tw. Rolle'a, Lagrange'a, szereg Maclaurina.pdf

ElektronikaiTelekomunikacja,rokIB

6ZESTAWZADA ´ NZMATEMATYKI

1.Sprawd´z,czypodanefunkcjespeÃlniaj , atwierdzenieRolle’anaprzedziale

h¡ 1 ; 1 i .Je´slitak,towska˙zodpowiednipunktpo´srednirealizuj , acytez , etwier-

dzenia.

f 1 ( x )= x ( x 2 ¡ 1) ;f 2 ( x )= ¼

4 ¡ arctan jxj;f 3 ( x )=sin ¼x;f 4 ( x )=1 ¡ 3 p

x 2

2.ZastosujtwierdzenieLagrange’adopodanychfunkcji.Podajodpowiednie

punktypo´srednie.

f 1 ( x )=arcsin x;x2h¡ 1 ; 1 i ; f 2 ( x )=arctan x;x2h¡ 1 ; p 3 i

3.Napiszwz´orTaylorazreszt , aLagrange’adlapodanejfunkcji f ,wskaza-

negopunktu x 0 orazzadanego n :

a) f ( x )= x

4.Wyprowad´zwz´orMaclaurinadlafunkcji f ( x )=sin x .

5.OszacujbÃl , adwzoruprzybli˙zonego:sin x¼x¡ 1 6 x 3 dla jxj· 1 2 :

6.Oblicz:

a)e ¡ 1 4 zdokÃladno´sci¸ado 1 100 ,

b)ln(1 ; 1)zdokÃladno´sci¸ado 1 10 .

7.Dlajakich x odpowiedniwielomian w przybli˙zadan¸afunkcj¸e f zdokÃladno´sci¸a

do 1 100 :

a) f ( x )=sin x , w ( x )= x¡ x 3

6 + x 5

120 ,

b) f ( x )=cos x , w ( x )=1 ¡ x 2

2 .

p x 2 +1

b)arctg x =arcsin 2 x

1 ¡x 2 , x2 ( ¡ 1 ; 1)

p 1+ x 2 =arccos 1

p 1+ x 2 , x2 [0 ; + 1 )

x¡ 1 ;x 0 =2 ;n =3 ;

b) f ( x )= p x;x 0 =1 ;n =2 :

8.Udowodnijwzory:

a)arctg x =arcsin x

c)arcsin x

9.Udowodnij,˙ze:

a)2 x¢ arctg x¸ ln(1+ x 2 )dla x2 R ;

b)cos x¸ 1 ¡ x 2

2 dla x2 R :