kog_pau.pdf

Paula Bucholc

Kompetencja logiczna a poprawność logiczna.

Analiza na przykładzie terminów pustych

1. Wstęp

Podstawowym zagadnieniem poruszanym w tym artykule jest zależność po

między kompetencją logiczną , w którą wyposażony jest człowiek 1 , a popraw

nością logiczną . W ostatnich latach coraz częściej zauważa się, że mechanizm

kompetencji nie działa zgodnie z warunkami poprawności logicznej. Przykła

dem może być tu książka (Devlin, 1997). Analizie pojęć kompetencji logicznej

i poprawności logicznej oraz istniejących pomiędzy nimi zależności poświęcona

jest pierwsza część artykułu, zatytułowana Poprawność logiczna a kompetencja

logiczna . Stawiamy w niej następującą hipotezę:

H IPOTEZA 1. Kompetencja logiczna składa się z dwóch, być może różnych

mechanizmów: mechanizmu rozpoznawania poprawności wnioskowań i me

chanizmu generowania wniosków.

Nie próbowaliśmy wnikać w strukturę funkcjonowania tych mechani

zmów. Rozróżnienie to wydaje się jednak istotne przy szacowaniu popraw

ności logicznej naszej kompetencji.

Przykładem, w oparciu o który analizujemy różnice pomiędzy kompe

tencją logiczną a poprawnością logiczną, jest problem terminów pustych . Przy

ograniczeniu jedynie do terminów niepustych niezawodne stają się pewne

wnioskowania, które nie są poprawne w ogólnym przypadku. Niestety nie

zawsze możemy wiedzieć, czy dany termin jest pusty czy nie. Dyskusja tego

problemu oraz przedstawienie problemu terminów pustych w sylogistyce

Arystotelesa składają się na drugą część: Terminy puste i sylogistyka .

W trzeciej części, zatytułowanej Terminy konkretne i abstrakcyjne opisujemy

doświadczenie ( test Wasona ) świadczące o różnicy w rezultatach rozumowań

w zależności od tego, czy terminy w nich używane opisują świat, który uzna

jemy za znany (terminy konkretne), czy też odnoszą się do rzeczywistości od

nas odległej (terminy abstrakcyjne).

1 Kompetencją logiczną nazywamy ludzką zdolność do posługiwania się logiką. Termin ten

został ukuty przez analogię do kompetencji językowej. Patrz: (Macnamara, 1986) oraz infra ,

rozdział 2.

Kompetencja logiczna a poprawność logiczna

Naszym punktem wyjścia była analiza badań przeprowadzonych przez

psychologów poznawczych 2 : Philipa N. Johnsona–Lairda i Bruna G. Barę

(1983). Zainteresował nas szczególnie wynik, na którego istotność autorzy

ci nie zwrócili uwagi. Mianowicie, wszyscy uczestnicy eksperymentu zacho

wali się zgodnie z warunkami poprawności logicznej i nie generowali eg

zystencjalnego wniosku z dwóch ogólnych przesłanek. Zauważmy, że wnio

skowanie takie byłoby niepoprawne bez dodatkowego założenia niepusto

ści terminów w przesłankach (część piąta: Badania Philipa N. JohnsonaLairda

i Bruna G. Bary ). Na podstawie tej obserwacji postawiliśmy hipotezę, że w tym

przypadku istnieje zgodność pomiędzy kompetencją logiczną a poprawno

ścią logiczną:

H IPOTEZA 2. W rozumowaniach sylogistycznych, w których dla poprawności

konieczne jest założenie niepustości terminów w przesłankach w przypadku

generowania wniosków, istnieje zgodność pomiędzy kompetencją logiczną

a poprawnością logiczną.

Chcieliśmy zbadać, czy postawienie ludzi przed zadaniem rozpoznawania

wnioskowań tego typu przyniesie podobny rezultat. Okazało się jednak, że

uczestnicy naszego eksperymentu uznawali takie wnioskowania za popraw

ne. Można z tego wywnioskować, iż w przypadku zadania polegającego na

rozpoznawaniu poprawności wnioskowań sylogistycznych, istnieje rozbież

ność pomiędzy kompetencją logiczną a poprawnością logiczną. Obserwacja

ta stanowiła podstawę do sformułowania kolejnej hipotezy:

H IPOTEZA 3. Kompetencja logiczna jest w różnym stopniu zbieżna z warunka

mi poprawności logicznej. Zbieżność owa zależy od tego, czy zadanie polega

na rozpoznawaniu poprawności wnioskowań czy na generowaniu wniosku.

Słuszność tej hipotezy potwierdziły kolejne badania. Opis obydwu eks

perymentów, analiza wyników oraz wnioski znajdują się w części szóstej:

Badania testujące role terminów pustych w rozumowaniach człowieka .

Podziękowania Niniejsza praca jest rezultatem studiów pod opieką nauko

wą prof. dr hab. Marcina Mostowskiego z Instytutu Filozoﬁi Uniwersytetu War

szawskiego, któremu chciałabym bardzo serdecznie podziękować za długie

dyskusje, doskonałe pomysły, niezliczone uwagi oraz surowe krytyki. Chcia

łabym także podziękować Pani prof. dr hab. Marii Lewickiej z Wydziału Psy

chologii Uniwersytetu Warszawskiego za pomoc w przygotowaniu badań

i analizie danych.

Wdzięczna jestem również moim kolegom z Zakładu Logiki IF UW za po

moc przy przeprowadzaniu eksperymentu, uczestnikom Warsztatów Logicz

nych w Słupsku (2000) i w Lutowiskach (2001) za dyskusje i zainteresowanie

oraz wszystkim, którzy czytali kolejne wersje tej pracy.

2 Zamiennie można używać określenia psychologowie kognitywni . Nazwa kognitywistyka uży

wana jest w szerszym znaczeniu dla określenia nauki zajmującej się badaniem procesów po

znawczych, także z punktu widzenia biologii, informatyki, lingwistyki czy ﬁlozoﬁi.

Paula Bucholc

2. Poprawność logiczna i kompetencja logiczna

W pierwszym rozdziale niniejszej pracy najpierw przeprowadzimy analizę

pojęć poprawność logiczna oraz kompetencja logiczna , następnie zaś spróbujemy

określić wzajemne zależności pomiędzy nimi.

Zacznijmy od przypomnienia pewnej zabawnej i dobrze znanej w świe

cie logików przypowiastki autorstwa Lewisa Carrolla, zatytułowanej What

the Tortoise Said to Achilles (Carroll, 1895). Carroll odwołuje się do paradok

su starożytnego ﬁlozofa, Zenona z Elei, który to dowodził, iż w wyścigu

Achilles nigdy nie dogoni Żółwia, jeżeli Żółw wystartuje choćby odrobinę

wcześniej od Bohatera. Carroll opisał rozmowę pomiędzy Achillesem i Żół

wiem dotyczącą wnioskowań, które jesteśmy skłonni uznać za oczywiste.

Sytuacja przedstawia się w następujący sposób: bez oporu zgodzimy się, że

z prawdziwych przesłanek:

(A) Rzeczy, które są równe tej samej rzeczy, są równe sobie nawzajem.

(B) Dwa boki pewnego Trójkąta są równe tej samej rzeczy.

możemy wyciągnąć prawdziwy wniosek, że

(Z) Dwa boki tego Trójkąta są sobie równe.

Dla Żółwia nie jest jednak to oczywiste. Dlaczego miałby uznawać właśnie

takie wnioskowanie za poprawne? Wymaga się od niego zaakceptowania

zdania warunkowego

To jednak wciąż nie wystarcza do przyjęcia (Z) jako poprawnego wniosku,

ponieważ znowu najpierw musimy uznać w poprzednim kroku zdanie wa

runkowe:

(D) Jeśli A i B i C są prawdziwe, to Z musi być prawdziwe.

I tak, jak łatwo się domyślić, musielibyśmy postępować w nieskończoność.

Szczęśliwie, na co dzień nie mamy takich „żółwich problemów”. Bez

oporu godzimy się na przyjęcie (Z) już na podstawie dwóch pierwszych

przesłanek. Co więcej, nie wymaga to żadnego specjalnego logicznego tre

ningu. Fakt ten świadczy o tym, że nasz umysł wyposażony jest w swoisty

mechanizm kompetencji logicznej , który pozwala nam uznawać pewne wnio

skowania, przeprowadzane na co dzień, za poprawne, oraz odrzucać inne,

jako wnioskowania niepoprawne. Tę zdolność nazywać będziemy rozpozna

waniem poprawności wnioskowań . Potraﬁmy również sami, ze względnie dużą

swobodą, generować wnioski w oparciu o zadane przesłanki .

Nasuwa się jednak pytanie: w jakim stopniu nasze poczucie oczywistości

jest zgodne z tym, co rzeczywiście jest poprawne na gruncie logiki 3 . Zanim

zajmiemy się analizą wzajemnej zależności pomiędzy kompetencją a popraw

nością logiczną, przyjrzymy się każdemu z tych pojęć osobno.

3 Chcemy podkreślić różnicę pomiędzy „oczywistością” a „poprawnością”. Oczywistość jest

pewnym kryterium psychologicznym poprawności logicznej .

Kompetencja logiczna a poprawność logiczna

2.1. Poprawność logiczna

Interesuje nas przede wszystkim ocena wnioskowań, to znaczy – chcemy

wyróżnić pewną klasę wnioskowań, które nazwiemy poprawnymi . Wniosko

wanie polega na przechodzeniu od przesłanek (skończonego zbioru zdań)

do wniosku (pewnego zdania). Wnioskowanie można zdeﬁniować formalnie

w następujący sposób:

D EFINICJA 1. Niech dany będzie ustalony język oraz zbiór zdań Z tego ję

zyka. Wnioskowaniem nazywamy taką parę, że pierwszym elementem pary

jest skończony zbiór zdań, nazywanych przesłankami tego wnioskowania;

drugi element pary stanowi zdanie zwane wnioskiem. Zbiór wnioskowań

W rozważanego języka określimy więc następująco:

W = { ( A,' ): ' ∈ Z,A ⊆ Z,A – skończony zbiór } .

Zbiór poprawnych wnioskowań wyróżnia się semantycznie. Załóżmy, że da

ne jest pojęcie modelu oraz relacji pomiędzy modelami a zdaniami rozwa

żanego języka zwanej relacją prawdziwości w modelu i oznaczanej | = 4 .

D EFINICJA 2. Niech para składająca się z przesłanek ' 1 ,...,' n oraz wniosku

będzie wnioskowaniem. Powiemy, że wnioskowanie to jest semantycznie

poprawne (co zapisujemy: ' 1 ,...,' n | = ) wtedy i tylko wtedy, gdy dla

dowolnego modelu M , w którym wszystkie przesłanki są prawdziwe (czyli

M | = ' 1 oraz ... oraz M | = ' n ), również wniosek jest prawdziwy (więc

M | = ).Równoważne jest to stwierdzeniu, że nie ma takiej interpretacji,

przy której wszystkie przesłanki byłyby prawdziwe, wniosek zaś fałszywy.

Zilustrujemy nasze rozważania posługując się przykładem rachunku zdań.

Naszymi przesłankami i wnioskami będą w tym przypadku formuły ra

chunku zdań. Ustalamy słownik rachunku zdań: formuły budowane będą

ze zmiennych zdaniowych (zwanych też formułami atomowymi) oraz spój

ników: ⇒ i ¬ , przy użyciu nawiasów. Zbiór wnioskowań budujemy zgodnie

z regułami podanymi wyżej. Model ustala wartości logiczne (wartościowa

nie 5 ) dla zmiennych zdaniowych. Możemy go zdeﬁniować wskazując zbiór

formuł atomowych, które są w nim prawdziwe. Tak więc przyjmiemy, że

naszymi modelami są dowolne zbiory formuł atomowych. Relację prawdzi

wości w modelu określimy przy pomocy następującego warunku dla formuł

atomowych:

— jeśli ' jest formułą atomową, wówczas M| = ' wtedy i tylko wtedy, gdy

' ∈M .

Przyjmujemy również następujące warunki indukcyjne:

— M| = ¬ ' wtedy i tylko wtedy, gdy M ' ,

4 Modele są to ścisłe matematyczne odpowiedniki pojęcia możliwych interpretacji wyrażeń

pozalogicznych.

Wartościowaniem nazywamy funkcję, która przyporządkowuje zmiennym wartości logi

czne.

Paula Bucholc

— M| = ' ⇒ wtedy i tylko wtedy, gdy M ' lub M| = .

Zauważmy, że wnioskowanie z przesłankami ' 1 ,...,' n oraz wnioskiem

jest poprawne wtedy i tylko wtedy, gdy formuła

( ' 1 ⇒ ( ' 2 ⇒ ( ... ( ' n ⇒ ) ... ))

jest tautologią rachunku zdań 6 .

Zwróćmy uwagę, że z punktu widzenia naszej zdolności do przepro

wadzania poprawnych wnioskowań i oceniania ich poprawności, kluczowa

jest kwestia złożoności algorytmicznej problemu poprawności wnioskowań

naszego języka. Złożoność algorytmiczna wnioskowań przeprowadzanych

przez człowieka jest prawdopodobnie większa niż złożoność rozpoznawania

gramatyczności czy generowania poprawnych zdań języka naturalnego. Pro

blemy, z którymi umysł ludzki może sobie poradzić, to prawdopodobnie te

problemy, które należą do klasy PTIME 7 .

Wiadomo, że problem wynikania dla logiki pierwszego rzędu jest proble

mem nierozstrzygalnym (twierdzenie Churcha 8 ). Oznacza to, że przy pew

nych naturalnych założeniach nasz umysł nie może być zdolny do rozpo

znawania poprawności wszelkich wnioskowań w języku pierwszego rzędu.

Wiadomo także, iż w przypadku rachunku zdań czy logiki pierwszego rzędu

w języku jedynie z predykatami jednoargumentowymi oraz identycznością,

problem poprawności wnioskowań jest rozstrzygalny (Mostowski, 1994). Roz

strzygalny jest także rachunek sylogistyczny (można go zinterpretować jako

fragment logiki pierwszego rzędu w słowniku jedynie z predykatami jedno

argumentowymi).

2.2. Kompetencja logiczna

Drugim kluczowym pojęciem, któremu poświęcimy teraz naszą uwagę, jest

pojęcie kompetencji logicznej . Kompetencją logiczną, na wzór kompetencji ję

zykowej opisywanej przez Chomsky’ego, psycholodzy kognitywni nazywają

mechanizm, który pozwala człowiekowi na rozpoznawanie pewnych wnio

skowań jako wnioskowań poprawnych, a także na generowanie poprawnych

wniosków z zastanych przesłanek.

Noam Chomsky w swoich pracach zaproponował model funkcjonowania

języka, w którym istotną rolę odgrywa hipotetyczny mechanizm zwany kom

petencją językową. Koncepcja ta pozwala na wyjaśnienie, dlaczego człowiek

potraﬁ rozpoznawać jako poprawne zdania, z którymi nigdy wcześniej się

nie zetknął – a także je generować. Jak szacuje Keith Devlin, „przeciętna

osoba anglojęzyczna 9

może wygenerować 10 23 różnych zdań zbudowanych

6 Tautologią nazywamy formułę, która jest prawdziwa w każdym modelu.

7 Szerszą dyskusję na temat złożoności obliczeniowej w kontekście ograniczeń umysłu ludz

kiego można znaleźć w (Mostowski Wojtyniak).

8 Jedna z wersji tego twierdzenia wraz z dowodem w (Davis Weyuker, 1983, str. 283–287).

9 Wydaje się, że podobnie użytkownik jakiegokolwiek innego języka, np. polskiego.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: