2.pdf

2 Grupy i ich homomorﬁzmy

Deﬁnicja 2.1. Działaniem wewn¦trznym w niepustym zbiorze G nazywamy

funkcj¦ działaj¡c¡ ze zbioru G × G w zbiór G .

Tradycyjnie znak funkcji b¦d¡cej działaniem wewn¦trznym umieszczamy

pomi¦dzy argumentami: wynik dodawania + liczb rzeczywistych x oraz y za-

pisujemy jako x + y w miejsce mniej intuicyjnego +( x,y ).

Przykład 2.2. 1. Dodawanie i mno»enie s¡ działaniami wewn¦trznymi w

zbiorachN,Z,QorazR, podczas gdy odejmowanie jest działaniem wewn¦trznym

tylko w zbiorachZ,Q,R, za± dzielenie — w zbiorachQ \{ 0 } orazR \{ 0 } .

2. Odejmowanie wN, dzielenie wZczy te» dzielenie wQnie s¡ działaniami

wewn¦trznymi

3. Rozwa»my niepusty zbiór X . Niech F ( X ) oznacza zbiór wszystkich funkcji

działaj¡cych ze zbioru X w zbiór X . Dla f,g 2F ( X ) niech f g oznacza

funkcj¦ z X w X dan¡ wzorem

( f g )( x ) = f ( g ( x ))

dla x 2 X.

Odwzorowanie , zwane składaniem funkcji , jest działaniem wewn¦trznym

w zbiorze F ( X ).

4. Składanie funkcji jest tak»e działaniem wewn¦trznym w zbiorze S X wszys-

tkich bijekcji zbioru X .

5. Dla naturalnego n 2 oznaczmy przezZ n zbiór wszystkich reszt z dzie-

lenia przez n , czyliZ n = { 0 , 1 ,...,n − 1 } . Okre±lmy operacje + n (zwane

dodawaniem modulon ) oraz · n (zwane mno»eniem modulon ) wzorami

a + n b = reszta z dzielenia a + b przez n dla a,b 2 Z n

a · n b = reszta z dzielenia ab przez n dla a,b 2 Z n

Zarówno dodawanie modulo n jak i mno»enie modulo n s¡ działaniami

wewn¦trznymi w zbiorzeZ n .

Deﬁnicja 2.3. Grup¡ nazywamy par¦ uporz¡dkowan¡ ( G, · ), gdzie G jest zbiorem

niepustym, za± · działaniem wewn¦trznym w tym zbiorze, spełniaj¡c¡ warunki

(G1) 8 a,b,c 2 G ( a · b ) · c = a · ( b · c ) ( ł¡czno±¢ )

(G2) 9 e 2 G 8 a 2 G a · e = e · a = a ( element neutralny )

(G3) 8 a 2 G 9 a − 1 2 G a · a − 1 = a − 1 · a = e ( elementy odwrotne )

Je»eli ponadto spełniony jest warunek

(G4) 8 a,b 2 G a · b = b · a ( przemienno±¢ )

to par¦ ( G, · ) nazywamy grup¡ abelow¡ .

O ile nie prowadzi to do nieporozumie«, znak działania grupowego pomi¦dzy

elementami b¦dziemy pomija¢. Cz¦sto bedziemy mówi¢ po prostu o grupie G ,

je»eli sposób okre±elnia działania nie budzi w¡tpliwo±ci.

Przykład 2.4. 1. (Z , +), (Q , +), (R , +), (Q \{ 0 } , · ), (R \{ 0 } , · ) s¡ grupami

abelowymi. Grupy, w których działaniem jest dodawanie nazywamy gru-

pami addytywnymi , za± te z mno»eniem — grupami multiplikatywnymi .

2. ( S X , ) jest grup¡ (nieabelow¡, gdy # X> 2). Elementem neutralnym tej

grupy jest funkcja to»samo±ciowa id dana wzorem

id ( x ) = x dla 2 X,

a dla dowolnej funkcji f 2 S X elementem do niej odwrotnym jest funkcja

odwrotna f − 1 .

Je»eli X = { 1 ,...,n } , to grup¦ oznaczamy po prostu S n i nazywamy n–t¡

grup¡ permutacji ; ma ona jak wiadomo n ! elementów.

3. (Z n , + n ) jest grup¡ abelow¡, za± (Z n \{ 0 } , · n ) jest grup¡ (tak»e abelow¡)

wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczb¡ pierwsz¡.

4. Niektóre zbiory przekształce« płaszczyzny, np. izometrie, podobie«stwa,

translacje, tworz¡ grupy z działaniem składania.

Stwierdzenie 2.5. W grupie:

1. istnieje dokładnie jeden element neutralny.

2. dla dowolnegoelementu istnieje dokładnie jeden element do niego odwrotny.

Dowód: Niech ( G, · ) b¦dzie grup¡.

1. Je»eli e,e 0 s¡ elementami neutralnymi w grupie G , to z (G2) wynika, »e

e 0 = ee 0 = e .

2. Je»eli a 0 ,a 00 2 G s¡ elementami odwrotnymi do a , to

a 00 G 2 = ea 00 G 3 = ( a 0 a ) a 00 G 1 = a 0 ( aa 00 ) G 3 = a 0 e G 2 = a 0

Stwierdzenie 2.6. W grupie ( G, · ) :

1. 8 a 2 G a − 1 − 1 = a

2. 8 a,b 2 G ( ab ) − 1 = b − 1 a − 1

Dowód: Dla dowolnych a,b 2 G zachodz¡ równo±ci:

1. a − 1 − 1 G 2 = a − 1 − 1 e G 3 = a − 1 − 1 a − 1 a G 1 = a − 1 − 1 a − 1 a G 2 = ea G 2 = a

2. ( ab ) b − 1 a − 1 G 1 = ( ab ) b − 1 a − 1 G 1 = a bb − 1 a − 1 G 3 = ( ae ) a − 1 G 2 = aa − 1 G 3 = e

Równo±¢ b − 1 a − 1 ( ab ) = e sprawdzamy analogicznie.

W grupie mo»emy okre±li¢ dowoln¡ całkowit¡ poteg¦ dowolnego elementu

kład¡c

a 0 = e

a n = a n − 1 a dla n 2 N

a − n = a − 1 n dla n 2 N

Stwierdzenie 2.7. W grupie zachodz¡ prawa skre±le«, tzn. je»eli ( G, · ) jest

grup¡, to dla dowolnycha,b,c 2 Gprawdziwe s¡ implikacje:

1.ca = cb = ) a = b

2.ac = bc = ) a = b

Dowód: Dla dowodu implikacji pierwszej wystarczy zauwa»y¢, »e · jest

funkcj¡, czyli mo»liwe jest mno»enie obu stron równo±ci przez c − 1 z lewej strony.

Wówczas kozystaj¡c z aksjomatów G1 i G2 stwierdzamy, »e a = b .

Równo±ci drugiej dowodzimy analogicznie.

Stwierdzenie 2.8. W grupie ( G, · ) dla dowolnycha,b 2 Grównania

1.ax = b

2.xa = b

o niewiadomejxmaj¡ po dokładnie jednym rozwi¡zaniu.

Dowód: Łatwo sprawdzi¢, »e element a − 1 b spełnia pierwsze równanie. Pon-

adto je»eli x spełnia to równan ie, to mno»¡c je stronami lewostronnie przez a − 1

otrzymujemy a − 1 ( ax ) = a − 1 b , sk¡d od razu wynika, »e x = a − 1 b .

Równanie drugie rozwi¡zujemy analogiczne.

Deﬁnicja 2.9. Niech ( G, · ) b¦dzie grup¡. Niepusty podzbiór K G nazywamy

podgrup¡ grupy G , gdy

(SG) 8 a,b 2 K ab − 1 2 K.

Piszemy wówczas K<G .

Je»eli ponadto spełniony jest warunek

(NSG) 8 k 2 K 8 a 2 G aka − 1 2 K,

to mówimy, »e K jest dzielnikiem normalnym grupy G i piszemy K

G .

Przykład 2.10. 1. Podgrupami dowolnej grupy G jest ona sama — G<G

jak i podzbiór jednoelementowy zło»ony tylko z elementu neutralnego:

{ e } <G .

2.Z < (Q , +) orazZ < (R , +)

3.Q \{ 0 } < (R \{ 0 } , · )

4. Ka»da pdogrupa grupy abelowej jest jej dzielnikiem normalnym.

Deﬁnicja 2.11. Niech ( G, · ) i ( H, ) b¦d¡ grupami. Funkcj¦ ' : G ! H nazy-

wamy homomorﬁzmem (grup), je»eli

(H) 8 a,b 2 G ' ( a · b ) = ' ( a ) ' ( b ) .

Homomorﬁzm ' : G ! H nazywamy:

monomorﬁzmem , gdy ' jest ró»nowarto±ciowe,

epimorﬁzmem , gdy ' jest przekształceniem ”na”,

izomorﬁzmem , gdy ' jest bijekcj¡,

automorﬁzmem , gdy ' jest bijekcj¡ oraz ( G, · ) = ( H, ).

Przykład 2.12. 1. Przekształcenie to»samo±ciwoe id G jest izomorﬁzmem.

2. Homorﬁzm zerowyG 3 g 7! e 2 H jest homomorﬁzmem.

3. Funkcja f :Z ! Zdana wzorem f ( n ) = 2 n jest monomorﬁzmem grupy

(Z , +) w siebie.

4. Funkcja f :R ! R + dana wzorem f ( x ) = 2 x jest epimorﬁzmem grupy

(R , +) na grup¦ (R + , · ).

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: