zdający zapisze resztę.
4 pkt
Rx
()
5
=+-
3
x x
3
5.
rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania
Zdający obliczy wyróżnik trójmianu.
m
1 pkt
D =
^
m 5
-
h
2
- - = - +
4
^
7
h
m
2
14 53
m
www.operon.pl
2
()
-
abc
5
393991192.021.png 393991192.001.png 393991192.002.png
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”
Numer
zadania
Zdający otrzymuje po 1 punkcie za
Suma
punktów
rozwiązanie, w którym jest istotny postęp
Zdający zapisze wyróżnik np. w postaci i stwierdzi, że wartość tego
wyrażenia jest zawsze dodatnia, zatem równanie ma dla każdej liczby rzeczywistej
dwa różne pierwiastki.
2 pkt
D=-+
^
m
74
2
m
pokonanie zasadniczych trudności zadania
Zdający zapisze warunek podany w zadaniu, wykorzystując np. wzory Viete’a.
2
3 pkt
x
2
+= - = - -=- +
x
2
^
xx
+ --
h
2
x x
6
(
m 5
)
@
2
2 ( 7)
m
m m
2
12 39
1 2
1
2
12
rozwiązanie prawie całkowite
Zdający zapisze sumę kwadratów pierwiastków równania w postaci
.
4 pkt
x
2
+=-+
x
2
( 6) 3
m
2
1
2
rozwiązanie pełne
Zdający stwierdzi, że wartość wyrażenia
5 pkt
^
2
m 6 +
-
h
3
jest najmniejsza, gdy
m =
6
.
6.
rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania
Zdający obliczy wysokość graniastosłupa i długość jego krawędzi podstawy.
1 pkt
H
x
x +=
6 ( ) 0
x
++=
8
x =
6
,
H =
rozwiązanie, w którym jest istotny postęp
Zdający sporządzi rysunek graniastosłupa, zaznaczając odpowiedni przekrój lub narysuje
odpowiedni trójkąt.
2 pkt
c
a
x
pokonanie zasadniczych trudności zadania
Zdający obliczy długość przekątnej ściany bocznej graniastosłupa i długość ramienia
trójkąta, będącego przekrojem.
3 pkt
c
a
=+=
a 64 2
2
2
10
=+=
2
2
rozwiązanie prawie całkowite
Zdający stwierdzi, że rozpatrywany przekrój jest trójkątem równoramiennym o podstawie
i ramieniu
4 pkt
10
h 52 25 27
52
i obliczy wysokość tego trójkąta.
=-=
rozwiązanie pełne
Zdający obliczy pole przekroju.
5 pkt
P
=
2
$
10 27 15 3
$
=
www.operon.pl
3
h
$
630
c 68
1
393991192.003.png 393991192.004.png 393991192.005.png 393991192.006.png 393991192.007.png 393991192.008.png
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”
Numer
zadania
Zdający otrzymuje po 1 punkcie za
Suma
punktów
7.
rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania
Zdający przekształci rozpatrywane wyrażenie, wykorzystując odpowiednie wzory.
(
1 pkt
cos
ab ab a b a b a b a b
+
)
$
cos
]
- =
g
]
cos cos
-
sin sin cos cos
g
]
+
sin sin
g
=
=
cos cos
2
ab ab
2
-
sin sin
2
2
rozwiązanie, w którym jest istotny postęp
Zdający wykorzysta związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta do
zapisania wyrażenia za pomocą jednej funkcji trygonometrycznej.
Np.:
2 pkt
ss inin ss s s
2
ab ab ab a b
2
-
2
2
=
2
2
- -
^
1
2
h
1
-
2
h
.
pokonanie zasadniczych trudności zadania
Zdający przekształci otrzymane wyrażenie do postaci
.
3 pkt
cos
2
a
+-
cos 1
2
rozwiązanie pełne
Zdający zauważy, że
4 pkt
cos
2
a
+
cos 2
2
b
G
, zatem
cos
2
a
+-
cos 1 1
2
G
.
8.
rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania
Zdający wykaże, że utworzone w ten sposób czworokąty są kwadratami –
1 pkt
C 1
jest
rombem, w którym każdy kąt ma miarę
90°
, jest więc kwadratem. Podobnie następne
czworokąty są kwadratami.
rozwiązanie, w którym jest istotny postęp
Zdający wykaże, że pole każdego z następnych kwadratów jest równe połowie pola
kwadratu, z którego powstał.
2 pkt
pokonanie zasadniczych trudności zadania
Zdający zauważy, że ciąg pól tworzonych kwadratów jest ciągiem geometrycznym
3 pkt
o pierwszym wyrazie i ilorazie .
2
8
1
rozwiązanie prawie całkowite
Zdający zastosuje wzór na sumę wyrazów ciągu geometrycznego, tworząc i rozwiązując
odpowiednie równanie.
4 pkt
m
bl
1
m
1
-
2
3
8
$
=
15
1
4
1
-
2
1
1 -=
bl
m
63
2
64
bl
1
m
=
1
2
64
m =
6
rozwiązanie pełne
Zdający wyznaczy liczbę .
5 pkt
n
n =-=
615
www.operon.pl
4
393991192.009.png 393991192.010.png 393991192.011.png
 
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”
Numer
zadania
Zdający otrzymuje po 1 punkcie za
Suma
punktów
9.
rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania
Zdający zapisze za pomocą wyrażenia algebraicznego prawdopodobieństwo wyciągnięcia
dwóch skarpetek zielonych.
– liczba skarpetek zielonych
1 pkt
x
PZZ
()
=
x
3 31
x
$
-
1
x
x
-
rozwiązanie, w którym jest istotny postęp
Zdający zapisze za pomocą wyrażenia algebraicznego prawdopodobieństwo wyciągnięcia
dwóch skarpetek różnych kolorów.
2 pkt
PRK
()
=
x
$
2
x
+
2
x
$
x
3 31
x
x
-
3
x
31
x
-
pokonanie zasadniczych trudności zadania
Zdający zapisze odpowiednie równanie i sprowadzi je do najprostszej postaci.
3 pkt
x
$
x
- += -
1
13
x
$
2
x
+
2
x
$
x
3 31
x
x
-
33
3 31
x
x
3
x
31
x
-
x
- += -
1
39
4
x
31
x
-
33
31
x
rozwiązanie prawie całkowite
Zdający rozwiąże równanie – obliczy liczbę skarpetek zielonych.
4
4 pkt
x =
rozwiązanie pełne
Zdający poda liczbę wszystkich skarpetek:
5 pkt
48 2
+=
.
10.
rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania
Zdający zapisze równanie okręgu
1 pkt
^
x
- -
2
h
2
+ =
^
y
h
2
17
i zauważy, że każdy punkt
leżący na osi
OX
ma współrzędne
x ] g
.
rozwiązanie, w którym jest istotny postęp
Zdający wyznaczy współrzędne punktów przecięcia okręgu z osią
2 pkt
OX
.
^ h
( ) 60
x 217
-+=
x
--=
x --=
240
lub
x -+=
240
x =
6
lub
x =-
2
A 60
= ] g
(2,0)
,
B =-
pokonanie zasadniczych trudności zadania
Zdający wyznaczy długość odcinka
3 pkt
AB
:
AB 8
=
oraz odległość punktu od osi
d
C
OX
.
2
8
$
d
=
24
d =
6
rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności
rozwiązania (np. błędy rachunkowe)
4 pkt
www.operon.pl
5
$
1
393991192.012.png 393991192.013.png 393991192.014.png 393991192.015.png 393991192.016.png 393991192.017.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin