NKCJE UWIKŁANE.doc

NKCJE UWIKŁANE

           Niech F : Rn × Rn → Rk

           Pytamy kiedy równanie F(x,y) = 0 przedstawia funkcję uwikłaną  y = y(x).
          
             
             

TWIERDZENIE 14.1    (O FUNKCJI UWIKŁANEJ)

Z:        Niech

F : Rn × Rn → Rk

                oraz F(xo,yo) = 0 i dyF(xo,yo) jest izomorfizmem

T:        1.   g : U → V

                                   2.  

                                                                       3.  

WNIOSEK 14.1

Z:        są spełnione założenia tw.14.1

T:             1.   

                                                           2.  

                                                                       3.

II. EKSTREMA WARUNKOWE

PRZYKŁAD 14.1

Zbadać ekstrema funkcji:   z = 4 - x2.- y2      

Przy warunku:   x + y = 1       

Zbadać ekstrema warunkowe to znaczy znaleźć ekstrema danej funkcji w dziedzinie zacieśnionej przez zadany  warunek.

wstawiam do funkcji z:                    

obliczam pochodną funkcji z:         

przyrównuję pochodną do zera:    

więc:              
 

Z warunku mamy                           
 

PRZYKŁAD 14.2

                     przy warunku:     

Gdy z warunku wyliczymy:              

Z układu tych równań wyliczamy

otrzymaliśmy 2 punkty:

druga pochodna jest równa:

Funkcja z osiąga minimum lokalne w punktach P1 i P2

Ale gdy z warunku wyliczymy:        

otrzymujemy:

pochodna jest równa:

otrzymaliśmy 2 punkty:

ponieważ:     

Więc funkcja z osiąga maksimum lokalne w punktach:

III. METODA MNOŻNIKÓW LAGRANGE’A

          Założenie:

             ...