Metody doświadczalne wyznaczania masowych momentów bezwładności.docx

Laboratorium  Kinematyki i Dynamiki
Wydział Inżynierii Mechanicznej

Uniwersytet Technologiczno Przyrodniczy
Bydgoszcz

Ćwiczenie 5

Metody doświadczalne wyznaczania masowych momentów bezwładności

·       5.2.1. Metoda ruchu obrotowego

·       5.2.2. Metoda wahadła fizycznego

Zespół 2

Radosław Chyliński

Remigiusz Rybicki

Tomasz Wesołowski

Piotr Wiśniewski

1.    
Cel ćwiczenia.

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z metodami praktycznymi wyznaczania masowych momentów bezwładności metodą wahadła fizycznego i określaniem ruchu obrotowego dla brył, u których wyznaczanie analityczne byłoby zbyt skomplikowane, np. koło zębate itp.

2.     Opis metody ruchu obrotowego

Jedna z metod wyznaczania momentów polega na wykorzystaniu ruchu obrotowego. Zastosujemy dla bryły obrotowej (rys.1), której moment bezwładności I0 jest nieznany, odpowiednie równanie ruchu

ԐI0 = i=1nM0i

Rys. 1. Schemat ruchu obrotowego bryły

Przecinając myślowo nieważką i nierozciągliwą nić, na której zawieszono ciężar G, dostaniemy dwa ciała poruszające się ruchami elementarnymi. Badane ciało porusza się ruchem obrotowym – opisanym równaniem:

Ԑ ∙I0 = S∙ r-Mt

Gdzie:

Ԑ - przyspieszenie kątowe ruchu obrotowego

S – napięcie w linie

Mt – moment tarcia
 

Ciężarek porusza się ruchem postępowym:

p Gg = G – S

Gdzie:

              p  -  przyspieszenie ciężarka

Jeśli uwzględnimy, że

p = Ԑ ∙ r

oraz założymy, że ruch ciężarka jest jednostajny, to

h = pt22

a po podstawieniu poprzednich wzorów ostatecznie otrzymamy

I0 = 12h G1- G2- 1g (G1t12- G2t22)1t12- 1t22 r2

3.     Opis metody wahadła fizycznego

Badana bryła musi zostać zawieszona na poziomej osi, która nie przechodzi przez jej środek masy.

Rys. 2. Schemat wahadła fizycznego

Wychylamy  bryłę z położenia równowagi i pozostawiamy ją samą sobie. Równanie ruchu wahadła fizycznego będzie miało postać:

I0 ϕ+Q e sinϕ=0

Dla małych kątów dopuszczalne jest przybliżenie: sinφ = φ, po uwzględnieniu tej zależności otrzymamy:

ϕ+ ω2 ∙ ϕ=0

Gdzie:

ω= Q ∙eI0 - częstość kołowa ruchu drgającego

Korzystając z zależności:

T = 2 ∙πω

i dokonując prostych przekształceń otrzymamy:

I0 = T2 ∙Q ∙e4π2

4.     Algorytm obliczeń

Ad. 5.2.1.

Dla wyznaczenia masowego momentu bezwładności przyjmujemy błąd bezwzględny, który obliczany jest zależnością, oraz błąd względny, który spowodowany jest złym pomiarem wielkości h, t1 oraz t2.

·        Błąd bezwzględny:

∆I0=(a1∙∆h)2+(a2∙∆t1)2+(a3∙∆t2)2

gdzie              :

a1=δI0δh=-r2(G1-G2)2h2lt12-lt22

a2=δI0δt1= 2r2G1-G2∙(12h-1gt22)t13(lt12-lt22)2

a3=δI0δt2= 2r2G1-G2∙(-12h+1gt12)t23(lt12-lt22)2

TRZEBA JESZCZE POPODSTAWIAĆ I WYLICZYĆ, ALE TO W PUNKCIE 5 - OBLICZENIA

Ad. 5.2.2.
Masowy moment bezwładności bryły jest różnicą momentu bezwładności bryły z wahadłem i momentu bezładności wahadła:

Ib= Iwb - Iw

Ib – moment bezładności bryły,

Iwb – moment bezwładności bryły z wahadłem,

Iw – moment bezwładności wahadła.

·        Błąd bezwzględny:

∆I0= a1 ∙ ∆Q2+ a2 ∙ ∆l2+ a3 ∙ ∆Twb2+ a4 ∙ ∆Tw2

gdzie:

a1= δI0δP= 14π2 Twb2 – Tw2

a2= δI0δl= Q4π2 Twb2 – Tw2

a3= δI0δTwb= Twb∙Q∙l2π2

a4= δI0δTw= Tw∙Q∙l2π2

·        Błąd względny:

δI0=∆I0I0∙100%

5.     Obliczenia

5.2.1

              5.2.2

Po podstawieniu:

ΔQ = 0,1 N

Δl = 0,001 m

ΔTwb = 0,1 s

ΔTw = 0,1 s

Twśr = 1,289 s

Q = 2 N

e = 0,41 m

Dla krążka Twbśr = 1.312

Iwb=Twbśr2∙ Q ∙e4π2 = 1,3122∙2 ∙0,4139,4384=0,03579 kg∙m2

Iw=Twśr2∙ Q ∙e4π2 = 1,2892∙2 ∙0,4139,4384=0,03454 kg∙m2

Ib= Iwb - Iw=0,03579-0,03454=0,00125 kg∙m2

...