19.pdf
(
101 KB
)
Pobierz
729610099 UNPDF
19Własno±ciiloczynuskalarnego:
norma,k¡tiodległo±¢
Załó»my,»e
V
jestprzestrzeni¡liniow¡ziloczynemskalarnym
h
.,.
i
.
Definicja19.1
Norm¡
(
długo±ci¡
)wektora
v
2
V
nazywamyliczb¦
q
k
v
k
=
h
v,v
i
.
Uwaga1
Zaksjomatu(IP1)wynika,»e
h
,
i
=0,czyli
k
k
=0,az(IP3),
»edlapozostałych
v
:
h
v,v
i
>
0,czylinormajestdobrzeokre±lona.
Przykład19.2
1.Normapochodz¡caodstandardowegoiloczynuska-
larnegowyra»asi¦wzorem
k
(
x
1
,...,x
n
)
k
=
v
u
u
t
n
X
x
2
i
.
i
=1
2.Wprzestrzeni
l
2
normawyra»asi¦wzorem
k
(
x
n
)
n
2
N
k
=
v
u
u
t
1
X
x
2
n
.
n
=1
Twierdzenie19.3
(nierówno±¢Schwarza)
Dladowolnychwektorów
u,v
2
Vspełnionyjestwarunek
|h
u,v
i|¬k
u
kk
v
k
.
Równo±¢
|h
u,v
i|
=
k
u
kk
v
k
zachodziwtedyitylkowtedy,gdywektoryu,vs¡
liniowozale»ne.
Dowód:
Zauwa»my,»eje»elichocia»jedenzwektorówjestzerowy,to
prawastronanierówno±cijestrówna0namocypoprzedniejuwagi,alewa
tak»ejestrówna0zdwuliniowo±ciiloczynuskalarnego.Oczywi±cieukład
zawieraj¡cywektorzerowyjestliniowozale»ny.
Załó»myteraz,»e
u,v
6
=
.Dladowolnego
2
Rnapodstawiedwuli-
niowo±ciisymetriiiloczynuskalarnegoorazdefinicjinormyotrzymujemy
0
¬h
u
+
·
v,u
+
·
v
i
=
k
v
k
2
2
+2
h
u,v
i
+
k
u
k
2
Ostatniewyra»eniejesttrójmianemkwadratowymzmiennej
ododat-
nimwspółczynnikuprzy
2
(bo
v
6
=
),wi¦cjegowyró»nikjestniedodatni:
0
4
h
u,v
i
2
−
4
k
u
k
2
k
v
k
2
,
1
cojestju»równowa»netezie.
Je»eliwektory
u,v
s¡niezeroweiliniowozale»ne,toistnieje
s
6
=0takie,
»e
v
=
s
·
u
.Wówczas
|h
u,v
i|
2
=
s
2
h
u,u
i
2
=
s
2
k
u
k
4
=
k
u
k
2
s
2
h
u,u
i
=
k
u
k
2
k
v
k
2
.
Naodwrót,je»eli
|h
u,v
i|
=
k
u
kk
v
k
,to
0=4
h
u,v
i
2
−
4
k
u
k
2
k
v
k
2
,
czylitrójmiankwadratowy
k
v
k
2
2
+2
h
u,v
i
+
k
u
k
2
mapierwiastek
s
2
R.
Zatem
h
u
+
·
v,u
+
s
·
v
i
=0inamocy(IP3)dostajemy
u
=(
−
s
)
·
v
,
co
oznaczazale»no±¢wektorów
u,v
.
Stwierdzenie19.4
Wprzestrzeniliniowej
V
ziloczynemskalarnymspeł-
niones¡warunki:
(N1)
8
v
2
V
k
v
k
0
(N2)
8
v
2
V
(
k
v
k
=0
,
v
=
)
(N3)
8
v
2
V
8
a
2
R
k
a
·
v
k
=
|
a
|k
v
k
(N4)
8
u,v
2
V
k
u
+
v
k¬k
u
k
+
k
v
k
Dowód:
Warunki(N1)i(N2)wynikaj¡wprostz(IP3)orazuwagi.Dla
dowodu(N3)zauwa»my,»e
k
a
·
v
k
2
=
h
a
·
v,a
·
v
i
=
a
2
h
v,v
i
=
a
2
k
v
k
2
.
Warunek(N4)jestbezpo±redni¡konsekwencj¡definicjiiloczynuskalar-
negooraznierówno±ciSchwarza:
k
u
+
v
k
2
=
h
u
+
v,u
+
v
i
=
k
u
k
2
+
k
v
k
2
+2
h
u,v
i
¬k
u
k
2
+
k
v
k
2
+2
k
u
kk
v
k
=(
k
u
k
+
k
v
k
)
2
.
Uwaga2
Je»eliwprzestrzeniliniowej
V
(bezstrukturyiloczynuskalarne-
go)okre±lonajestfunkcja
k
.
k
:
V
!
Rspełniaj¡cawarunki(N1)—(N4),to
par¦(
V,
k
.
k
)nazywamy
przestrzeni¡unormowan¡
.Widzimy,»eka»daprze-
strze«ziloczynemskalarnymjestprzestrzeni¡unormowan¡,aledo±¢rzadko
jestnaodwrót.
Stwierdzenie19.5
(równo±¢równoległoboku)Dladowolnychwektorów
u,v
zprzestrzeni
V
ziloczynemskalarnymspełnionyjestwarunek
k
u
+
v
k
2
+
k
u
−
v
k
2
=2
k
u
k
2
+2
k
v
k
2
.
2
Dowód:
k
u
+
v
k
2
+
k
u
−
v
k
2
=
k
u
k
2
+
k
v
k
2
+2
h
u,v
i
+
k
u
k
2
+
k
v
k
2
−
2
h
u,v
i
=2
k
u
k
2
+2
k
v
k
2
.
Stwierdzenie19.6
(to»samo±¢polaryzacyjna)Dladowolnych
u,v
2
V
spełnionyjestwarunek
h
u,v
i
=
1
4
k
u
+
v
k
2
−k
u
−
v
k
2
.
Definicja19.7
Dlaniezerowychwektorów
u,v
2
V
liczb¦
^
(
u,v
)=arccos
h
u,v
i
k
u
kk
v
k
nazywamy
k¡tem
(
nieskierowanym
)
pomi¦dzywektoramiu,v
.
k
u
kk
v
k
nale»ydoprze-
działu[
−
1
,
1],wi¦ck¡tnieskierowanypomi¦dzywektoramijestdobrzeokre-
±lony.Nale»yonzawszedoprzedziału[0
,
].
Przykład19.8
1.K¡tpomi¦dzyniezerowymiwektoramiortogonalny-
miwynosi
2
.
2.Wektory
u,v
s¡
zgodniezorientowane
(lub
maj¡tensamzwrot
),co
zapisujemy
u
""
v
,gdyjedenjestiloczynemdrugiegoprzezliczb¦
nieujemn¡.K¡tpomi¦dzyniezerowymiwektoramizgodniezoriento-
wanymiwynosi0.
3.K¡tpomi¦dzyniezerowymiwektoramirównoległymi(czyliliniowoza-
le»nymi)wynosi0lub
.
Stwierdzenie19.9
(twierdzeniecosinusów)Dlaniezerowychwektorów
u,v
prawdziwajestrówno±¢
k
u
+
v
k
2
=
k
u
k
2
+
k
v
k
2
+2
k
u
kk
v
k
cos
^
(
u,v
)
.
Wniosek19.10
(twierdzeniePitagorasa)Wektory
u,v
s¡ortogonalnewte-
dyitylkowtedy,gdy
k
u
+
v
k
2
=
k
u
k
2
+
k
v
k
2
.
Wniosek19.11
(równo±¢Parsevala)Je»eliukład(
v
1
,...,v
k
)jestortogo-
nalny,to
k
v
1
+
...
+
v
k
k
2
=
k
v
1
k
2
+
...
+
k
v
k
k
2
.
3
Uwaga3
Znierówno±ciSchwarzawynika,»eułamek
h
u,v
i
Definicja19.12
Wprzestrzenieuklidesowej
Eodległo±ci¡
(lub
metryk¡
)
nazywamyfunkcj¦przypisuj¡c¡punktom
p,q
2
E
liczb¦
|
pq
|
=
k
−!
pq
k
.
Stwierdzenie19.13
Wprzestrzenieuklidesowej
E
spełniones¡warunki:
(D1)
8
p,q
2
E
(
|
pq
|
=0
,
p
=
q
)
(D2)
8
p,q
2
E
|
pq
|
=
|
qp
|
(D3)
8
p,q,r
2
E
|
pr
|¬|
pq
|
+
|
qr
|
Uwaga4
Je»eliwzbiorzeniepustym
X
okre±lonajestfunkcja
d
=
|
..
|
:
X
×
X
!
Rspełniaj¡cawarunki(D1)—(D3),topar¦(
X,d
)nazywamy
przestrzeni¡metryczn¡
.
n
zestandardowymiloczy-
nemskalarnym
odległo±¢euklidesowa
wyra»asi¦wzorem
|
(
p
1
,...,p
n
)(
q
1
,...,q
n
)
|
=
v
u
u
t
n
X
(
q
i
−
p
i
)
2
.
i
=1
St
wierdzenie19.15
Wprzestrzenieuklidesowejpunkt
r
nale»ydoodcinka
pq
wtedyitylkowtedy,gdy
|
pr
|
+
|
rq
|
=
|
pq
|
.
Dowód:
)
)Je»eli
r
2
pq
,to
r
=(1
−
a
)
p
+
aq
dlapewnego
a
2
[0
,
1].
Wówczas
|
pr
|
+
|
rq
|
=
|
a
||
pq
|
+
|
1
−
a
||
pq
|
=
|
pq
|
.
(
)Załó»my,»e
|
p
r
|
+
|
rq
|
=
|
pq
|
.Dla
r
=
p
lub
q
wniosekjestoczywisty,
załó»mywi¦c,»e
r
2
pq
\{
p,q
}
.Wówczas
|
pr
|
2
+
|
rq
|
2
+2
|
pr
||
rq
|
=
|
pq
|
2
=
k
−!
pr
+
−!
rq
k
2
=
|
pr
|
2
+
|
qr
|
2
+2
h
−!
pr,
−!
rq
i
,
sk¡dnamocynierówno±ciSchwarzadostajemyliniow¡zale»no±¢wektor
ów
−!
pr
,
−!
rq
orazistnienietakiego
s>
0,»e
−!
rq
=
s
·
−!
pr
.Zatem
r
=
s
s
+1
p
+
1
s
+1
q
2
pq
.
Definicja19.16
Wprzestrzenieuklidesowej
Ekul¡
(
otwart¡
)o±rodku
p
i
promieniu
R>
0nazywamyzbiór
B
(
p,R
)=
{
q
2
E
;
|
pq
|
<R
}
.
Zbiór
B
(
p,R
)punktów
q
2
E
spełniaj¡cychnierówno±¢
|
pq
|¬
R
nazywamy
kul¡domkni¦t¡
o±rodku
p
ipromieniu
R
.
4
Przykład19.14
WprzestrzenieuklidesowejE
Stwierdzenie19.17
Kula(odpowiedniokuladomkni¦ta)jestzbioremwy-
pukłym.
Dowód:
Dla
q,q
0
2
B
(
p,R
)oraz
a
2
[0
,
1]przyjmuj¡c
r
=(1
−
a
)
q
+
aq
0
otrzymujemy
|
pr
|
=
(1
−
a
)
−!
pq
+
a
pq
0
¬|
1
−
a
||
pq
|
+
|
a
||
pq
0
|
<
(1
−
a
)
R
+
aR
=
R,
czyli
qq
0
B
(
p,R
).
5
−!
Plik z chomika:
sandra.kubiak1
Inne pliki z tego folderu:
19.pdf
(101 KB)
18.pdf
(105 KB)
17.pdf
(101 KB)
16.pdf
(93 KB)
15.pdf
(91 KB)
Inne foldery tego chomika:
Camera
E-booki
Encyklopedie komputerowe
Filmy
GPS
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin