interp.pdf

Interpolacja - wstƒp

Niech dana bƒdzie funkcja Ã ( x ; a 0 ;a 1 ;:::;a n )zmiennej x , zale»na od pa-

rametr ó w a 0 ;a 1 ;:::;a n . Zadanie interpolacji polega na dobraniu parametr ó w

a i tak, aby dla n +1danych par( x i ;f i )( i =0 ; 1 ;:::;n )liczb rzeczywistych

lub zespolonych( x i 6 = x k dla i6 = k )zachodzi“o

Ã ( x i ; a 0 ;a 1 ;:::;a n )= f i ( i =0 ; 1 ;:::;n ) :

Pary( x i ;f i )bƒdziemy nazywali punktami wƒz“owymi .

Interpolacja liniowa : gdy Ã zale»y liniowo od parametr ó w a i

Ã ( x ; a 0 ;a 1 ;:::;a n )= a 0 Ã 0 ( x )+ a 1 Ã 1 ( x )+ ::: + a n Ã n ( x ) :

Nale»¡ tu:

² interpolacja wielomianowa

Ã ( x ; a 0 ;a 1 ;:::;a n )= a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ::: + a n x n ;

² interpolacja trygonometryczna

Ã ( x ; a 0 ;a 1 ;:::;a n )= a 0 + a 1 e xi + a 2 e 2 xi + ::: + a n e nxi ( i 2 = ¡ 1)

² interpolacja funkcjami sklejanymi (spline), w kt ó rej w przypadku inter-

polacji za pomoc¡ funkcji stopnia trzeciego s¡ wykorzystywane funkcje

Ã , kt ó re

a) maj¡ ci¡g“¡ pochodn¡ rzƒdu drugiego dla x2 [ x 0 ;x n ],

b) w ka»dym podprzedziale[ x i ;x i +1 ]s¡ wielomianem stopnia trze-

ciego.

Interpolacja nieliniowa :

² interpolacja funkcjami wymiernymi

Ã ( x ; a 0 ;a 1 ;:::;a n ;b 0 ;b 1 ;:::;b m )= a 0 + a 1 x + ::: + a n x n

b 0 + b 1 x + ::: + b m x m

² interpolacja wielomianami wyk“adniczymi

Ã ( x ; a 0 ;a 1 ;:::;a n ;¸ 0 ;¸ 1 ;:::;¸ n )= a 0 e ¸ 0 x + a 1 e ¸ 1 x + ::: + a n e ¸ n x