zadania6.pdf

Spistre±ci

1Algebra 3

1.1Liczbyzespolone ................................................. 3

1.2Liczbyzespolone-odpowiedzi .......................................... 5

1.3Macierze ...................................................... 8

1.4Macierze-odpowiedzi .............................................. 10

1.5Układyrówna« .................................................. 12

1.6Układyrówna«-odpowiedzi .......................................... 13

1.7Geometriaanalityczna .............................................. 15

1.7.1Wektory .................................................. 15

1.7.2Wektory-odpowiedzi .......................................... 17

2Funkcjejednejzmiennej 18

2.1Graniceci¡gów .................................................. 18

2.2Graniceci¡gów-odpowiedzi .......................................... 19

2.3Granicefunkcji .................................................. 20

2.4Granicefunkcji-odpowiedzi .......................................... 21

2.5Ci¡gło±¢funkcji .................................................. 22

2.6Pochodne ..................................................... 24

2.7Pochodne-odpowiedzi .............................................. 25

2.8ReguładeL’Hospitala .............................................. 27

2.9ReguładeL’Hospitala-odpowiedzi ...................................... 27

2.10Ró»niczkafunkcji ................................................. 27

2.11Ró»niczkafunkcji-odpowiedzi ......................................... 27

2.12Stycznainormalna ................................................ 27

2.13Stycznainormalna-odpowiedzi ........................................ 27

2.14Przebiegzmienno±cifunkcji ........................................... 28

2.15Przebiegzmienno±cifunkcji-odpowiedzi .................................... 29

2.16Całkinieoznaczone ................................................ 32

2.17Całkinieoznaczone-odpowiedzi ........................................ 34

2.18Całkioznaczone .................................................. 36

2.19Całkioznaczone-odpowiedzi .......................................... 38

3Funkcjewieluzmiennych 39

3.1Pochodnecz¡stkowe ............................................... 39

3.2Całkipodwójne .................................................. 41

3.3Całkipodwójne-odpowiedzi .......................................... 43

3.4Całkipotrójne .................................................. 44

3.5Gradient,rotacja,dywergencja ......................................... 45

3.6Całkikrzywoliniowe ............................................... 46

3.6.1Nieskierowana .............................................. 46

3.6.2Nieskierowana-odpowiedzi ....................................... 46

3.6.3Skierowana ................................................ 47

3.6.4Skierowana-odpowiedzi ......................................... 47

3.7Całkipowierzchniowe .............................................. 48

3.7.1Niezorientowana ............................................. 48

3.7.2Zorientowana ............................................... 48

ZachodniopomorskiUniwersytetTechnologiczny 1 CreatedbyLAT E X:25czerwca2009-14:28

SPISTRECI

4Równaniaró»niczkowe 49

4.1Równaniarz¦duI-go ............................................... 49

4.2Równaniarz¦duI-go-odpowiedzi ....................................... 52

4.3Równaniawy»szychrz¦dów ........................................... 54

4.4Równaniawy»szychrz¦dów-odpowiedzi .................................... 56

4.5Układyrówna«ró»niczkowych ......................................... 58

4.6Układyrówna«ró»niczkowych-odpowiedzi .................................. 58

5Szeregi 59

5.1Szeregiliczbowe .................................................. 59

5.2Szeregiliczbowe-odpowiedzi .......................................... 60

5.3Szeregifunkcyjne ................................................. 61

5.4Szeregifunkcyjne-odpowiedzi ......................................... 63

6Funkcjezespolone

ZachodniopomorskiUniwersytetTechnologiczny 2 CreatedbyLAT E X:25czerwca2009-14:28

Algebra

Liczbyzespolone

Zad1. Oblicz:

(a) i 2 ; (b) i 3 ; (c) i 4 ; (d) i 5 ; (e) i 22 ; (f) i 89 ; (g) i 2007 ; (h) i 1 ; (i) i 2 ; (j) i 3 ;

(k) i 4 ; (l) i 129 ; (m) i 75 ; (n) i 2008 ;

Zad2. Wykonajdziałania;wynikzapiszwpostacialgebraicznej:

(a) 2+ 1 4 i (5+i); (b)

1 2 +

p 2

2 i

1 2

2 i

; (c) 1 4 +i 2 ; (d)

1 2 +

2 i

; (e) 1 2 + 2 3 i 4 ; (f) 4+i

12i ;

2i5 ; (h) (3+2i) 2

4i3 ; (i) (5i)(3i)

(4+i)(i2) (j) (2+3i)(1+i)

(1i)(2+i) ;

Zad3. Znale¹¢x;y 2Rspełniaj¡cerównanie:

x2i =3i1; (c) (2+yi)(x3i)=7i;

(d) x(2+3i)+y(52i)=8+7i; (e) x

23i + y

3+2i =1; (f) x(43i) 2 +y(1+i) 2 =712i;

Zad4. Obliczpierwiastekkwadratowyzliczby:

(a) z=i; (b) z=8i; (c) z=1+i; (d) z=3+4i; (e) z=16+30i; (f) z= 1 2 +

p 3

2 i;

Zad5. Rozwi¡za¢wzbiorzeliczbzespolonychrównanie:

(a) z 2 z+1=0; (b) z 2 +4z+5=0; (c) (i3)z=5+iz; (d) 13i

3z+2i = 2i3

52iz ;

2z+1 ; (g) z 3 6iz 2 12z+8i=0; (h) z 4 +3z 2 4=0;

(i) 4z 3 4z 2 +z1=0; (j) z 4 +81=0; (k) z 6 1=0;

(l) z 4 (18+4i)z 2 +7736i=0; (m) z 4 10z 2 20z16=0; (n) z 3 4z 2 +6z4=0;

(o) z 5 3z 4 +2z 3 6z 2 +z3=0; (p) (3+i)z 2 +(1i)z6i=0;

(q) (1i)z 2 (62i)z+113i=0

z1+4i = 1i

Zad6. Rozwi¡za¢wzbiorzeliczbzespolonychrównanie:

(a) z 2 +3z=0; (b) 2z+(1+i)z=13i; (c) (z+2) 2 =(z+2) 2 ; (d) z+iz+i=0;

Zad7. Obliczy¢:

(a) j4+3ij; (b) j

32ij; (c) j14+ij; (d) j(2i+3)(1i)j; (e)

p 3

2 i

;

p 2

2 i

23i j; (g) arg(5+5i); (h) arg(3+3

3i); (i) arg(8

38i); (j) arg(25i)

1 2 p 3 2 i

; (l) arg p 3

2 1 2 i p 2 2

2 i ; (m) (2i1) 1 2

2 i ; (n) 1+3i;

(k) arg

p 2

p 3

2 i

(o) i1; (p) 1+i

32i

;

Zad8. Udowodni¢»edladowolnychz 1 ;z 2 2Czachodzi:

ZachodniopomorskiUniwersytetTechnologiczny 3 CreatedbyLAT E X:25czerwca2009-14:28

Ostatniamodyfikacjadziału:22czerwiec2009-21:56

p 2

p 3

(g) 2+i

(a) x(2+3i)+y(45i)=62i; (b) 1+yi

(e) z 2 4z+13=0; (f) 2+i

(f) j 1+i

ALGEBRA

LICZBYZESPOLONE

(a) jz 1 z 2 j=jz 1 jjz 2 j; (b)

z 1 z 2

= jz 1 j

jz 2 j ; (c) z 1 z 2 =z 1 z 2 ; (d) z 1 z 2

= z 1 z 2 ; (e) zz=jzj 2 ;

(f) arg(z)=2arg(z); (g) arg 1 z

=2arg(z); (h) jz 1 +z 2 j 2 +jz 1 z 2 j 2 =2 jz 1 j 2 +jz 2 j 2 ;

Zad9. Zapisa¢wpostacialgebraicznejliczby:

(a) 3(cos+isin); (b) 2 3 cos( 3 )+isin( 3 ) ; (c) 2 cos( 7 6 )+isin( 7 6 ) ; (d) cos( 3 4 )+isin( 3 4 );

(e) cos( 4 )+isin( 4 ); (f) cos(7 2 3 )+isin(7 2 3 ); (g) cos(3 5 6 )+isin(3 5 6 );

Zad10. Zapisa¢wpostacitrygonometrycznejliczby:

3; (d) 1 p 3 ; (e)

3i; (f) 1 2 +

p 3

(a) i; (b) 1i; (c) 1+i

2 i; (g) 9

39i;

(h) sin()+icos(); (i) cos()+isin(); (j) 1+itg();

Uwaga. Wostatnichpodpunktachprzyjmujemy 2(0; 2 ).

Zad11. Obliczy¢:

(a)

p 2 2 +i

p 2

; (b) (1+i) 4 ; (c) p

2 7 ; (d)

1+i p 3

; (e) (1+i) 9

(1i) 7 ; (f) (1i) 5 1

(1+i) 5 +1 ;

1+i p 3

1i p 3

2007

(g)

; (h)

; (i) (1+i p 3) 15

(1+i) 10 ; (j) (1i p 3) 6

(1+i p 3) 4 +(1+i)(3i); (k) (1i) 6

(1+i) 4 i 74 ;

Zad12. Obliczy¢:

(a) 3 p

i; (b) 6 p 1; (c) 5 p

(1+i) 4 i 74 . (j) 4 q p 3i 12 ;

1; (d) 3 p

27i; (e) 3 p (1+i) 3 ; (f) 3 p 8; (g) p 8i15; (h) 3 p 22i;

(i) 4 p z; gdzie z= (1i) 6 ( p 3+i)

Zad13. Znaj¡cjedenzpierwiastkówwyznaczy¢wszystkiepozostałepierwiastki:

(a) p 2i; z 1 =1+i; (b) 4 p 88i

3; z 1 = p

3+i; (c) 6 p 1; z 1 =i;

Zad14. Korzystaj¡czewzoruMoivre’awyrazi¢zapomoc¡sinxorazcosxfunkcje:

(a) sin(3x)orazcos(3x); (b) sin(4x)orazcos(4x); (c) sin(5x)orazcos(5x);

Zad15. Narysowa¢napłaszczy¹niezespolonejobszaryokre±lonewarunkami:

(a) jz1+ij=1; (b) 2< jz1j4; (c) jzj

z+2

> p 3; (h) 4

jz1j =2; (d) jzj <2^arg(z)2h0;i; (e) jzj 2 =2jzj;

(f) zz+z+z=0; (g)

2z1

2; (k) Re(z 2 )>Re( 1 z 2 );

jzj jzj^arg(z)2h 6 ; 3 i; (i) zi=z1;

(j) 1

Zad16. Zamieni¢posta¢wykładnicz¡naalgebraiczn¡:

(a) e i ; (b) e 1+ 2 i ; (c) e 2i ; (d) e i ; (e) e 2i ; (f) e 1 3 4 i (g) e 2+ 2 3 i (h) e 1 7 6 i

Zad17. Zamieni¢posta¢algebraiczn¡nawykładnicz¡:

(a) 1; (b) 1+i; (c) i; (d) 1 p 3i; (e) 2+7i; (f) 35i;

ZachodniopomorskiUniwersytetTechnologiczny 4 CreatedbyLAT E X:25czerwca2009-14:28

Ostatniamodyfikacjadziału:22czerwiec2009-21:56

ALGEBRA LICZBYZESPOLONE-ODPOWIEDZI

Liczbyzespolone-odpowiedzi

Zad1.

(a) 1; (b) i; (c) 1; (d) i; (e) 1; (f) i; (g) i; (h) i; (i) 1; (j) i; (k) 1; (l) i;

(m) i; (n) 1;

Zad2.

(a) 39 4 + 13 4 i; (b) 3 4 ; (c) i 2 15 16 ; (d) 1; (e) 7 27 i 527

1296 ; (f) 2 5 + 9 5 i; (g) 8 29 9 29 i;

(h) 33 25 56 25 i; (i) 142

85 + 44 85 i; (j) 4 5 + 7 5 i;

Zad3.

(a) [x=1;y=1]; (b) [x=5;y=17]; (c) brakrozwi¡za«wR; (d) [x=1;y=2]; (e) [x=2;y=3];

(f) [x=1;y=6];

Zad4.

h p 2 2 +

p 2

(a)

2 i;

2 i

; (b) [2+2i;22i]; (c) ; (d) ; (e) ; (f) ;

Zad5.

2 ; (b) z 1 =2i;z 2 =2+i; (c) z= 7 5 i 9 5 ; (d) z= 45 73 i 99 73 ;

(e) z 1 =23i;z 2 =3i+2; (f) z= 1 2 i+ 5 6 ; (g) z 1 =z 2 =z 3 =2i;

(h) z 1 =2i;z 2 =2i;z 3 =1;z 4 =1; (i) z 1 = i 2 ;z 2 = i 2 ;z=1;

(j) z 1 = 3 p 2

2 ;z 2 = 1 2 +

3i1

2 ; z 6 =1;

(l) z 1 =i4; z 2 =i+4; z 3 =i2; z 4 =2i; (m) z 1 =4; z 2 =2; z 3 =i1; z 4 =i1;

(n) z 1 =1i;z 2 =i+1;z 3 =2; (o) z 1 =3;z 2 =i;z 3 =i; (p) z 1 = 3 5 i 6 5 ; z 2 =i+1;

(q) ;

3i+1

2 ; z 2 =

2 i 3 p 2

2 ; z 2 = 3 p 2

2 i 3 p 2

2 ; z 3 = 3 p 2

2 3 p 2

2 i; z 4 = 3 p 2

2 i+ 3 p 2

2 ;

(k) z 1 =

3i1

2 ; z 3 =1; z 4 =

3i+1

2 ; z 5 =

Zad6.

(a) z 1 =3; z 2 =0; z 3 = 3 2 + 3 p 3

2 i; z 4 = 3 2 3 p 3

2 i; (b) z=25i; (c) z 1 =k; z 2 =2+ki k 2R;

(d) z=k; k 2R;

Zad7.

(a) 5; (b)

7; (c)

197; (d)

26; (e) 1; (f)

26; (g) 1 4 ; (h) 2 3 ; (i) 1 6 ;

(j) arctan 5 2 1:19; (k) arctan p

32 0:262; (l) arctan 2

3 2:88;

(m)

2 1 i+

p 3

3 1 2 ; (n) 13i; (o) i1; (p) 1 13 5 13 i;

Zad8.

(a) Niechz 1 =x 1 +iy 1 orazniechz 2 =x 2 +y 2 i.Wtedy

jz 1 z 2 j=j(x 1 +y 1 i)(x 2 +y 2 i)j=j(x 1 y 2 +x 2 y 1 )iy 1 y 2 +x 1 x 2 j

(x 1 x 2 y 1 y 2 ) 2 +(x 1 y 2 +x 2 y 1 ) 2 = p y 1 2 y 2 2 +x 1 2 y 2 2 +x 2 2 y 1 2 +x 1 2 x 2 2

= p y 1 2 +x 1 2 p y 2 2 +x 2 2

=jz 1 jjz 2 j:

Zad9.

(a) 3; (b) 4+4

3i; (c) p

3i; (d)

2 +

p 2

2 i; (e) 1 2

2 i; (f)

p 3

2 1 2 i;

ZachodniopomorskiUniwersytetTechnologiczny 5 CreatedbyLAT E X:25czerwca2009-14:28

Ostatniamodyfikacjadziału:22czerwiec2009-21:56

(a) z 1 = 1 2

p 2

p 3

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: