13.pdf

13Układyrówna«liniowych

Deﬁnicja13.1 Niech m,n 2 N . Układemrówna«liniowych nadciałem F

m równaniachi n niewiadomych x 1 ,x 2 ,...,x n nazywamykoniunkcj¦równa«

postaci

> > > <

a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1 n x n = b 1

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2

. . ... . .

a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n = b m

> > > :

gdzie a ij ,b i 2 F dla i =1 ,...,m , j =1 ,...,n .

Macierz A =[ a ij ] 1 ¬ i ¬ m, 1 ¬ j ¬ n nazywamy macierz¡układu (lub macierz¡

współczynników ),macierz X =[ x 1 x 2 ...x n ] T — macierz¡niewiadowmych ,

macierz B =[ b 1 b 2 ...b m ] T — macierz¡wyrazówwolnych ,za±macierz

A u =[ A . . . B ]=

6 6 6 4

a 11 a 12 ...a 1 n b 1

a 21 a 22 ...a 2 n b 2

. . ... . .

a m 1 a m 2 ...a mn b m

7 7 7 5

— macierz¡uzupełnion¡ tegoukładu.

Uwaga1 Zgodniezdeﬁnicj¡mno»eniamacierzyukładrówna«liniowych

omacierzy A ,wyrazachwolnych B iniewiadomych X mo»nazapisa¢jako

AX = B

Deﬁnicja13.2 Układrówna«liniowychozerowejmacierzywyrazówwol-

nychnazywamy jednorodnymukłademrówna«liniowych .

Deﬁnicja13.3 Rozwi¡zaniem układurówna«liniowych AX = B ,gdzie

A 2 M mn ( F )nazywamyka»dyukładskalarów S =( s 1 ,...,s n )spełniaj¡cy

tenukład,toznaczytaki,»e AS = B .

Układrówna«posiadaj¡cyconajmniejjednorozwi¡zanienazywamy

układemniesprzecznym ,aukładnieposiadaj¡cy»adnegorozwi¡zania—

układemsprzecznym .

Przykład13.4 Jednorodnyukładrówna«jestniesprzeczny,bojegoroz-

wi¡zaniemjestukładzerowy .

Deﬁnicja13.5 Dwaukładyrówna«liniowychotychsamychniewiadomych

s¡ równowa»ne ,je»eliobas¡sprzecznelubgdyichzbiorywszystkichroz-

wi¡za«s¡równe.

Stwierdzenie13.6 ZbiórFund( A )wszystkichrozwi¡za«jednorodnegouk-

ładurówna«liniowych AX = ,gdzie A 2 M mn ( F ),jestpodprzestrzeni¡

liniow¡przestrzeni F n .

Dowód: Je»eli X 1 ,X 2 2 Fund( A )oraz a 1 ,a 2 2 F ,tozestwierdzenia

11.9mamy

A ( a 1 X 1 + a 2 X 2 )= a 1 ( AX 1 )+ a 2 ( AX 2 )= a 1 + a 1 = ,

czylitak»e a 1 X 1 + a 2 X 2 2 Fund( A ).

Stwierdzenie13.7 Je»eliukładrówna«liniowych AX = B jestniesprzecz-

ny,a S jestpewnymjegorozwi¡zaniem,tozbioremwszystkichrozwi¡za«

tegoukładujest

S +Fund( A )= { S + Y ; AY = } .

Dowód: Zzało»eniaje»eli Z jestrozwi¡zaniemukładu AX = B ,to

A ( Z − S )= AZ − AS = B − B = .Zatem Z − S 2 Fund( A )ioczywi±cie

Z = S +( Z − S ).

Naodwrót,je»eli Y 2 Fund( A ),to A ( S + Y )= AS + AY = B + = B ,

czyli S + Y jestrozwi¡zaniemukładu AX = B .

Deﬁnicja13.8 Wzapisie S +Fund( A )ogółurozwi¡za«niesprzecznego

układurówna«liniowych AX = B rozwi¡zanie S nazywamy rozwi¡zaniem

szczególnym ,aka»d¡baz¦podprzestrzeniFund( A )— układemfundamen-

talnym(rozwi¡za«) danegoukładurówna«.

Twierdzenie13.9 (Cramera) Je»elimacierzkwadratowaAstopnianjest

taka,»e det A 6 =0 ,toukładrówna«liniowych

AX = B

det A , j =1 ,...,n

gdzieA j oznaczamacierzA,wktórejj–t¡kolumn¦zast¡pionojedyn¡ko-

lumn¡macierzyB.

Dowód: Je»elidet A 6 =0,tonamocystwierdzenia12.19macierz A

jestnieosobliwa.Mno»¡cobiestronyrównaniamacierzowego AX = B le-

wostronnieprzez A − 1 dostaniemy X = A − 1 B .Stosujemyzaczerpni¦tyz

tegosamegostwierdzeniawzórnamacierzodwrotn¡,któryimplikujedla

j =1 ,...,n

n X

det A b i = 1

n X

( − 1) i + j det A ji b i = 1

x j =

det A det A j

det A

i =1

posiadadlaka»degoB 2 M n 1 dokładniejednorozwi¡zaniedanewzorem

x j = det A j

( − 1) i + j det A ji

przyzastosowaniurozwini¦ciaLaplace’awzgl¦dem j –tejkolumnymacier zy

A j .

Przykład13.10 1. n =1.Układ ax = b ,gdzie a,b 2 F ,spełniawaru-

nekdet A 6 =0wtedyitylkowtedy,gdy a 6 =0iwówczasmadokładnie

jednorozwi¡zanie x = b a .

2. n =2.Dlaukładu ( ax + by = e

cx + dy = f

gdzie a,b,c,d,e,f 2 F warunekdet A 6 =0jestrównowa»ny ad − bc 6 =0.

Wówczasukładmadokładniejednorozwi¡zanie

(

x = ed − bf

ad − bc

y = af − ec

ad − bc

Twierdzenie13.11 (Kroneckera–Capellego) Niechdanyb¦dzieukładró-

na«liniowychAX = B,gdzieA 2 M mn .Wówczas

1.układjestniesprzecznywtedyitylkowtedy,gdy

r A u =r A

2.je»eliukładjestniesprzeczny,toprzestrze«jegowszystkichrozwi¡za«

jest ( n − r A ) –wymiarowawtymsensie,»e

dimFund( A )= n − r A

3.układmadokładniejednorozwi¡zaniewtedyitylkowtedy,gdy

r A u =r A = n.

Dowód:

1.Niech C 1 ,...,C n oznaczaj¡kolumnymacierzy A .Układ AX = B

mo»nazapisa¢wpostaci

x 1 C 1 + ... + x n C n = B.

Je»eliwi¦c( s 1 ,...,s n ) jestrozwi¡zaniemtegoukładu, to

B 2 lin( C 1 ,...,C n ),wi¦cnapodstawiewniosku12.24

r A u =dimlin( C 1 ,...,C n ,B )=dimlin( C 1 ,...,C n )=r A.

Gdybyza±układbyłsprzeczny,to B 62 lin( C 1 ,...,C n )ijakwy»ej

r A u > r A .

2.Wystarczypokaza¢,»edimFund( A )= n − r A .Rozwa»myprzekształ-

cenieliniowe ' : F n ! F m danewzorem ' ( x )= Ax T dla x 2 F n .

oraz ' ( e 1 ) ,...,' ( e n )s¡kolumnamimacierzy A ,aponadtogeneruj¡

im ' .St¡dizestwierdzenia9.11mamy

dimFund( A )=dimker ' = n − dimim '

= n − dimlin( ' ( e 1 ) ,...,' ( e n ))

= n − dimlin( C 1 ,...,C n )= n − r A

3.Z(2)istwierdzenia13.7układmadokładniejednorozwi¡zaniewtedy

itylkowtedy,gdyr A = n ,conamocy(1)jestrównowa»ner A u = n .

Uwaga2 Je»eliukład AX = B jestniesprzeczny,tojegorozwi¡zaniemo»-

naotrzyma¢stosuj¡ctwierdzeniaCrameraiKroneckera–Capellegownast¦-

puj¡cysposób:

• Niech r =r A =r A u iniech i 1 ,...,i r oraz j 1 ,...,j r b¦d¡numerami

wierszyikolumnmacierzy A ,któretworz¡podmacierz ˜ A niezerowego

minoranajwy»szegostopnia.

• Rozwa»amyukład ˜ A ˜ X = ˜ B ,zło»onyzrówna«układu AX = B o

numerach i 1 ,...,i r ,wktórymniewiadomymis¡ x j 1 ,...,x j r ;pozosta-

łeniewiadomedołaczamydowyrazówwolnychtworz¡cmacierz ˜ B .

Układ ˜ A ˜ X = ˜ B spełniazało»eniatwierdzeniaCramera,posiadawi¦c

dokładniejednorozwi¡zaniezale»neodniewiadomychonumerachspo-

za { x j 1 ,...,x j r } —okre±lmyjemacierz¡ ˆ X .

• Rozwi¡zanieszczególneotrzymujemyprzyjmuj¡c ˆ X = ,aukład

fundamentalnybior¡cza ˆ X kolejnewektory e 1 ,...,e n − r zbazykano-

nicznejprzestrzeni F n − r .

Stwierdzenie13.12 Operacjeelementarnenawierszachmacierzyuzupeł-

nionejukładurówna«liniowychprowadz¡doukładumurównowa»nego.

Dowód: Niech E b¦dziemacierz¡operacjielementarnej e nawierszach

macierzy A u .

Je»eli S jestrozwi¡zaniemukładurówna«omacierzyuzupełnionej A u =

[ A . . . B ],czyli AS = B ,to( EA ) S = E ( AS )= EB ,czyli S spełniatak»eukład

omacierzyuzupełnionej e ( A u ).Wystarczyju»tylkozauwa»y¢,»eoperac je

elementarne(atak»eichmacierze)s¡odwracalne.

Deﬁnicja13.13 Mówimy,»emacierz D =[ d ij ] 2 M pq owierszach R 1 ,...,R p

ikolumnach C 1 ,...,C q jestw postacitrójk¡tnejzredukowanej ,je»elijedno-

cze±niespełniones¡warunki:

1.istniejetakie r ¬ p ,»e R i = dla i>r oraz R i 6 = dla i ¬ r ,czyli

wierszezerowewyst¦puj¡nadolemacierzy;

2.dlaka»dego i ¬ r istnieje l i 1takie,»e d ij =0dla j<l i oraz

d il i =1,czylika»dyniezerowywierszzaczynasi¦(by¢mo»epustym)

ci¡giemzer,poktórychnast¦pujejedynkazwana wiod¡c¡jedynk¡ tego

wiersza;

3.dla i<i 0 ¬ r zachodzi l i <l i 0 ,czyliwiod¡cejedynkiprzesuwaj¡si¦

corazbardziejwprawo;

4.dlaka»dego i ¬ r kolumna C l i = e i ,czyliwiod¡cajedynkaniezerowego

wierszajestjedynymniezerowymelementemwswojejkolumnie.

Wniosek13.14 Rz¡dmacierzyb¦d¡cejwpostacitrójk¡tnejzredukowanej

jestrównyliczbiejejwiod¡cychjedynek.

Dowód: Przyoznaczeniachjakwdeﬁnicjimacierzmadokładnie r wier-

szyró»nychod ,czylijestjejrz¡dnieprzekracza r .

Zdrugiejstronymacierzpochodz¡cauzyskanaprzezskre±leniewierszy

onumerzewi¦kszymod r ikolumnbezwiod¡cychjedynekjestmacier z¡

jednostkow¡,wi¦cistniejeminorstopnia r owyznaczniku1 6 =0.

Stwierdzenie13.15 Załó»my,»emacierzuzupełniona A u układurówna«

liniowych AX = B ,gdzie A 2 M mn ( F )jestwpostacitrójk¡tnejzreduko-

wanej.Wówczas

1.Je»eliwpewnymwierszumacierzy A u wiod¡cajedynkajestwkolum-

nie( n +1)–szej,toukładjestsprzeczny.

2.Je»eli r jestnajwy»szymnumeremniezerowegowiersza,awiod¡ca

jedynkajestwnimnamiejscu l r ¬ n ,toukładjestniesprzeczny.

Ponadto,je»eli J = { j 1 ,...,j r } jestzbioremnumerówkolumnzawie-

raj¡cychwiod¡cejedynki,to

(a)rozwi¡zaniemszczególnymukładujest( s 1 ,...,s n ),gdzie s il i = b i

dla i =1 ,...,r oraz s j =0dla j 62 J ;

(b)układfundamentalnyskładasi¦zwektorów v j =( v j 1 ,...,v jn ),

j 2{ 1 ,...,n }\ J ,przyczym v jj =1, v jk = − a kj dla k 2 J oraz

v jk =0dla k 62 J [{ j } .

Dowód:

1.Układzawierarównaniesprzeczne0=1,czylisamjestsprzeczny.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: