Ian Stewart(Kocia kolyska i ryba na talerzu).pdf

REKREACJE MATEMATYCZNE

Ian Stewart

Kocia ko¸yska i ryba na talerzu

od nieciekawej pierwotnej p«tli do bar-

dziej wyszukanych kszta¸tw. Jednym

z pierwszych sukcesw w badaniu

w«z¸w i im podobnych by¸a teoria

warkoczy stworzona przez Emila Arti-

na. Warkoczem nazywamy system

sznurkw (lub krzywych), ktre po-

cztkowo biegn rwnolegle jeden do

drugiego. Mog one owija si« wok¸

siebie nawzajem, tak jak sploty w¸osw.

Artin rozwin¸ algebr« warkoczy, kt-

ra odrýnia topologicznie nierwno-

waýne warkocze. Jeæli dwa warkocze

maj t« sam formu¸« algebraiczn, to

s rwnowaýne; jeæli formu¸y s rýne,

to s one nierwnowaýne. Pomys¸y

Artina do pewnego stopnia zainspiro-

wa¸y Jonesa.

Pod wieloma wzgl«dami figury ko-

ciej ko¸yski s podobne do warkoczy.

Zamiast dwch koÄcw warkocza ma-

my zbir palcw, wok¸ ktrych sznu-

rek jest owini«ty. Jednakýe w kociej ko-

¸ysce s dopuszczalne chwyty stosowa-

ne przez Artina; na przyk¸ad moýna

owin kilka sznurkw wok¸ jednego

palca. To jeden z powodw, dla ktrych

algebra warkoczy nie nadaje si« do opi-

su figur kociej ko¸yski. Innym powo-

dem Ð by moýe mniej waýnym, niý si«

to na pierwszy rzut oka wydaje Ð jest

to, ýe wszystkie figury kociej ko¸yski s

topologicznie rwnowaýne ze zwyk¸

nie zaw«lon p«tl.

Podejrzewam, ýe moglibyæmy obejæ

tem problem, rozwaýajc nie sznurek,

lecz sposb, w jaki owija si« on wok¸

palcw. Jeszcze inn komplikacj« do-

strzegam w standardowej wersji dzie-

ci«cej zabawy: druga osoba, si«gajc do

ærodka zaplatanki, wydobywa j i zmie-

nia kszta¸t figury, przenoszc sznurek

z rk pierwszej osoby na w¸asne r«ce.

Do zrobienia kociej ko¸yski potrzebne

s dwie osoby, kawa¸ek g¸adkiego,

mi«kkiego sznurka d¸ugoæci oko¸o 1 m,

ktry po zwizaniu koÄcw tworzy za-

i tym po-

dobne spra-

wy fascynowa¸y ludzi

od tysicleci. Ale do-

piero w latach dwu-

dziestych naszego wie-

ku matematycy za-

cz«li si« przegryza

przez problemy cha-

rakteryzacji w«z¸w,

rozrýnia te obiekty

i rozumie, co powo-

duje, ýe w«z¸y s za-

w«lone, a sploty sple-

cione. I tak powsta¸a

topologia, mocne na-

rz«dzie wsp¸czesnej

matematyki.

W ostatnim dzie-

si«cioleciu byliæmy

æwiadkami gwa¸tow-

nego rozwoju teorii

w«z¸w. Przede wszy-

stkim Vaughan Jones

wymyæli¸ to, co dziæ

nazywa si« wielomia-

nem Jonesa Ð formu¸«

algebraiczn zwiza-

n z w«z¸em [patrz:

Vaugham F. R. Jones,

ãKnot Theory and Sta-

tistical MechanicsÓ;

Scientific American , li-

stopad 1990]. Jeæli dwa

w«z¸y maj rýne wie-

lomiany Jonesa, to s

topologicznie rýne,

co oznacza, ýe nie

moýna ich przekszta¸-

ci w sposb cig¸y je-

den na drugi.* Takie

ãniezmienniki w«z¸wÓ

znano wczeæniej, ale wie-

lomian Jonesa jest pierw-

szym z nowej generacji

superniezmiennikw, o

wiele skuteczniejszym niý

poprzednie.

Nawet jednak wielomian Jo-

nesa nie moýe wyjaæni wszyst-

kiego, co chcielibyæmy wiedzie

o w«z¸ach i splotach. Obiekty

te prowokuj do pewnych py-

taÄ, ktre wcale nie naleý do domeny

topologii Ð i w¸aænie te zagadnienia

chcia¸bym tym razem

omwi. W REKREA-

CJACH MATEMATY-

CZNYCH mam zwy-

czaj stawia wyzwa-

nia, ale tym razem pj-

d« jeszcze dalej i za-

czn« od zabawy, kt-

ra ogl«dnie mwic,

naleýy do pogranicza

matematyki. To do-

brze znana dzieci«-

ca gra zwana koci

ko¸ysk.

Stwierdzi¸em, ýe

ãdobrze znanaÓ, cho

wielu ludzi nie zdaje

sobie sprawy, jak bo-

gata jest ta gra. Pe¸ny

cig kociej ko¸yski

sk¸ada si« z oæmiu rý-

nych figur, ale te sa-

me regu¸y pozwalaj

skonstruowa z jednej

prostej p«tli na sznur-

ku rozpi«tym pomi«-

dzy palcami dwch

rk wiele rýnych

uk¸adw. Gra ta ilu-

struje, jak wielkie bo-

gactwo geometrycz-

nych w¸asnoæci, ta-

kich jak kszta¸t czy

liczba w«z¸w, po-

mija topologia p«tli.

Istnieje potrzeba

stworzenia dobrego

rachunku dla kociej

ko¸yski Ð algebry,

ktra opisze, jak

rýne standardo-

we chwyty umoý-

liwiaj przejæcie

kocia ko¸yska

ýo¸nierskie ¸ýko

æwiece

koryto

diamenty

kocie oko

OSIEM FIGUR tworzy kompletny cig kociej ko¸yski.

W grze bior udzia¸ dwie osoby, Angela (jaæniejszy)

i Bill (ciemniejszy) , ktre przenosz na przemian

zap«tlony sznurek ze swoich d¸oni. Instrukcje tworzenia

tych uk¸adw s podane w tekæcie.

zegar

ryba

na p¸misku

84 å WIAT N AUKI Luty 1998

W «z¸y, sploty

mkni«t p«tl«. Za¸ýmy, ýe Angela i Bill

na przemian zdejmuj sobie p«tl« z rk.

Najpierw Angela robi ko¸ysk« [ ilustra-

cja na ssiedniej stronie ]. Podstawowy

ruch w tym cigu stosowany prawie

przy kaýdym kroku w¸aænie na poczt-

ku pojawia si« po raz pierwszy. Przyj-

mijmy, ýe Bill znajduje si« po prawej

stronie Angeli. Patrzc w d¸ na figur«,

widzi dwa przeci«cia. Podnosi je w g-

r«, po jednym w kaýdej r«ce i oddala od

siebie. Nast«pnie odciga sznurki na bo-

ki figury ponad zewn«trznymi kraw«-

dziami, kieruje si« w d¸ i od wewntrz

z powrotem ku grze poprzez woln

przestrzeÄ poærodku.

W chwili gdy Bill, odsuwajc r«ce, od-

stawia kciuk od palca wskazujcego,

Angela zsuwa p«tle ze swoich palcw.

Teraz na r«kach Billa mamy now figu-

r« zwan ýo¸nierskim ¸ýkiem. Jeæli An-

gela powtrzy dok¸adnie ruchy swego

towarzysza, zaczynajc od drugiej figu-

ry, to otrzyma ona trzeci kszta¸t, zwany

æwiecami.

Przejæcie od æwiec do czwartej figury

wymaga innego dzia¸ania. Najpierw Bill

ma¸ymi palcami odsuwa na bok jeden,

a nast«pnie drugi wewn«trzny sznurek

(po przeciwnych stronach), po czym

umieszcza kciuk i palec wskazujcy

w ærodku figury od do¸u ruchem po-

dobnym do podstawowego, ale nie

chwyta ýadnych skrzyýowanych sznur-

kw. W koÄcu Bill prostuje kciuk i palec

wskazujcy oraz, zaginajc ma¸e palce,

zamocowuje wok¸ nich p«tle. Wyni-

kiem jest tzw. koryto. Teraz ma¸a uwa-

ga matematyczna: koryto to kocia ko¸y-

ska odwrcona ãdo gry nogamiÓ.

Jeæli poczynajc od koryta, ponownie

powtrzymy podstawowy ruch, tyle ýe

do gry nogami (chwytajc skrzyýowa-

nia od do¸u, a nie od gry), to otrzyma-

my odwrcone ýo¸nierskie ¸ýko. Tra-

dycyjnie ten pity kszta¸t nazywamy

diamentami. Jeszcze jedno powtrzenie

postawowego ruchu, teraz w normal-

nym uk¸adzie od gry, daje kocie oko.

Podnoszc troch« inaczej i odcigajc

r«ce do ty¸u bez nawrotu w d¸ do ærod-

ka, otrzymujemy ryb« na p¸misku.

Ostateczny kszta¸t troch« trudniej

osign. Ma¸ymi palcami Bill odciga

od siebie ærodkowe sznurki, a nast«p-

nie podnosi przeci«cia jak zwykle. Te-

raz kieruje kciuki i palce wskazujce do

wewntrz od gry, tak by otrzyma

smy kszta¸t zwany zegarem. Nie mam

zielonego poj«cia, dlaczego ta zaplatan-

ka nosi tak w¸aænie nazw«. By moýe

wie to ktryæ z czytelnikw?

Jeæli b«dziemy wykonywa inne

chwyty, to moýemy zmieni porzdek

cigu Ð na przyk¸ad przechodzc bez-

poærednio od ko¸yski do æwiec czy teý

od ýo¸nierskiego ¸ýka do kocich oczu.

Wyczerpujce obliczenia dla kociej ko-

¸yski powinny obejmowa wszystkie ta-

kie wariacje. Teoria musi opisywa rze-

czywiste formy sznurkowych figur, a nie

tylko ich topologi«. Dobrym pocztkiem

by¸by zwarty opis ãpo¸oýeÄÓ p«tli

wzgl«dem palcw oraz podstawowych

ruchw, takich jak ãwzi«cie p«tli z pra-

wej r«ki za pomoc ærodkowego palca

lewejÓ itp.

Jedna osoba takýe moýe zaprezento-

wa interesujce zaplatanki. Prbujc

rozwin rachunki dla kociej ko¸yski,

powinniæmy zacz od takiego w¸aænie

przypadku. ûeby pokaza, jak fascynu-

jce s te moýliwoæci, opisz« figur« zwa-

n indiaÄskimi diamentami. Zaczyna-

my w sposb bardzo podobny do

tworzenia kociej ko¸yski, ale nie ca¸kiem

taki sam [ ilustracja z lewej ]. Startujemy

od prostej p«tli (1) , nast«pnie prawym

palcem wskazujcym (2) podnosimy

sznurek przebiegajcy przez lew d¸oÄ

i powtarzamy t« operacj« z praw d¸o-

ni (3) . Pniej zsuwamy p«tl« z kciu-

kw, ¸czc je ze sob i delikatnie, ale

zdecydowanie odsuwamy od siebie d¸o-

nie. Przekr«camy r«ce tak, by wn«trza

d¸oni skierowane by¸y na zewntrz.

Przesuwamy kciuki do przodu pod

wszystkimi sznurkami, zaczepiamy je

na sznurku ma¸ych palcw, odwraca-

my r«ce z powrotem, przybliýajc sznu-

rek ma¸ych palcw ku sobie (4) . Ten

ruch jest bardziej naturalny niý si« wy-

daje, i jeæli go wyprbujesz, to stwier-

dzisz, ýe sznurek wybra¸eæ w sposb

ãoczywistyÓ.

Nast«pnie przeprowadzamy kciuki

ponad sznurkiem b«dcym bezpo-

ærednio przed nimi, a dalej pod ko-

lejnymi sznurkami, tak by je pod-

nieæ grzbietem kciukw (5) Ð w ten

sposb powstaje nast«pny kszta¸t (6) .

Dalej, zginajc i lekko rozstawiajc

d¸onie, zsuwamy p«tle z ma¸ych pal-

cw. Otrzymujemy coæ mocno popl-

tanego, ale od tego momentu zaplatan-

ka robi si« juý coraz prostsza. Zagi-

namy ma¸e palce do siebie, odwracajc

d¸onie, jeæli mamy ochot«, zaginamy

palce nad pierwszym sznurkiem, kt-

ry napotykamy (z p«tli na palcach

wskazujcych) i poniýej nast«pnego

INDIAÁSKIE DIAMENTY powstaj

z cigu p«tli, ktry moýe tworzy jedna

osoba. Zatem rachunek dla tej gry

powinien by ¸atwiejszy do opracowania

niý dla kociej ko¸yski. K¸eczka

przedstawiaj palce, wok¸ ktrych

jest zap«tlony sznurek. Wyczerpujco

skomplikowany cig ruchw

(szczeg¸y w tekæcie) prowadzi

do zadziwiajco prostego uk¸adu.

Uwaga,

wybitni!

SPRZ¢ûENIE ZWROTNE

1997] szukaliæmy liczb pierwszych.

W listach, ktre otrzyma¸em po publika-

cji tego artyku¸u, znalaz¸em pomys¸, kt-

ry chcia¸bym PaÄstwu przedstawi. Po-

chodzi on z Visions of the Future pod

redakcj Clifforda A. Pickovera [ Scien-

ce Reviews , Northwood, England, 1992],

a dok¸adniej z artyku¸u pracujcych

w Netherlands Cancer Institute w Am-

sterdamie Melsa Sluysera i Erika L. L.

Sonnhammera [ãMolecular Biology and

Futuristic Problem SolvingÓ, ss. 151-157].

Sluyser i Sonnhammer zastosowali

program uýywany do badania DNA

i RNA do cigw liczb pierwszych. Ci-

gi RNA maj cztery zasady Ð A, U, C,

G Ð ktre ¸cz si« w pary, tworzc s¸yn-

n podwjn helis«. Cigi o biologicz-

nym znaczeniu powinny wykazywa

pewn nieprzypadkowoæ, poniewaý

rozmieszczenie przestrzenne par zasad

w RNA moýe powodowa uk¸adanie si«

w pewne bardziej sta¸e konfiguracje. Ma-

j one mniej ãwolnej energiiÓ niý przy-

padkowe nie u¸oýone cigi.

Artyku¸ pokazuje, ýe cigi liczb pierw-

szych mog da waýne wyniki, gdy b«-

dziemy je interpretowa jako cigi RNA.

Skutek uboczny to pojawienie si« pew-

nego nowego rodzaju regularnoæci

w zbiorze liczb pierwszych. Puktem wyj-

æcia jest tzw. parytet liczby pierwszej.

Wemy na przyk¸ad liczb« 23, jej zapis

binarny to 10111. S cztery jedynki;

sprawdmy, czy ta liczba jest parzysta,

czy teý nie. W tym przypadku liczba jest

oczywiæcie parzysta, tak wi«c 23 ma ãpa-

rzystyÓ parytet. Wemy cig liczb pierw-

szych 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ... i roz-

bijmy go na pary [2, 3], [5, 7], [11, 13],

[17, 19] itd. Znajdmy odpowiadajcy

im parytet (b«d« uýywa¸ ãPÓ dla parzyste-

go i ãNÓ dla nieparzystego), tworzc no-

wy cig [N, P], [P, N], [N, N], [P, N]...

Oznaczmy [N, N] = A, [P, P] = U, [N, P]

= C oraz [P, N] = G dla ca¸ego cigu

(wybr ten jest dowolny) . Pierwsze dwa-

dzieæcia par daje CGAGUACCACAUCA

CACGCA. Uýyjmy teraz stadardowe-

go programu do obliczenia z¸oýonej

konfiguracji takiego cigu RNA. Otrzy-

mujemy woln energi« Ð 256.9 kcal/mol,

podczas gdy przypadkowe cigi po-

dobnej d¸ugoæci posiadaj ærednio wol-

n energi« Ð 243.6, czyli znacznie wi«k-

sz. Tak wi«c techniki struktury RNA

sugeruj, ýe istniej pewne specjalne,

wyrýnione uk¸ady w cigach liczb

pierwszych.

W ubieg¸ym roku z okazji

åwi«ta Niepodleg¸oæci po raz

pierwszy zosta¸y przyznane

stypendia z Funduszu Pomo-

cy M¸odym Talentom Jolanty

i Aleksandra Kwaæniewskich.

Wyrýniono 11 osb. Stypen-

dia Ð pomoc pieni«ýna, rzeczo-

wa, organizacyjna i meryto-

ryczna Ð s przeznaczone dla

wybitnie uzdolnionych dzieci,

ktre z rýnych przyczyn,

przede wszystkim finanso-

wych, nie mog kontynuowa

nauki lub rozwija swoich ta-

lentw i zainteresowaÄ.

M¸ody cz¸owiek, ubiegajc

si« o stypendium, powinien

wype¸ni kwestionariusz zg¸o-

szenia, a takýe zebra moýli-

wie duýo opinii Ð dyrektora

szko¸y, nauczycieli Ð potwier-

dzajcych jego uzdolnienia

i ciekawe pasje; mog to by

rwnieý dyplomy za udzia¸ w

olimpiadach czy konkursach.

Wnioski stypendialne rozpa-

truje Rada Funduszu.

Kwestionariusze i informa-

cje moýna uzyska w kura-

toriach oæwiaty. W sprawie

stypendium moýna teý zg¸a-

sza si« do Fundacji J. Kwa-

æniewskiej ãPorozumienie

bez barierÓ pod adresem:

00-071 Warszawa, ul. Kra-

kowskie Przedmieæcie 48/50

lub do Biura Spraw Spo¸ecz-

nych Kancelarii Prezydenta

Rzeczypospolitej Polskiej Ð tu-

taj teý naleýy przes¸a do-

kumenty. Adres Kancelarii

Prezydenta: 00-902 Warsza-

wa, ul. Wiejska 10.

Nie ma okreælonego terminu

sk¸adania wnioskw o stypen-

dia. Zaleýnie od ærodkw fi-

nansowych, pomoc moýe by

przyznawana cz«æciej niý raz

w roku. (M)

sznurka (z p«tli na kciukach). Nast«pnie

wyprostowujemy ma¸e palce (8) .

Na tym etapie mamy dwie p«tle na

kaýdym kciuku i uwalniamy je tak jak

poprzednio. Po tej operacji sznurek wy-

glda duýo proæciej (9) , tylko w«ze¸

w ærodku jest popltany, ale to bez zna-

czenia. Poprowadmy kciuk nad dwo-

ma sznurkami tworzcymi p«tl« na pal-

cu wskazujcym, a nast«pnie pod naj-

bliýszym sznurkiem p«tli ma¸ego palca

i z powrotem do miejsca, gdzie zacz«li-

æmy. By moýe w tym momencie trze-

ba b«dzie troch« przekr«ci r«ce (10) .

Nast«pny krok jest niezwyk¸y. Pal-

cami prawej r«ki uchwymy sznu-

rek w punkcie a i przenieæmy go na le-

wy kciuk o u¸amek centymetra dalej.

Powtrzmy t« sam operacj« z drug

r«k. Uwaýajmy, by umieæci sznu-

rek powyýej tego, ktry krzyýuje si«

z nim i idzie od ma¸ego palca. Jeæli zro-

bimy to poprawnie, otrzymamy nowy

wzr (11) Ð i znw szczeg¸y zap«tlone-

go ærodka s nieistotne.

Prawie koniec. Ostatni krok ¸atwiej

wykona niý opisa. Obrmy kciuki

tak, by by¸y zwrcone ku sobie, prze-

prowadmy je przez dziury oznaczone

literk b , a nast«pnie wyprowadmy je

w gr« po stronie bliýszej. Naleýy wte-

dy w¸oýy palce wskazujce do dziur

oznaczonych literk c na rysunku (12)

i wyprostowa. Teraz musimy ostroý-

nie zsun sznurek z ma¸ych palcw

i odwrci d¸onie, kierujc ich wn«trza

na zewntrz i jednoczeænie nacigajc

sznurek. Po pewnej liczbie prb powin-

niæmy otrzyma indiaÄskie diamenty

w ca¸ej okaza¸oæci (13) .

Te dwa przyk¸ady daj zaledwie

przedsmak figur sznurkowych. Jeæli

chcecie dowiedzie si« wi«cej, to zaj-

rzyjcie do ksiýki Caroline F. Jayne

String Figures and How to Make Them

(Dover Publications, 1975). Dobrze jest

zda sobie spraw« z faktu, ýe mimo

wszystkich zadziwiajcych moýliwo-

æci dzisiejsza topologia nie radzi sobie

z t star dzieci«c zabaw. Jednakýe

mam przeczucie, ýe topolodzy podejm

wyzwanie. Takýe czytelnicy mog wy-

myæli rachunek kociej ko¸yski lub teý

dobrze si« bawi, wiczc swoje ãma-

tematyczne mi«ænieÓ w tworzeniu ele-

ganckich figur z prostej p«tli sznurka.

T¸umaczyli

Zdzis¸aw Pogoda i Robert Wolak

* To znaczy, ýe nie da si« tak wygina, rozciga

lub æcisn jednego w«z¸a (bez rozrywania i skleja-

nia), by otrzyma drugi (przyp. t¸um.).

86 å WIAT N AUKI Luty 1998

P ¸ roku temu [ åwiat Nauki , lipiec

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: