36. Wyznaczanie momentu bezwładności bryły z wykorzystaniem maszyny Atwooda.pdf

Ć w i c z e n i e 36

WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI BRYŁY

Z WYKORZYSTANIEM MASZYNY ATWOODA

36.1. Wstęp teoretyczny

Maszyna Atwooda służy do doświadczalnego sprawdzania praw kinematyki i dynamiki. W naj-

prostszym wykonaniu składa się ona z bloczka K (rys.36.1) umieszczonego w górne części piono-

wego pręta ze skalą S. Przez bloczek przechodzi cienka i mocna nić z zawieszonymi na końcach

masami M. Dodatkowe obciążenie jednego z końców nici jest realizowane za pomocą jednakowych

blaszek o masie m każda w ilości k. Właśnie ich ciężar jest przyczyną wprowadzającą układ ciężar-

ki-nić-bloczek w ruch jednostajnie przyśpieszony.

W maszynie Atwooda mamy do czynienia z dwoma rodzajami ruchu jednostajnie przyśpieszonego:

prostoliniowym ciężarków i obrotowym bloczka.

• W ruchu prostoliniowym bezwładność ciała charakteryzowana jest przez jego masę m.

Znajduje to odzwierciedlenie w drugiej zasadzie dynamiki dla tego ruchu, zgodnie z którą siła

F nadaje ciału ruch o przyśpieszeniu a wprost proporcjonalnym do tej siły i odwrotnie pro-

porcjonalnym do masy ciała:

a =

• W ruchu obrotowym bezwładność ciała charakteryzowana jest przez jego moment bezwład-

ności J względem osi obrotu. Znajduje to odzwierciedlenie w drugiej zasadzie dynamiki dla

tego ruchu, zgodnie z którą moment siły N nadaje ciału ruch o przyśpieszeniu kątowym ε

wprost proporcjonalnym do momentu siły i odwrotnie proporcjonalnym do momentu bez-

władności:

ε= N

Zdefiniujmy moment bezwładności bryły sztywnej. Załóżmy, że bryła obraca się wokół osi l ze sta-

łą prędkością kątową i że składa się z n mas punktowych ω i (rys. 36.2). Każda z tych mas posia-

da prędkość liniową v i zależną od jej odległości od osi obrotu r i : v i

= ω oraz energię kinetyczną:

Energia kinetyczna całej bryły jest sumą energii kinetycznych poszczególnych mas punktowych:

∑

(36.1)

Porównajmy ten wzór z wyrażeniem na energię kinetyczną w ruchu postępowym:

kp = 1

r i

Wiemy, że odpowiednikiem prędkości liniowej v jest prędkość kątowa ω , a masy m - moment

bezwładności J.

Wzór na energię kinetyczną w ruchu obrotowym powinien mieć postać :

kO = 1

(36.2)

Z porównania wzorów (36.1) (36.2) wynika definicyjna zależność na moment bezwładności bryły

sztywnej:

i r

(36.3)

Rys. 36.1. Maszyna Atwooda.

i 1

i - 1

- 1

Rys. 36.2. Bryła sztywna w ruchu obrotowym wokół osi L. Należy zauważyć, że

m i

∑ 1

Widać, że zależy on od wyboru osi obrotu oraz od sposobu rozłożenia masy ciała względem niej

(czyli od kształtu ciała).

Wychodząc z definicji (36.3) można teoretycznie obliczyć momenty bezwładności dla wielu regu-

larnych brył , uzależniając je od całkowitej masy m i od ich rozmiarów geometrycznych. Na przy-

kład:

dla walca J

= 1

2 R

gdzie R - promień walca

dla kuli

= 2

gdzie R - promień kuli

dla pierścienia (

mRR

2 ) gdzie R 1 , R 2 - promienie zewnętrzny i wewnętrzny

A n a l i z a r u c h u m a s z y n y A t w o o d a

Na ciężarek A działają siły: ciężkości Mg i naprężenia nici T 1 (rys. 36.3). Pod wpływem wypadko-

wej tych sił ciężarek porusza się do góry z przyśpieszeniem a. Zgodnie z II prawem Newtona dla

ruchu postępowego możemy napisać:

( )

TMg M

1 − = a

(36.4)

Podobnie ciężarek B będzie poruszał się (ale do dołu) pod wpływem wypadkowej siły ciężkości

równej Mg + kmg i siły naprężenia nici T 2 . Analogicznie zgodnie z II prawem Newtona dla ruchu

postępowego możemy napisać:

( ) ( )

MkmgT Mkm

+ − = +

(36.5)

Przyśpieszenia obu ciężarków są jednakowe i wynoszą a, mają jednak inne zwroty, co już uwzględ-

niono w powyższych równaniach.

Siły naprężenia nici T 1 i T 2 działają prostopadle do promienia r bloczka. Wytwarzają więc wypad-

kowy moment siły równy ( )

r , który bę

( )

TTr J

1 − = ε

(36.6)

Ze względu na zależność a = ε r otrzymujemy ( )

TTr J a

1 − = i stąd po przekształceniu:

( )

−=

(36.7)

Wyliczając T 1 i T 2 ze wzorów (36.4), (36.5) i wstawiając do powyższej zależności otrzymujemy

wyrażenie na przyśpieszenie w ruchu ciężarków w maszynie Atwooda :

kmg

(36.8)

+ +

Mkm

− dzie obracał krążek z przyśpieszeniem kątowym ε .

Zgodnie z II prawem Newtona dla ruchu obrotowego możemy napisać:

〈〈 przyśpieszenie a jest znacznie mniejsze od przy-

śpieszenia ziemskiego g. Fakt ten pozwala na łatwiejszy pomiar przyspieszenia układu przy stosun-

kowo niewielkiej wysokości przyrządu Atwooda, w odróżnieniu od pomiaru przyspieszenia przy

spadku swobodnym.

Otrzymanie dokładnych wyników jest uzależnione od możliwie mało obarczonych błędami pomia-

rów czasu. Do pomiarów czasu przy obserwacjach dokonywanych na maszynie Atwooda służą

szybkie chronometry lub elektroniczne mierniki czasu.

T 1

T 2

T 1

T 2

M g kmg

Rys. 36.3. Siły działające na ciężarki i bloczek w maszynie Atwooda.

W ćwiczeniu dokonuje się pomiaru przyśpieszenia a, co pozwala na wyznaczenie momentu bez-

władności bloczka K:

kmg

− −

Ma kma

(36.9)

Przyśpieszenie a wyznaczamy mierząc czas t , w którym ciężarki pokonują stałą drogę S. Ponieważ

ciężarki rozpoczynają ruch bez prędkości początkowej, przyśpieszenie a wyznaczamy z zależności

= 2

Umieszczając na osi bloczka dodatkowe ciało (w ćwiczeniu metalowy pierścień), korzystając z wy-

prowadzonych zależności, można wyznaczyć moment bezwładności J C , będący sumą momentu

bezwładności bloczka J U , i dołożonego ciała J b . Szukany moment bezwładności jest więc równy

różnicy:

= −

(36.10)

Z analizy tego wzoru wynika, że dla km M

36.2. Opis układu pomiarowego

Do sterowania maszyną Atwooda służy elektroniczny blok zasilająco-pomiarowy „Polydigit 1”.

Sprzężony on jest z elektromagnesem wyzwalającym ruch ciężarków oraz z dwoma fotokomórka-

mi. Dzięki temu pomiar czasu spadku ciężarków na określonej drodze odbywa się elektronicznie.

Blok „Polydigit 1” jest wyposażony w sześć dwupozycyjnych przycisków. W ćwiczeniu używane

są tylko cztery z nich (numeracja od lewej do prawej):

1) Włącznik bloku.

2) Czerwony, opisany „Null” - służy do zerowania zegara.

3) Opisany „1000Hz” - określa dokładność zegara - podczas wykonania pomiarów musi być

stale wciśnięty.

4) Opisany „Messen” - służy do sterowania elektromagnesem. W górnej pozycji elektroma-

gnes jest włączony, a w dolnej wyłączony.

Ciężarki A i B mają jednakową masę M. Na ciężarek B mogą być nakładane blaszki o znanej ma-

sie m o. Przed każdym pomiarem ciężarek A utrzymywany jest przez elektromagnes (przycisk 6 nie

jest wciśnięty). Wciśnięcie przycisku 6 powoduje wyłączenie prądu płynącego przez elektromagnes

i rozpoczęcie ruchu ciężarków, jeżeli na ciężarek B nałożona jest co najmniej jedna blaszka. Przy-

cisk 6 włącza jednocześnie zegar elektroniczny, który mierzy czas pomiędzy wyłączeniem prądu

elektromagnesu a przecięciem przez ciężarek B światła padającego na fotokomórkę. Drogę ruchu

ciężarków zmieniamy poprzez położenie fotokomórki.

Do osi bloczka można przymocować metalowy pierścień, którego moment bezwładności należy

wyznaczyć.

Parametry układu:

Parametry pierścienia:

=±

98 1

p = ±

=±

2001 1

100 0 5

164 0 5

507 1

15 3 0 1

36.3. Przebieg pomiarów

1. Zaznajomić się z działaniem układu pomiarowego.

2. Włączyć „Polydigit 1” przez wciśnięcie przycisku (1), przycisku 1000 Hz i przycisku „Sieć” w

zasilaczu (6V, 50 Hz) żarówek fotokomórek. Obciążyć ciężarek B czterema blaszkami.

3. Ciężarek A opuścić do zetknięcia się z elektromagnesem.

4. Opuścić fotokomórkę (kręcąc korbą) na odległość S (90 cm). Zmierzyć tę odległość 10 razy.

Określić błąd pomiaru.

5. Przyciskiem „Messen” wyłączyć elektromagnes; jednocześnie włącza się pomiar czasu. W mo-

mencie przecięcia światła padającego na fotokomórkę przez ciężarek B pomiar czasu jest za-

trzymany i czas t przebycia drogi S jest wyświetlany na przyrządzie „Polydigit 1”. Czas ten za-

notować.

6. Pomiary punktów 3-5 wykonać piętnastokrotnie.

U w a g a : Przesuwając ciężarek B do góry należy ominąć nim fotokomórkę !

7. Założyć na oś bloczka metalowy pierścień i powtórzyć pomiary wg punktów 3-6.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: