charakterystyki_1.pdf

(988 KB) Pobierz
Microsoft Word - ch-tyki.doc
Element inercyjny I rzędu:
()
⋅ + = ⋅
dy t
y t K u t
() ()
dt
(dla ZWP zerowych warunków początkowych) : T s 1 Y s K U s
−
( ) ( ) ( )
⋅ + ⋅ = ⋅
czyli:
()
()
Gs
()
= =
Ys
K
Us 1 sT
K
+
gt
()
=
L
−
1
⎧ ⎫ ⎧
⋅ = ⋅
1
L
−
1
K
1 T
⋅ =
1
⎫
K
exp
⎛ ⎞
− ⋅
t
1
()
t
⎩ ⎭ ⎩
1sT
+
T1sT
+
⎭
T
⎝ ⎠
T
ht
()
=
L
−
1
⎧
K1
⋅ = ⋅
⎫
L
−
1
⎧
K
1TT
+− ⎧
⎫
= ⋅ −
L
−
1
K
⎡
1 T
⎤
⎫ ⎡
= ⋅ − − ⋅
K 1 exp
⎛ ⎞
t
⎤
1
()
t
⎨
⎬ ⎨
⎬ ⎨
⎬
⎜ ⎟
⎢
⎥
⎢
⎥
⎩
1 sT s
+
⎭
⎪
s 1 sT
( )
+
⎪ ⎩
⎣
s 1 sT
+
⎦
⎭ ⎣
⎝ ⎠
T
⎦
⎩
⎭
( )
Gj Gs
() ()
ω=
= =
K
K1 jT
⋅−ω
⇒
sj
=ω
1jT 1 T
+ω +ω
⋅ω
22
⇒ω=
P
()
Q
1T
K
()
ω− ⇒
K T
+ω
22
1T
+ω
22
⇒ ⎨
⎪
P0 K Q0 0
P
() ()
() ()
=
=
⎩
∞= ∞=
Q0
oraz
⎛
KT
⋅ω
⎞
2
ω + −
22
T11
K
K
2
()
Q
2
ω=
⎜
⎟
= ⋅
K
2
= ⋅ − =
K
⎝
1T
+ω
22
⎠
( )
22
2
1T1T
+ω +ω
22
22
1T
+ω
=⋅ ω− ω
KP
() ()
P
2
stąd:
KK
⎛⎞
2
⎛⎞ ⎡
K
2
K
⎤
2
⎛ ⎞
K
2
P
2
() ()
ω− ⋅ ω⋅ + + ω= ⇒ ω−
2 P
⎜⎟
Q
2
()
⎜⎟
P
()
+ω ⎜⎟
Q
2
()
⎢
⎦
22
⎝⎠
⎝⎠ ⎣
2
2
⎝ ⎠
2
A
()
ω= = =
K
K
K
⇒ ⎨
⎪
A0 K
()
()
=
1jT 1jT
+ω +ω
( )
1T
+ω
22
⎪
A0
∞=
⎛ ⎞
Q
()
()
ω
⎧ϕ =
()
00
ϕω=
()
arctg
⎜ ⎟
= −ω = ω
arctg
( ) ( )
T arctg T
⇒
⎨
π
⎜ ⎟
P
ω
IVćwiartka
ϕ∞=−
()
⎝ ⎠
⎩
2
Element całkujący (idealny):
t
dy t
()
yt K u d
() ()
=⋅ ττ⇒ =⋅
∫
Kut
()
dt
(dla ZWP zerowych warunków początkowych) : s Y s K U s
0
−
⋅ = ⋅
() ()
czyli:
T
⎨ ⎬ ⎨
⎬
⎜ ⎟
⎪
⎪
⎩
⎪
147417498.005.png 147417498.006.png
 
Gs
()
= =
Ys K
()
()
Us s
K
gt
()
= ⋅ = ⋅
L
−
1
⎧ ⎫
1 K t
1
() ()
ht
= ⋅ = ⋅ ⋅
L
−
1
⎧ ⎫
K 1
Kt t
1
()
⎩⎭
s
⎩ ⎭
s s
KK K
K
Gj Gs
() ()
= =− = − ⇒ ω= ω=−
ω ω ω
j 0 j
P
() ()
0 Q
sj
=ω
j
ω
A
ω= = = ϕω=
K
K
K
()
arctg
⎛ ⎞
Q
()
()
ω
= −∞=−
arctg
( )
π
⎜ ⎟
j
ωωω
j
P
ω
2
⎝ ⎠
L
ω=⋅ ω=⋅ =⋅ −⋅ ω
20 lg A
⎡ ⎤
20 lg
⎡ ⎤
K
20 lg K 20 lg
() ()
⎢⎥
⎣⎦
Element całkujący (rzeczywisty):
()
dy t
t
d y t dy t
2
( ) ( )
T
⋅ + = ⋅ τ τ ⇒⋅ + = ⋅
y t K u d
() ()
∫
T
K u t
()
dt
dt
2
dt
0
( ) () ()
(dla ZWP zerowych warunków początkowych) : T s s Y s K U s
−
⋅ + ⋅ = ⋅
2
czyli:
()
() ( )
Gs
()
= =
Ys
K
Us s1 sT
+
gt
()
=
L
−
1
⎧
K
⋅ =
1
⎫ ⎧
L
−
1
K K sT K sT
+⋅ −⋅
⎫ ⎧
=
L
−
1
K1sT KsT
⋅+ −⋅
( )
( )
⎫
=
( )
( )
s1 sT
+
s1 sT
+
s1 sT
+
⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪
= − = − ⋅ − ⋅ = ⋅ − − ⋅
L
−
1
⎧
KKT
⋅ ⎛
⎫
⎜
K K exp
⎛ ⎞
t
⎞
1
()
t K 1 exp
⎛
⎛ ⎞
t
⎞
1
()
t
⎩
s1sT
+
⎭
⎝ ⎠
T
⎝ ⎠
T
⎝
⎠
⎝
⎠
ht
()
=
L
−
1
⎧
K1
⋅ =
⎫ ⎧
L
−
1
KKsTKsT
+⋅ −⋅
⎫ ⎧
=
L
−
1
K1sT KsT
⋅+ −⋅
( )
( )
⎫
=
s1 sT s
( )
+
s 1 sT
2
( )
+
s 1 sT
2
+
⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪
= − ⋅
L
−
1
⎧
K
T
K
⎫
= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − − ⋅ =
K t t T K 1 exp
1
()
⎛
⎛ ⎞
t
⎞
1
()
t
⎪
s
2
s 1 sT
( )
+
⎪
⎝
⎝ ⎠
T
⎠
⎩
⎭
=⋅ − +⋅ − ⋅
Kt TTp
⎡
( )
⎛ ⎞
t
⎤
1
()
t
⎢
⎥
⎣
⎝ ⎠
T
⎦
ht
() ( ) ( )
t
→∞
=⋅ −⋅
K t T t
1
⎨⎬
⎨ ⎬
ω=
()
⎜ ⎟
() ()
⎣ ⎦
⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪
⎨
⎬ ⎨
⎬ ⎨
⎬
⎩
⎭ ⎩
⎭ ⎩
⎭
⎨
⎬
⎜ ⎟
⎟
⎜
⎜ ⎟
⎟
⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪
⎨
⎬ ⎨
⎬ ⎨
⎬
⎩
⎭ ⎩
⎭ ⎩
⎭
⎪
⎪
⎨
⎬
⎜
⎜ ⎟
⎟
⎜ ⎟
147417498.007.png
 
Gj Gs
() ()
ω=
=
K
=−
j
K1 jT
( )
( )
=−
K T j
( )
( )
⇒
( )
sj
=ω
j1jT
ω+ω ω+ω ω+ω
1T
22
1T
22
⇒ω −
P
()
Q
1T
KT
⋅
()
ω −
K
⇒
( )
+ω
22
ω+ω
1T
22
⇒ ⎨
P0 KT Q0
P
()
=− ⋅
()
() ()
=−∞
⎩
∞= ∞=
Q0
A
()
K
=
K
=
K
⇒ ⎨
⎪
A0
()
()
=∞
j 1 jT j 1 jT
ω+ω ω+ω
( )
( )
A0
∞=
ω+ω ⎩
1T
22
⎪
⎛ ⎞
Q
()
()
ω
− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1
1
⇒ ⎨
⎪ ϕ ∞=−π
⎧ ϕ =−
()
0
π
ϕω=
()
arctg
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
=
arctg
=
arctg
2
⎜ ⎟
P
ω
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
−ω
T
ω
T
⎝ ⎠
()
IIćwiartka
⎩
⎡
K
⎤
() () ( ( )
⎢
⎥
L
() ()
ω=⋅ ω=⋅
20 lg A
⎡ ⎣ ⎦
20 lg
=⋅ −⋅ ω−⋅ +ω =
20 lg K 20 lg
20 lg 1
22
⎢
( )
⎥
ω+ω
1T
22
⎣
⎦
= ⎨
⎧
20 lg K 20 lg
⋅ − ⋅ ωω⇔ω⇔ω
() ()
1
1
T 1
( )
T
2
T
⎛ ⎞
K
1
⎪ ⋅ − ⋅ ω ω ⇔ω ⇔ω
20 lg
⎜⎟
40 lg
()
1
T 1
( )
T
2
⎪ ⎝⎠
T
T
⎩
T y t K
dt dt
(dla ZWP zerowych warunków początkowych): Ts 1 Ys KsUs
⋅ + = ⋅
dy t
()
du t
()
−
( ) ( ) ( )
⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅
czyli:
Gs
()
= =
Ys Ks
()
()
⋅
Us 1 sT
+
gt
()
=
L
−
1
⎧ ⎫ ⎧
Ks
⋅
⋅ = ⋅
1
L
−
1
K
1sT 1 1
+ −
⎫ ⎧
= −
L
−
1
K K T
⎫
=
⎩ ⎭ ⎩
1sT
+
T1sT
+
⎭ ⎩
T T1sT
2
+
⎭
=⋅δ− ⋅ − ⋅
K
()
K
exp
⎜ ⎝ ⎠
t
1
()
t
T
T
2
T
ht
()
=
L
−
1
⎧
Ks 1
⋅
⋅ = ⋅
⎫ ⎧
L
−
1
K
1 T
⎫
= ⋅ − ⋅
K
exp
⎛ ⎞
t
1
()
⎩
1sTs
+
⎭ ⎩
T1sT T
+
⎭
⎝ ⎠
T
⋅−ω ⋅ω+
ω=
I
T
Element różniczkujący (rzeczywisty):
()
⎨ ⎬ ⎨
⎬ ⎨
⎬
t
⎛ ⎞
t
⎨
⎬ ⎨
⎬
⎜ ⎟
147417498.001.png
Gj Gs
() ()
ω=
= =
Kj
⋅ω
Kj 1j T K Tj
ω⋅ − ω ω⋅ ω +
( ) ( )
=
⇒
sj
=ω
1jT
+ ω
1 T
+ω
22
1 T
+ω
22
KT
⋅ω
2
K
⋅ω
()
()
⇒ω=
P
Q
1T
ω= ⇒
+ω
22
1T
+ω
22
⎧ =
P0 0 Q0 0
K
() ()
=
⇒ ⎨
() ()
⎩
P
∞= ∞=
Q
0
T
oraz
⎛
K
⋅ω
⎞
2
K
2
⋅ω + ⋅ω − ⋅ω
2
K
2
4 2
T K
2
4 2
T
K1
2
⋅ω +ω − ⋅ω
2
( )
( )
2 2
TKT
2
4 2
()
Q
2
ω=
=
=
=
⎜
⎟
⎝
1T
+ω
22
⎠
( )
2
2
1T
+ω
22
1T
+ω
22
1K T
⋅ω
2
⎛
KT K P
⋅ω
2
⎞
2
() ()
=⋅
K
−
⎜
⎟
=⋅ ω− ω
P
2
T1
+ω
22
T
1T T
+ω
22
⎝
⎠
stąd:
KK
⎛ ⎞
2
⎛ ⎞
K
2
⎡
K
⎤
2
⎛ ⎞
K
2
P
2
() ()
ω− ⋅ ω⋅ + + ω=
2 P
⎜ ⎟
Q
2
()
⎜ ⎟
⇒ ω− + ω=
P
()
Q
2
()
⎜ ⎟
⎢
⎥
2T
⎝ ⎠
2T
⎝ ⎠
2T
⎣
2T
⎦
⎝ ⎠
2T
A
()
ω= = =
Kj
⋅ω
Kj
⋅ω
K
⋅ω
⇒ ⎨
⎧
A0 0
()
()
=
1jT 1jT
+ω +ω
( )
1T
+ω
22
⎪
A0
∞=
⎛ ⎞
Q
()
()
ω
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1
1
⎧ ϕ=
()
0
π
ϕω=
()
arctg
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
=
arctg
=
arctg
⇒ ⎨
⎪ ϕ∞=
2
0
⎜ ⎟
P
ω
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ω
T
ω
T
⎝ ⎠
()
Ićwi
artka
⎩
⎡
K
⋅ω
⎤
() () ( )
( )
⎢
⎥
L
() ()
ω= ⋅ ω = ⋅
20lg A
⎡ ⎤
20lg
= ⋅ + ⋅ ω− ⋅ +ω =
20lgK 20lg
20lg 1 T
22
⎢
( )
⎥
1T
+ω
22
⎣
⎦
⎪
20 lg K 20 lg
⋅ + ⋅ ωω⇔ω⇔ω
() ()
1
1
T 1
( )
T
2
T
= ⎨
⎛⎞
K
1
⎪
20 lg
⋅
⎜⎟
ω ⇔ ω ⇔ ω
1
T 1
( )
T
2
⎪
⎝⎠
T
T
⎩
⎪
⎪
⎩
⎪
⎣ ⎦
⎧
147417498.002.png 147417498.003.png
Element oscylacyjny
Oscylacje powstają w takich elementach czy układach, w których zachodzi przemiana jednego
rodzaju energii w drugi. Jeżeli w układzie występuje zjawisko rozpraszania energii (straty) to
oscylacje mają charakter tłumiony. W przypadku idealnej przemiany (bez strat) występuje
zjawisko drgań nietłumionych, a przy dodatkowym dopływie energii - narastanie drgań.
W elementach ciągłych, liniowych, stacjonarnych matematycznym warunkiem powstania drgań
jest istnienie w równaniu charakterystycznym co najmniej jednej pary pierwiastków
zespolonych. Musi więc to być równanie minimum drugiego rzędu, o postaci
d
2
y(t)
d y(t)
T
0
+ 2
ξ
T
+ y(t) = k u(t)
dt
2
0
dt
gdzie: T 0 - stała czasowa,
ξ - współczynnik tłumienia,
k - współczynnik wzmocnienia.
Dla zerowych warunków początkowych można wyznaczyć
G(s) =
k
s T
2 0
+ s 2 + 1
ξ
T
0
Dla wyznaczenia odpowiedzi jednostkowej konieczna jest znajomość biegunów powyższej
transmitancji. Ich postać zależy jednak od wartości wyróżnika Δ dla równania charakte-
rystycznego
Δξ
= (2
) TTT
2
- 4 = 4 ( - 1)
2
2
ξ
2
0
0
0
Dlatego też dalsze rozważania prowadzone będą dla dwóch różnych przypadków.
PRZYPADEK 1 - wyróżnik mniejszy od zera.
Z postaci wyróżnika wynika, że Δ<0 dla ⏐ξ⏐<1, przy czym przedział ten dzielony jest na trzy
obszary
obszar I - dla 0 < ξ < 1
obszar II - dla ξ = 0
obszar III - dla –1 < ξ < 0.
Niezależnie od obszaru, dla uproszczenia zapisuje się równanie charakterystyczne w postaci
s
2 2
T
0
+ s 2 + 1 = (s - )(s - )
ξ
T
0
T
2
s
1
s
2
gdzie
s
1
= -
( )
ξ±
ξ
2
- 1 = - ( j )
δ±
ω
1,2
T
0
0
ξ δ ω
1 -
ξ
2
= =
T
0
T
0
0
Można teraz wyznaczyć
0
147417498.004.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin