Układy równań liniowych
Dany jest układ m równań z n niewiadomymi. Liczba równań m nie musi być równa liczbie niewiadomych n, tj. m<n , m=n lub m>n .
(1)
W zapisie macierzowym możemy przedstawić układ (1) następująco:
Ax = b (1)
gdzie
DEFINICJA Rozwiązaniem układu równań (1) nazywamy każdy ciąg n liczb , które po podstawieniu do układu równań w miejsce niewiadomych przekształcają te równania w tożsamości.
DEFINICJA Układ (1) nazywamy
oznaczonym, gdy ma dokładnie jedno rozwiązanie,
nieoznaczonym, gdy ma więcej niż jedno rozwiązanie lub
sprzecznym, gdy nie posiada żadnego rozwiązania.
Układ równań (1) można rozwiązać wykorzystując między innymi
macierz odwrotną
operacje elementarne
Rozwiązywanie układów równań liniowych
z wykorzystaniem macierzy odwrotnej
Załóżmy, że
liczba równań m jest taka sama jak liczba niewiadomych n , tj. m=n
oraz, że macierz A jest macierzą nieosobliwą , tj. istnieje macierz odwrotna A-1.
Układ równań (1) można wówczas tak przekształcić, aby wyznaczyć niewiadome x
Stąd wzór na wartości zmiennych jest następujący
(2)
PRZYKŁAD Dany jest układ równań
z wykorzystaniem operacji elementarnych
Sposobem, który pozwala ustalić typ układu równań (oznaczony, nieoznaczony, sprzeczny) oraz wyznaczyć rozwiązanie (gdy układ jest oznaczony) jest wykorzystanie operacji elementarnych.
Schemat postępowania jest analogiczny do tego, jaki użyliśmy przy odwracaniu macierzy. Różnica dotyczy wpisania po prawej stronie wektora b zamiast macierzy jednostkowej I. Schemat ten wygląda następująco
A
b
. . .
ciąg operacji
elementarnych
I
b*
Wektor b* zawiera rozwiązanie układu równań liniowych (1).
Rozwiązanie wyjściowego układu równań jest następujące:
Fakt, że układ jest sprzeczny wykryjemy w chwili gdy "wyzerowany" zostanie np. k-ty wiersz macierzy po lewej stronie i jednocześnie k-ty wiersz wektora po prawej stronie będzie zawierał liczbę różną od zera.
W wierszu 2 macierzy otrzymaliśmy zera [0 0 0]. W wierszu 2 wektora otrzymaliśmy [4] (0).
Wniosek: rozwiązywany układ równań jest sprzeczny.
Fakt, że układ jest nieoznaczony wykryjemy w chwili gdy "wyzerowany" zostanie np. k-ty wiersz macierzy po lewej stronie i jednocześnie k-ty wiersz wektora po prawej stronie będzie zawierał zero.
W wierszu 2 macierzy otrzymaliśmy zera [0 0 0]. W wierszu 2 wektora otrzymaliśmy [0] .
Wniosek: rozwiązywany układ równań jest nieoznaczony.
Rozwiązania bazowe układu równań liniowych
Rozważamy niesprzeczny układ m równań liniowych z n niewiadomymi. Zakładamy, że liczba równań m jest mniejsza od liczby niewiadomych n, tj. m n
Na przykład układ 2 równań liniowych z 4 niewiadomymi (m=2 n=4)
Układ ten posiada nieskończenie wiele rozwiązań. Technika generowania dowolnego rozwiązania takiego układu jest następująca.
Wybierz 2 zmienne (równań jest m=2) względem których chcesz rozwiązać ten układ, np. niech będą to zmienne oraz .
Można to zrobić na maksymalnie 6 sposobów.
Ogólnie maksymalna liczba sposobów w jaki można wybrać zestaw zmiennych względem których chcemy rozwiązać układ równań wynosi
Pozostałe 2 (ogólnie nm = 42 = 2) "nadwyżkowe" zmienne, tj. oraz przenieś na prawą stronę układu równań
Przyjmij dowolnie wybrane wartości na "nadwyżkowe" zmienne, np.
oraz
Otrzymasz układ równań
Stąd rozwiązanie wyjściowego układu równań będzie następujące
, , ,
Jeżeli dla "nadwyżkowych" zmiennych przyjmiemy wartości zerowe, tj.
to otrzymamy tzw. BAZOWY układ równań
Rozwiązanie wyjściowego układu równań nazywamy w tej sytuacji ROZWIĄZANIEM BAZOWYM i jest ono następujące
oraz ZMIENNE BAZOWE
oraz zmienne niebazowe
Ogólnie maksymalna liczba rozwiązań bazowych układu m równań liniowych z n niewiadomymi (n m) wynosi
Iteracyjna metoda wyznaczania rozwiązań bazowych
1. Wybierz zmienne względem których chcesz rozwiązać układ równań.
2. Wykorzystaj operacje elementarne i tak przekształć układ równań, aby każda z wybranych zmiennych została wydzielona w osobnym równaniu, tzn. aby występowała ze współczynnikiem 1 tylko w jednym równaniu
3. Przenieś współczynniki przekształconego układu do tabeli
4. Przejdź do kolejnego rozwiązania bazowego wymieniając na liście zmiennych bazowych jedną zmienną
5. Zapisz w nowej tabeli kolumnę współczynników dla nowej zmiennej w postaci kolumny macierzy jednostkowej z 1 w tym wierszu, na którym znajduje się nowa zmienna na liście zmiennych bazowych
6. Przekształć za pomocą operacji elementarnych tabelę poprzednią tak, aby uzyskać kolumnę opisaną w punkcie 5
nr
rozwiąz.
zmienne
bazowe
wartości
...
Pablosaw