ściąga - tensorki.doc

Nsory 1. Równanie Cauchy`ego – pozwala na obliczenie składowych wektora naprężenia działającego na powierzchni dowolnie nachylonej, gdy znamy:

- tensor naprężenia w danym punkcie ciała

- orientację płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt (ni)

2. Tensor naprężeń i jego niezmienniki. T.N. nzywamy dowolną wielkość fizyczną która podlega ściśle określonym prawom transformacji. Prawo transformacji to przepis matematyczny pozwalający obliczyć składowe danej wielkośc fizycznej w nowym układzie odniesienia, gdy znamy:

współrzędne w starym układzie odniesienia i macierz transformacji.

Niezmienniki stanu naprężenia są to wyrażenia algebraiczne utworzone z tensora naprężenia, które nie zmieniają swoich wartości przy transformacjach układu odniesienia.

a) Niezmiennik liniowy

b)Niezmiennik kwadratowy

c) Niezmiennik 3 stopnia

3. Naprężenia główne są to naprężenia ekstremalne ze względu na położenie płaszczyzn w których występują i charakteryzują się tym, że są do tych płaszczyzn prostopadłe. Są to takie naprężęnia w których nie występują naprężenia styczne. Ze wzoru Cauchy`ego mamy: 

Naprężenia normalne:

Dla naprężeń głównych:

4. Rozkład stanu naparzenia na dwa stany podstawowe:

a) stan hydrostatyczny

Występują tylko naprężenia główne i są sobie równe. Ten stan naprężenia prowadzi tylko do odkształceń sprężystych. Nigdy nie uzyskamy odkształceń plastycznych.

b) czyste ścinanie (stan dewiacyjny)

Występują naprężenia normalne i styczne. Suma naprężeń głównych =0.

5. Maksymalne naprężenia styczne:

Szukamy ogólnego wzoru na składową styczną:

wyliczamy ze wzoru Cauchy`ego

Naprężenia normalne N

Wzór pozwala obliczyć naprężenia styczne na dowolnie nachylonej płaszczyźnie jeśli znamy tensor naprężenia i orientację płaszczyzny.

6. Naprężenia oktaedryczne.

warunek geometryczny

Aby obliczyć naprężenia styczne na płaszczyźnie oktaedru wstawiamy do równania

SOKT = 1/3 I1=1/3 [d(1)+d(2)+d(3)]

i mamy

Dla ogólnego tensora:

7. Tensor odkształceń skończonych:

a) wg Lagrange`a:

b) wg Eulera

Oba tensory Lij i Eij są tensorami symetrycznymi 2 rzędu i w sposób najdokładniejszy opisują stan odkształcenia w otoczeniu danego punktu ciała.

8. Tensor odkształceń nieskończenie małych i interpretacja geometryczna składowych.

a) Lagrange`a

b ) Eulera

Interpretacja geometryczna składowych:

Dla krawędzi da2 stosujemy wzór na różnicę kwadratów

(dx)2-(da)2=2lijdaidaj

l22- względna zmiana długości krawędzi || do x2.

l11,l33- odkształcenia liniowe.

9. Tensor prędkości odkształcenia: Jeśli Ui jest wektorem przemieszczenia to pochodna

oznacza prędkość przemieszczenia

lij – pochodna tensora odkształceń względem czasu. Jest to tensor prędkości odkształcenia.

10. Tensor przyrostów odkształcenia. Aby można było stosować tensory odkształceń nieskończenie małych do odkształceń skończonych wprowadzono pojęcie tensorów przyrostów odkształcenia.

11. Tensor odkształceń plastycznych.

- dowolny tensor odkształceń plastycznych.

l11:l22:l33:l12…=const.

Składowe pozostają w stałych stosunkach w trakcie zmian obciążenia.

13. Intensywność naprężeń i odkształceń 

Jeżeli 3 wielkości zmienne są zapisane takim warunkiem ze ich suma równań się zero to możemy je przedstawić graficznie w układach osi tworzących między sobą kąt 120o .  cos(fi)-wsk.schematu odkształcenia.                                                                             14. Związki pomiędzy odkształceniem i naprężeniem w stanie sprężystym.

Uogólnienie Cauchy`ego dla ciał anizotropowych:

- tensor modułów sprężystości.

Uogólnienie Cauchy`ego dla ciał izotropowych sprężystych:

K – moduł ściśliwości

E – moduł Younga

G – moduł ścinania

15. Energia odkształcenia sprężystego (U).

Energia nagromadzona przy odkształceniu sprężystym w jednostce objętości ciała nosi nazwę energii jednostkowej sprężystej lub energii właściwej odkszt. spręż. Ogólnie:

              U=1/2 Cijkl lij lkl

Lub z prawa Hooke`a:

Dla złożonego stanu odkszt. i naprężeń dokonuje się zsumowania prac we wszystkich kierunkach.

Energię tę można rozłożyć na energię odkształcenia postaci (Uf) i energię odkształcenia objętości (Uv)

U=Uf+Uv

Za miarę wytężenia materiału może być uważana tylko ta część energii, która przypada na zmianę postaci ciała tj. energia odkszt. postaci.

Wytężenie-stopień zbliżenia mater.do st. krytycznego.

2- a podstawowe stany krytyczne:

-pęknięcie mater.;

-przejście od stanu sprężystego do plastycznego.

Niezmienność dewiatora napr.

nie ma znaczenia

Elipsa  Lamego

(ij-dij)nj=0  è

(lij-ldij)nj=0   è

-3+I12-I2+I3=0

-L3+M1L2-M2L+I3=0

L-pisać małą literą

Rozkład stanu odkształcenia na 2

- objętościowe powodowane przez hydrostatyczny stan naprężenia (np. zanurzyć w H2O)

- podstawowe powodowane przez czyste ścinanie

Miarą odkształcenia objętościowego jest dylatacja

D- jest to względna zmiana objętości

D=M1=Lii=L11+L22+L33

Aksjator i dewiator  st. odkszt

- służy do del zastępczego odkszt

Związki między tensorami naprężenia a odkształcenia (wzory lamego)

è

....................................................

.....................................................

uogólnione prawo Hooke’a

aby uniknąć pomyłki „L” małe z „i” duże pisałem duże L więc przy przepisywaniu zmienić na małe !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

16.Plastyczność i wpływ warunków odkszt. na plast. Zdolność materiału do trwałego odkształcenia bez utraty spójności materiału. Plastyczność nie jest własnością, lecz przedstawia sta w jakim znajduje się materiał. Wpływ warunków odkszt. na plast.:

- temp.(aktywacje dyslokacji-wady liniowe);-układ krystalograf.; -skład chemiczny; -struktura; -stan naprężenia.

17.Prawo plast. Płynięcia Prandla-Reussa.

Inaczej teoria płynięcia sprezysto-plastycznego. Zakłada, że całkowita prędkość odkształcenia to suma części spręż. i plast.

Opis płynięcia spręż.-plast. Otrzymujemy przez superpozycję płynięcia sprężystego i plastycz., przy czym dodajemy do siebie aksjatory i dewiatory.

Dla części spręż. korzystamy z prawa Hooke`a oraz z rozkładu tensora prędk. odkszt. na aksj. i dew.:

tensor prędkości                            dewiator

18.Naprężenie zastępcze i zastępcze odkształcenie.

Inaczej: Całkowite zastępcze naprężenie; intensywność naprężenia; zastępcze napr. Huberow. Zastępcze naprężenie-to takie napr. Jednoosiowe rozciągające lub ściskające, którego skutek działania w danym punkcie ciała jest taki sam, jak skutek działania złożonego stanu napr.

Zastępcze odkształcenie- odkształcenie liniowe, na wykonanie, którego trzeba zużyć taką samą pracę jak na wykonanie złożonego stanu odkszt.

Dla mater. nieściśliwego:

Jak porównać 2-a stany naprężenia? Przez porównanie niezmienników stanu naprężenia!

19. Praca i moc odkształcenia plastycznego

Praca

w = σij * εij   - praca odkształcenia plastycznego (praca wykonana we wszystkich kierunkach)

lub inaczej w = σH * εH

Całkowitą pracę odkształcenia plastycznego W otrzymamy poprzez całkowanie po objętości pracy jednostkowej  

Moc

- moc jednostkowa odkształcenia plastycznego

lub

Całkowitą moc odkształcenia plastycznego otrzymamy poprzez całkowanie po objętości mocy jednostkowej

20.Tensor przyrostu odkształcenia.

Jest to tensor symetryczny drugie gorzędu.

Właściwości Tensora przy. odksz. (,)
- stosuje się zamiennie z tensorem odkształceń skończonych
,.

- przyrost odkształcenia (różniczka zupełna tensora) jest formą „dostosowania” tensorów odkształceń nieskończenie małych (,) do dokładnego opisu odkszt. Skończonych.

- średnia prędkość przyrostu odkształcenia

-delta Kronekera
-drugi niezmiennik dewiatora przyrostu odkształcenia
 

- główne przyrosty odkształcenia (nie ma odkształceń postaciowych)
 

gdzie: ,,liczymy z równania
 

- intensywność przyrostu odkształcenia

...