odwzorowania_liniowe.pdf

(249 KB) Pobierz
Odwzorowania liniowe w przestrzeni wektorowej
Odwzorowania liniowe w przestrzeni wektorowej
Definicja 1. (odwzorowania liniowego)
( , ,,,(, ,,)
:
XK YK
fX Y
+⋅ +⋅
→
jest odwzorowaniem liniowym
- przestrzenie wektorowe
:⇔
1
∀
xx X
12
,
∈
: (
f xx f x f x
1
+ = +
2
)
( )
1
(
2 )
2
∀∀ =⋅
α
∈
Kx X
:
∈
: ( )
f x f x
αα
( )
WNIOSEK :
Jeżeli f: jest liniowe to:
X Y
( )
() ()
f
x
=
0
y
2
f x
−=−
f
x
Twierdzenie 1.
Z:
T:
+⋅ +⋅
→
∀∀ + = +
XK YK
fX Y
, ,,,(, ,,)
- przestrzenie wektorowe
jest liniowe
:
⇔
xx X K
,
∈
:
αβ
,
∈
: (
f x x fx fx
αβα β
1
2
)
( )
1
(
2 )
Twierdzenie 2.
(
fX
XK YK
Y
, ,,,(, ,,)
+⋅ +⋅
→
- przestrzenie wektorowe
f jest liniowe
:
⇔
∀
αα α
αα α α α α
1,
, ...,
n
∈
Kx x x X
:
∀
12
, ,...,
n
∈
:
f
(
11
+++ = + ++
2 2
x
...
nn
x
)
1
f x
( )
1
2
f x
( ) ...
2
n n
f x
)
Przykład 1.
( )
( )
3
,,,
+⋅
- przestrzeń wektorowa
taka
3
→
2
, że:
f xyz x y zx y z x y z
( )
( )
( )
,,
=−+ ++ ++
(
2,
,3 3 3)
Niech
uxxx
=
123
,,
Sprawdźmy, czy jest to odwzorowanie
liniowe
vyyy
=
, ,
123
αβ
,
∈
R
Czy
f uv f u f v
( ) () ()
αβα β
+= +
?
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 1 z 5
Część 5 –Odwzorowania liniowe
→
10
(
12
(
x
11843048.009.png 11843048.010.png 11843048.011.png
 
f uv f xxx yyy
( ) ( ) ( )
αβ α β
+=
(
123
,,
+
1 2 3
,,
)
=
=
f x y x y x y
(
(
αβαβαβ
1
+
1
,
2
+
2
,
3
+ =
3
)
)
= − + + − +
(
α
(
xx x yy y xxx
1
2
2
3
) (
β
1
2
2 ,
3
) (
α
1
+ + +
2
3
)
+ + +
β
(
yyy xx x yy y
1
2
3
) (
, 3 3 3
α
1
+ + + + + =
2
3
) (
β
3 3 3
1
2
3
) )
= − + + + + + + − + + + + +
+ ( ) () ()
α
(
xx xxxxx x x yy yyyyy y y
1
2
2 ,
3
1
2
3
,3
1
3
2
3
3
) (
β
1
2
2 ,
3
1
2
3
,3
1
3
2
3
3
) =
α
fxxx
( )
123
,,
β
fyyy fu fv
123
, ,
= +
α β
Odwzorowanie f jest liniowe
Definicja 2.
( )
XK YK
Y
,,,, ,,,
+⋅ +⋅
→ jest liniowe
(
) - przestrzenie wektorowe
fX
:
Jądrem odwzorowania liniowego nazywamy ogół takich wektorów z
przestrzeni X, których w a rtość jest wektorem zerowym przestrzeni Y
Ke
r :
f x Xf x
=∈ =
{
:
( )
0 y
}
X
Y
0 y
Ker f
Obrazem odwzorowania f (przeciwdziedziną, zbiorem wartości)
nazywamy zbiór
{
f yY yfx
:
=∈∃ =
:
xX
∈
:
( )
}
X
Y
Im f
WNIOSEK :
Ker {}
{
f
=
f
− 
1

0
Im
f fx x X
=
( ) :
∈
}
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 2 z 5
Część 5 –Odwzorowania liniowe
Im
11843048.001.png 11843048.002.png 11843048.003.png 11843048.004.png 11843048.005.png
Twierdzenie 3. - przestrzenie wektorowe
(
XK YK
,,,, ,,,
+⋅ +⋅
) ( )
fX Y
K
:
:Ker, , ,
→
i f liniowe
T
1
(
f
+⋅
)
podprzestrzeń przestrzeni X
T
2
:Im , , ,
(
f
K
+⋅ podprzestrzeń przestrzeni Y
)
Twierdzenie 4.
Z: ( XK
T:
,,,, ,,,
+⋅ +⋅
) ( )
YK
- przestrzenie wektorowe
:
dim
fX Y
X
→
=
jest liniowe
dim Ker dim Im
f
+
f
Definicja 3.
( ) ( )
XK YK f X Y
,,,, ,,,,:
+⋅ +⋅ → f – liniowe
Wymiar obrazu nazywamy rzędem odwzorowania liniowego
dim Im
f
=
r
f
Definicja 4.
(
XK YK
,,,, ,,,
+⋅ +⋅
) ( )
- przestrzenie wektorowe
• Odwzorowanie nazywamy monomorfizmem , jeżeli jest liniowe i
injektywne (różnowartościowe)
fX Y
:
→
• Odwzorowanie nazywamy epimorfizmem , jeżeli jest linowe i
surrjektywne ( Im f=Y)
• Odwzorowanie nazywamy izomorfizmem , jeżeli jest liniowe i bijektywne
Twierdzenie 5.
Z: ( ) ( )
XK YK
,,,, ,,,
+⋅ +⋅
- przestrzenie wektorowe
f - liniowe
fX Y
:
→
T: f jest injektywne
⇔=
Ker
{ }
0
Twierdzenie 6.
ZX
: , ,, , , ,,
( ) ( )
K YK
+⋅ +⋅
- przestrzenie wektorowe
f
dim
:
X Y f monomorfizm
Xn
→−
=
,
T
:dimIm
f
=
n
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 3 z 5
Część 5 –Odwzorowania liniowe
11843048.006.png
Definicja 5.
( )
XK YK
,,,, ,,,
+⋅ +⋅
(
) - przestrzenie wektorowe
Mówimy, że X i Y są przestrzeniami izomorficznymi
X
∼
Y f X
:
⇔∃ →
:
Y i f - izomorfizm
WNIOSEK:
X
∼
Y
⇒=
dim
dim
Y
Twierdzenie 7.
ZX
TX
: , ,, , , ,,
( ) (
K YK
+⋅ +⋅
)
im
- przestrzenie wektorowe
:
∼
Y X Y
⇔=
dim
d
Definicja 6.
( )
XK YK
( )
( ) {
,,,, ,,,
+⋅ +⋅
- przestrzenie wektorowe
}
L
X Y ffXY
, :
=
: :
→
∧ f - liniowe
Twierdzenie 7.
ZX
: , , , , , , ,
( ) (
( )
K YK
+⋅ +⋅
)
- przestrzenie wektorowe
T X
Gdzie - dodawanie odwzorowań
:
(
L
, , , ,
Y K
⊕
)
Jest przestrzenią wektorową
⊕
- mnożenie odwzorowań przez skalary z ciała K
Definicja 7.
( f
XK
,,,
+⋅
)
→∧ f - liniowe
Odwzorowanie liniowe przestrzeni w samą siebie nazywamy
endomorfizmem
:
XX
UWAGA
ZX
: , ,, , , ,, , , ,,
( ) ( ) (
( ) ( )
( )
K UK YK
+⋅ +⋅ +⋅
) - przestrzenie wektorowe
f XUg UY
∈
L
,
∧ ∈
L
,
Tg
:
f XY
∈
L
,
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 4 z 5
Część 5 –Odwzorowania liniowe
11843048.007.png
Definicja 8.
(
XK
+⋅
+⋅ ) Każde ciało może być traktowane jako
przestrzeń wektorowa nad samym sobą
)
(
KK
,,,
Odwzorowanie liniowe f: X -> K nazywamy formą liniową
WNIOSEK
( ( ) )
L
XU K +⋅
Zbiór form liniowych z dodawaniem i mnożeniem
odwzorowań przez skalar z ciała K jest
przestrzenią wektorową
Definicja 9.
( (
L
( ) )
)
+⋅ =
'
XK
', , ,
- przestrzeń dualna do przestrzeni X (przestrzeń form
liniowych określonych nad przestrzenią X)
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 5 z 5
Część 5 –Odwzorowania liniowe
,,,
, , , ,
XU K X
, , , ,
+⋅
11843048.008.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin