pceleks3.doc

POLE MAGNETYCZNE

Równania p. magnetycznego wyprowadza się z dwóch następujących praw

a) Amper’a - dotyczy siły wzajemnego oddziaływania liniowego elementu prądu: i badanego p. o indukcji magnetycznej

.              Wymiarem B jest Tesla  

W przypadku gdy nie można pominąć wymiarów poprzecznych przewodnika z prądem wówczas należy wprowadzić objętość elementarną prądu

, dl - elementarna długość przewodnika ( zwrot dl jest zgodny ze zwrotem prądu), dG - element objętości przewodnika

PRAWO BIOTA-SAVARTA

Elementarny wektor indukcji w pewnym punkcie przestrzeni wywołany elementem prądu wynosi: , r-odległość od elementu prądu do punktu, w którym wyznaczamy indukcję magnetyczną,  - wektor jednostkowy skierowany wzdłuż odcinka wyrażającego tą odległość, - natężenie pola magnetycznego, -przenikalność magn. próżni. W ośrodkach nie ferromagnetycznych linie natężenia pola magnetycznego pokrywają się z liniami indukcji magnetycznej. Całkowite wartości indukcji magn. w danym punkcje wyraża się następująco: ( Dla obwodu, w którym przekrój poprzeczny przewodnika można pominąć).

Gdy nie można pominąć wymiarów poprzecznych to: .

, A- punkt leżący w obszarze zajętym przez obwód, M- punkt w którym wyznaczamy potencjał. Powyższe wzory można przekształcić korzystając z tożsamości:

Operatory rot, grad są tutaj symbolami różniczkowania względem współrzędnych punktu obserwacji .Wartość elementu nie zależy od tego punktu (jest on określony w punkcie więc: ,   po scałkowaniu . Ponieważ rotacja dotyczy różniczkowania wzgl. punktu obserwacji M (x,y,z) a całkowanie odbywa się po zamkniętym obwodzie prądu niezależnym od tego punktu, więc symbol rotacji można wyciągnąć przed znak całki. Otrzymujemy wówczas: -potencjał wektorowy wytworzony przez zamknięty obwód l przewodzący prąd I. Jeżeli nie można pominąć wymiarów poprzecznych to : . Składowe wektora A mają więc postać:

Zatem przez analogię z elektrostatyki dla potencjału V , składowe te spełniają równania Poissona:

lub w postaci wektorowej . Wyznaczmy divergencję wektora A. Niech operatory dotyczą odpowiednio punktu M(x,y,z) oraz .     bo   

,    ,  . Do pierwszej całki stosujemy twierdzenie Gaussa

. W przypadku prądów stałych:   zatem - dla pola prądów stałych.

Stan quasi ustalony występuje wtedy , gdy rozmiary rozpatrywanego obwodu są znacznie mniejsze od  długości fali. (jest to sformułowane dla zjawisk periodycznych)

Stan quasi ustalony (quasi stacjonarny) występuje wtedy, gdy mamy do czynienia ze stanami powolnie zmiennymi w czasie.

W stanie quasi ustalonym też przyjmuje się , że . Potencjał wektorowy prądów stałych płynących w ograniczonym obszarze maleje dla jak , a pole magnetyczne jak .

PODSTAWOWE RÓWNANIA POLA MAGNETYCZNEGO

Divergencja wektora indukcji magnetycznej.

Ponieważ więc  czyli indukcja magnetyczna jest wektorem solenoidalnym.

Rotacja pola magnetycznego.

   ,  -dla stanów quasi stacjonarnych. Dzieląc przez otrzymamy -równanie Ampera. Stosując tw. Gaussa-Ostrograckiego do wzoru otrzymujemy -Strumień wektora indukcji magnetycznej przez dowolną powierzchnię zamkniętą równa się zero.Stosując twierdzenie Stokes’a do wzoru otrzymujemy: -prawo przepływu. Słownie: Całka liniowa pola magnetycznego wzdłuż konturu zamkniętego równa się prądowi przepływającemu przez ten kontur.

Warunki brzegowe dla pola magnetycznego.

- wektor jednostkowy prostopadły do płaszczyzny rysunku. Przypuśćmy, że na powierzchni S rozgraniczającej środowiska 1 i 2 płynie prąd powierzchniowy o gęstości powierzchniowej , która jest równa natężeniowi prądu podzielonego przez długość przekroju poprzecznego. Korzystając z prawa przepływu: gdzie l jest konturem składającym się ze wszystkich boków prostokąta . Stwierdzamy że Przyjmijmy oznaczenie

Ponieważ równość ta jest słuszna dla dowolnego wektora stycznego do powierzchni S, więc można go opuścić, czyli . Mnożenie wektorowe obu stron przez daje:

, czyli . Gdzie są składowymi stycznymi wektora H. Widzimy więc , że składowa styczna wektora natężenia pola magnetycznego jest nieciągła, gdy występują prądy powierzchniowe. Korzystając ze wzoru można udowodnić , że :

czyli .

ZJAWISKA INDUKCJI

Zgodnie z prawem Ampera siła z jaką pole magnetyczne oddziaływuje na element przewodnika z prądem wynosi: . Dla ładunków swobodnych o gęstości objętościowej : , -prędkość ładunków. Zatem pole działa na ładunek q z siłą : .

Niech będzie dany przewodnik o dowolnej postaci, poruszający się w stałym polu magnetycznym. Na ładunki swobodne znajdujące się wewnątrz przewodnika działa w/w siła , której wartość EKIN na jednostkę ładunku nosi nazwę pola elektromagnetycznego, które panuje w przewodniku.

Przypuśćmy że tym przewodnikiem jest kontur c poruszający się z prędkością .

c -kontur po czasie dt,  -powierzchnia walcowa zakreślona w czasie dt przez kontur.

Po czasie dt strumień wektora indukcji magnetycznej przechodzący przez dowolną powierzchnię s rozpiętą na konturze zmienia się o

Jeśli w obwodzie c płynie prąd I to praca wykonana przez siły pola magnetycznego przy przesunięciu tego obwodu wynosi:

Zależność tą wykorzystamy rozważając energię pola magnetycznego

Ponieważ gdyż  więc:

   ,    -nosi nazwę siły elektromotorycznej indukowanej w obwodzie .

Zmiana strumienia w czasie powoduje przepływ prądów indukowanych w konturze. Są to prądy płynące w przewodniku pod działaniem pola ESTAT+EKIN. Wyprowadzenie przeprowadzono dla powolnych przesunięć przewodnika gdyż w przeciwnym wypadku należałoby uwzględnić pole magnetyczne prądów indukowanych i pole elektromagnetyczne wytworzone przez ładunki statyczne w poruszającym się przewodniku.

Ładunek w przewodniku porusza się w kierunku pola zatem gęstość prądu jest proporcjonalna do pola.

-uogólnione prawo Ohma. Rozważyliśmy prądy indukowane w przewodniku poruszającym się w stałym polu magnetycznym. Prądy indukcji powstaną również w nieruchomym obwodzie umieszczonym w zmiennym polu magnetycznym. W nieruchomym obwodzie EKIN nie istnieje. Aby wyjaśnić powstanie prądów indukowanych wprowadza się elektryczne pole  indukcji EIND związane ze zmiennością pola magnetycznego . Wobec tego całkowite pole elektryczne w nieruchomym przewodniku znajdującym się w zmiennym polu magnetycznym wynosi:

Zależności wyprowadzone dla pola w przewodniku poruszającym się w stałym polu magnetycznym są również słuszne i w tym przypadku tzn. że -prawo Ohma.

Siła elektromagnetyczna indukcji . Ponieważ więc na podstawie ostatniej zależności i twierdzenia Stokes’a

. Związek ten zachodzi dla każdego konturu c więc . Przyjmujemy . Zatem całkowite pole elektryczne wynosi: . W przypadku obwodu poruszającego się w zmiennym polu występują równocześnie pole elektryczne indukcji EIND i pole elektromotoryczne EKIN. Wówczas :    - prawo Ohma. Siła elektromotoryczna indukcji : - prawo indukcji przy czym -jest pełną pochodną strumienia wektora B uwzględniającą zarówno przesuwanie się obwodu jak i zmiany pola. Korzystając z tw. Stokes’a otrzymujemy . Ponieważ zachodzi na dowolnej powierzchni S więc

- równanie Faradaya.

Zależności między potencjałami pola

Uprzednio otrzymaliśmy następujący wzór dla divA

Wiemy że zachodzą następujące zależności:    - gęstość powierzchniowa ładunku, J-gęstość objętościowa ładunku. Podstawiając je do poprzedniego wzoru stwierdzamy że:

. Wyrażenie w nawiasie jest potencjałem skalarnym, zatem .Powyższa zależność jest uogólnieniem wzoru divA=0 słusznego w przypadku stanów ustalonych.

WSPÓŁCZYNNIK INDUKCJI WZAJEMNEJ

Rozpatrzmy dwa obwody linearne C1 i C2. Jeśli w C1 płynie prąd zmienny I1 to w C2 powstaje siła elektromotoryczna indukcji . -strumień pochodzący od i-tego obwodu i przenikający k-ty obwód (strumień wytworzony przez i-ty obwód i sprzężony z k-tym obwodem).

M-współczynnik indukcji wzajemnej (indukcyjność wzajemna). Ponieważ więc na podstawie tw Stokes’a

gdzie B1-to indukcja magnetyczna wywołana przez prąd I1 a s2 dowolna powierzchnia rozpięta na konturze C2. Zatem -wzór na indukcyjność wzajemną obwodów linearnych.

Symetria tego wyrażenia wskazuje że . Siła SEM indukowana w C2 przez zmienność I1 . SEM indukowana w C1 przez zmienność I2 .

Czasami nie można zaniedbać przekroju poprzecznego przewodu, wówczas korzystamy z podstawień dzięki którym i dlatego też

SAMOINDUKCJA

Pole magnetyczne wytworzone przez prąd płynący w obwodzie wywołuje strumień przechodzący przez ten obwód. Przyjmując że obwód jest linearny, z obliczeń otrzymujemy iż przenika przez niego nieskończony strumień, co nie ma sensu fizycznego. Idealizacja obwodu w kierunku linearyzacji prowadzi do nieskończonej gęstości prądu . Takie uproszczenie jest słuszne jedynie przy obliczaniu pola w punktach dużo odległych od obwodu. Zatem przy obliczaniu współczynnika L samoindukcji obwodu ( indukcyjności własnej) należy uwzględnić jego wymiary poprzeczne. L oblicza się podobnie jak indukcyjność wzajemną.

Po obszarze G przewodnia całkujemy dwukrotnie. L zależy od rozkładu gęstości prądu w obwodzie. Gdy prąd I zmienia się powstaje siła elektromotoryczna samoindukcji . Rozpatrzmy teraz układ obwodów Ci , i=1,2...n przez które płyną prądy zmienne Ii. Siła elektromotoryczna w każdym z obwodów wyraża się wzorem

ENERGIA POLA MAGNETYCZNEGO

Podstawiając we wzorze na pracę elementarną  - otrzymujemy znaną zależność na energię pola magnetycznego cewki . Biorąc następnie wzór na indukcyjność własną cewki stwierdzamy że (1) . Widzimy więc że w celu obliczenia energii pola magnetycznego wytworzonego przez prądy płynące w pewnym układzie obwodu należy obliczyć całkę z iloczynu skalarnego gęstości prądu i potencjału wektorowego po obszarze zajętym przez te obwody. Wzór na energię można zapisać też w innej postaci. W tym celu zauważamy że :

Wobec tego na post. tw. Gaussa-Ostrograckiego:

Jeśli teraz przyjmiemy że G jest kulą o odpowiednio dużym promieniu R to całka po sferze s będzie dążyć do zera gdyż dla R dążcego do nieskończoności A maleje nie wolniej niż 1/R a H niż 1/R2. Ponieważ s=4pr2 więc całka po sferze maleje nie wolniej niż 1/R. Dlatego też oznaczając całą przestrzeń przez G0 otrzymujemy:. Wzór ten pozwala rozpatrywać energię magnetyczną jako zlokalizowaną w polu przy czym gęstość objętościowa w’ tej energii wynosi: . Wzory (2) i (3) stanowią postać lokalną energii magnetycznej.