19. Elektrostatyka I.pdf

(317 KB) Pobierz
Wyk³ad 19
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 19
19. Elektrostatyka I
19.1 Wstęp
Większość ciał stałych można podzielić na przewodniki i izolatory . W izolatorze
nadmiarowy ładunek może być rozmieszczony w całej objętości natomiast w przewod-
nikach swobodne elektrony będą się zbierały na powierzchni dopóty, dopóki nie wy-
tworzy się pole równoważące pole zewnętrzne.
Rozpatrzmy dowolny w kształcie przewodnik. Wybierzmy powierzchnię zamkniętą tuż
poniżej powierzchni przewodnika.
S
Zastosujmy prawo Gaussa do tej powierzchni
∫ S
d
=
Q
wewn
.
ε
0
Wewnątrz przewodnika w dowolnym punkcie powierzchni S pole musi być równe zeru,
bo inaczej elektrony poruszałyby się czyli
∫ S
E
d =
0
Zatem
0 = Q wewn . /ε 0
Stąd
Q wewn . = 0
Tak więc ładunek wewnątrz dowolnej zamkniętej powierzchni (przewodnika) musi być
równy zeru; cały ładunek gromadzi się na powierzchni.
19-1
E
4224774.004.png
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
19.2 Kuliste rozkłady ładunków
19.2.1 Jednorodnie naładowana sfera
Rozpatrzmy jednorodnie naładowaną powierzchnię kulistą.
+Q
r
R
W dowolnym punkcie sfery E  S (prostopadłe do powierzchni) więc
∫
E
d
S
= )
E π
(
4
r
2
Zgodnie z prawem Gaussa:
E (4π r 2 ) = Q /ε 0
czyli
E
=
1
Q
=
k
Q
(19.1)
4
πε
r
2
r
2
0
dla r > R (tak jakby cały ładunek skupiony był w środku sfery).
Dla r < R , E = 0.
19.2.2 Jednorodnie naładowana kula
Przewodniki - równoważne sferze bo ładunek na powierzchni.
Izolator - równoważny szeregowi współśrodkowych sfer.
E
=
k
Q
wewn
.
r
2
gdzie Q wewn . = Q ( r 3 / R 3 ) (stosunek objętości kuli o promieniu r do objętości kuli o pro-
mieniu R , rysunek).
Q
R
r
Q wewn
19-2
4224774.005.png
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
r
3
E
(
4
π
r
2
)
=
4
π
k
Q
R
3
Czyli
E
=
k
Q
r
(19.2)
R
3
Wykres E w funkcji odległości od środka jednorodnie naładowanej kuli jest pokazany
poniżej.
E
kQ 2 /R 2
R
r
Przykład 1
Atom wodoru traktujemy jako sztywną jednorodnie naładowaną kulę o promieniu
R = 10 -10 m, całkowitym ładunku Q = e = -1.6·10 -19 C i masie m e = 9.1·10 -31 kg. Proton
znajdujący się w środku chmury elektronowej (stan podstawowy) zostaje przemiesz-
czony o małą odległość x 0 i puszczony swobodnie. Jaka będzie częstotliwość drgań ja-
kie elektron i proton będą wykonywały wokół ich położeń równowagi?
chmura
elektronowa
R
x 0
proton
Siła przywracająca proton do położenia równowagi F = eE czyli
e
2
F
=
−
k
x
R
3
lub
d
2
x
e
2
m e
=
−
k
x
d
t
2
R
3
19-3
4224774.006.png 4224774.007.png
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Powinniśmy się posługiwać raczej masą zredukowaną µ = M p m e /( M P + m e ) ale m e << M p
więc µ ≈ m e .
Zgodnie z równaniem dla ruchu harmonicznego
ke
2
ω
m
R
3
e
f
=
ω
2
π
= 2.5·10 15 Hz
Ta częstotliwość jest bliska promieniowaniu wysyłanemu przez atom wodoru w pierw-
szym stanie wzbudzonym czyli, że taki model jest uzasadniony.
19.2.3 Liniowe rozkłady ładunków
Liczymy pole E w odległości r od jednorodnie naładowanego pręta (drutu) o długo-
ści l >> r .
L
r
+
+
+
Wprowadzamy liniową gęstość ładunku λ (ładunek na jednostkę długości).
Jako powierzchnię Gaussa wybieramy walec (możemy wybierać dowolnie).
Z prawa Gaussa
∫
E
d
S
=
λ
L
=
4
π
k
(
λ
L
)
ε
0
E jest równoległe do wektora S i ma taką samą wartość w każdym punkcie powierzchni
więc
2π rLE = 4π kL λ
E
=
2
k
λ =
λ
(19.3)
r
2
πε
r
0
Teraz pole wewnątrz. Wybieramy powierzchnię Gaussa o promieniu r < R .
Ładunek wewnątrz powierzchni Gaussa Q wewn. = ρπ r 2 L , gdzie ρ - gęstość objętościowa
ładunku. Z prawa Gaussa otrzymujemy
E (2π rL ) = 4π k (ρπ r 2 L )
19-4
4224774.001.png 4224774.002.png
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
E = 2 k ρπ r
ponieważ
λ = ρπ R 2
więc
E
=
2
k
λ =
r
λ
r
(19.4)
R
2
πε
R
2
0
19.2.4 Płaskie rozkłady ładunków
Obliczamy pole od nieskończonej jednorodnie naładowanej płaszczyzny.
E
E
Ładunek otoczony przez powierzchnię Gaussa jest równy Q wewn. = σ S , gdzie σ jest gę-
stością powierzchniową, a S powierzchnią podstawy walca. Z prawa Gaussa
2ES = σ S /ε 0
gdzie czynnik 2 odpowiada dwóm podstawom walca.
Ostatecznie otrzymujemy
E = σ/2ε 0
(19.5)
Wiele zastosowań dotyczy układu dwóch, płaskich równoległych płyt (kondensator pła-
ski).
Pole wytwarzane przez płytę "po lewej stronie" (rysunek poniżej) jest równe
E minus = σ/2ε 0 i skierowane ku płycie. Pole wytwarzane przez płytę po prawej
E plus = σ/ε 0 i skierowane jest od płyty.
19-5
2
4224774.003.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin