Analiza Matematyczna - skrypt(1).pdf

(4743 KB) Pobierz
SkryptzAnalizyI
Analiza matematyczna I
(skrypt wykładu)
Wydział MIiM UW, 2010/11
wersja z dnia: 1 czerwca 2011
Spis tre±ci
1 Liczby rzeczywiste 1
1.1 Aksjomatyka liczb rzeczywistych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Aksjomaty ciała przemiennego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Aksjomaty porz¡dku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 Poj¦cie kresu górnego i aksjomat ci¡gło±ci . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.4 PodzbioryR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Liczby naturalne i zasada indukcji zupełnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Pierwiastki n-tego stopnia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Liczby całkowite. Entier. G¦sto±¢ zbioru liczb wymiernych i niewymiernych 13
2 Ci¡gi. Poj¦cie granicy ci¡gu. 17
2.1 Granica ci¡gu i jej podstawowe własno±ci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Ci¡gi monotoniczne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Granice niewła±ciwe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4 Podci¡gi. Twierdzenie Bolzano–Weierstrassa. . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Funkcja wykładnicza i logarytm 33
3.1 Funkcja wykładnicza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Charakteryzacja funkcji wykładniczej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4 Szeregi. Funkcja wykładnicza zmiennej zespolonej. 42
4.1 Szeregi o wyrazach dodatnich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 Interludium: zbie»no±¢ ci¡gów i szeregów zespolonych . . . . . . . . . . . . 52
4.3 Szeregi o wyrazach dowolnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3.1 Zbie»no±¢ bezwzgl¦dna i warunkowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3.2 Przekształcenie Abela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.3.3 Mno»enie szeregów i twierdzenie Mertensa . . . . . . . . . . . . . . 58
4.4 Funkcja wykładnicza zmiennej zespolonej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.5 Funkcje trygonometryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.6 Liczba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.7 Wzór de Moivre’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5 Funkcje ci¡głe 77
5.1 Punkty skupienia. Granica funkcji. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.2 Funkcje monotoniczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.3 Ci¡gło±¢ funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.4 Ci¡gło±¢ funkcji odwrotnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
– ii –
5.4.1 Funkcje cyklometryczne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.5 Jednostajna ci¡gło±¢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.6 Zbiory zwarte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.7 Funkcje wypukłe, I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6 Rachunek ró»niczkowy 106
6.1 Poj¦cie pochodnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.1.1 Zwi¡zek ró»niczkowalno±ci z ci¡gło±ci¡ . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.1.2 Interpretacja pochodnej funkcji zmiennej rzeczywistej . . . . . . . . 107
6.1.3 Arytmetyczne własno±ci pochodnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.1.4 Pochodna zło»enia i funkcji odwrotnej . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.2 Pochodne funkcji elementarnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.3 Najwa»niejsze własno±ci funkcji ró»niczkowalnych . . . . . . . . . . . . . . 117
6.4 Pochodne wy»szych rz¦dów. Wzór Taylora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.4.1 Definicja pochodnych wy»szych rz¦dów . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.4.2 Wzór Taylora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.4.3 Warunki dostateczne istnienia ekstremów lokalnych . . . . . . . . . 131
6.4.4 Warunki dostateczne wypukło±ci. Punkty przegi¦cia. . . . . . . . . 133
6.5 Reguła de l’Hospitala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7 Zbie»no±¢ jednostajna 144
7.1 Definicje i przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
7.2 Najprostsze kryteria zbie»no±ci jednostajnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
7.3 Twierdzenia Weierstrassa i Diniego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.4 Twierdzenie o ró»niczkowaniu ci¡gów funkcyjnych . . . . . . . . . . . . . . 155
7.4.1 Przypadek rzeczywisty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.4.2 Przypadek zespolony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.4.3 Istnienie funkcji pierwotnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
7.4.4 Inne przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
7.5 Twierdzenie Arzeli–Ascoliego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
8 Szeregi pot¦gowe 169
8.1 Dygresja: granica górna i dolna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8.2 Promie« zbie»no±ci; ci¡gło±¢ sumy szeregu potegowego . . . . . . . . . . . 170
8.3 Ró»niczkowalno±¢ sumy szeregu pot¦gowego . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
8.3.1 Poj¦cie funkcji analitycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.4 Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
8.5 Twierdzenie Abela o granicach k¡towych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
8.6 Rozwijanie funkcji w szereg pot¦gowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
9 Całka 186
9.1 Całka nieoznaczona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
9.1.1 Własno±ci całek nieoznaczonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
9.1.2 Całkowanie funkcji wymiernych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
9.1.3 Podstawienia Eulera, podstawienia trygonometryczne . . . . . . . . 195
9.2 Całka Newtona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
9.2.1 Całka Newtona a zbie»no±¢ jednostajna . . . . . . . . . . . . . . . . 203
– iii –
9.2.2 Wzór Wallisa i wzór Stirlinga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
9.2.3 Niewymierno±¢ liczby . Informacje o liczbach przest¦pnych. . . . . 208
9.2.4 Wzór Taylora z reszt¡ w postaci całkowej . . . . . . . . . . . . . . . 214
9.3 Całka Riemanna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
9.4 Geometryczne zastosowania całki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
9.4.1 Długo±¢ krzywej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
9.4.2 Obj¦to±¢ bryły obrotowej. Pole powierzchni obrotowej . . . . . . . . 224
10 Całki niewła±ciwe. Funkcje i B Eulera oraz ich zastosowania 227
10.1 Całka niewła±ciwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
10.2 Funkcje i B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
10.3 Wzór iloczynowy Weierstrassa i kilka innych własno±ci funkcji . . . . . . 245
10.4 Rozwini¦cie cotangensa w szereg ułamków prostych . . . . . . . . . . . . . 252
11 Zako«czenie: eliptyczno±¢ orbit
257
A Dygresje: dodatkowy materiał, omawiany na wykładzie 260
A.1 Twierdzenie Stolza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
A.2 Zasadnicze twierdzenie algebry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
A.3 Metoda stycznych (Newtona) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
– iv –
Zamiast wst¦pu
1. Ten tekst jest w budowie . Mog¡ w nim by¢ ró»ne bł¦dy, zarówno literówki, jak i
powa»niejsze usterki. Mog¡ stopniowo pojawia¢ si¦ pewne (niezbyt wielkie) zmiany
układu tre±ci. Wszelkie uwagi Czytelników (w tym sugestie, co zmieni¢, gdzie warto
napisa¢ dokładniejsze wyja±nienie, gdzie umie±ci¢ rysunek itp.) s¡ mile widziane,
z góry za nie dzi¦kuj¦.
2. Kolejne partie tekstu b¦d¦ starał si¦ publikowa¢ na bie»¡co, mniej wi¦cej raz w
tygodniu, na stronie
http://www.mimuw.edu.pl/~pawelst/analiza/
(w zakładce z notatkami).
– v –

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin