Obwody  z  przebiegami  okresowymi  niesinusoidalnymi

Rys.18.1.              Obwód z przebiegami okresowymi niesinusoidalnymi (z diodą o charakterystyce nieliniowej): a) obwód generujący niesinusoidalny prąd przy wymuszeniu napięciem sinusoidalnym; b) ilustracja powstawania niesinusoidalnego prądu

Rys.18.2.              Element nieliniowy (cewka z rdzeniem ferromagnetycznym): a) schemat graficzny nieliniowej cewki; b) charakterystyka B=f(H) nieliniowej cewki i ilustracja generowania niesinusoidalnego prądu

18.1.              Szereg Fouriera i jego zasadnicze postacie

Dowolną funkcję okresową niesinusoidalną f(t) można rozwinąć w szereg Fouriera, jeżeli spełnia warunki Dirichleta, które brzmią:

Ø   funkcja f(t) jest przedziałami monotoniczna w przedziale zamkniętym  áa,bñ ,

Ø   funkcja f(t) jest w tym przedziale ciągłą z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów nieciągłości pierwszego rodzaju, przy czym w każdym punkcie nieciągłości istnieją granice lewostronna i prawostronna     ,              .

Wartość funkcji  w tych punktach nieciągłości jest równa średniej arytmetycznej obu granic:

.

Natomiast w każdym punkcie ciągłości funkcję okresową f(t) o okresie T można przedstawić

szeregu Fouriera, przy czym :      ,                    (18.1)
 

Składnik A0 nazywamy składową stałą lub wartością średnią funkcji f(t), a składniki będące funkcjami argumentu hwt, „h-tą” harmoniczna funkcji okresowej f(t).

,  (18.2)    ,  (18.3)     .                  (18.4)
 

Jeżeli wprowadzi się nowe wielkości ïChïi jh zdefiniowane jako:

             ,            (18.4a)                         .                             (18.4b)
Wielkość Ch można również przedstawić w postaci zespolonej:   .              (18.5)
Wtedy dla poszczególnych wartości harmonicznych h zachodzi

              .                (18.6)
 

Na podstawie wzoru (18.6) szereg Fouriera określany wzorem (18.1) można zapisać w postaci

,              (18.7)
 

gdzie:              ½Ch½- amplituda przebiegu sinusoidalnego dla h-tej harmonicznej,

jh              - faza przebiegu sinusoidalnego dla h-tej harmonicznej.

Postać symboliczna szeregu Fouriera: (  ,              .  )

              .              (18.8)
 

Pamiętając, że ïAhïjest funkcją parzystą, tzn. ïAhï=ïA-hï, a ïBhï jest funkcją nieparzystą, tzn. ïBhï= -ïB-hï, wzór można przekształcić do postaci

      (18.9)    lub                     ,                     (18.10)

gdzie:              .              (18.11)
 

Wyrażenie (18.10) nosi nazwę symbolicznej postaci szeregu Fouriera. Natomiast postać określona wzorem (18.12)

              ,              (18.12)
nosi nazwę funkcji symbolicznej szeregu Fouriera (funkcja stowarzyszona).

Można zauważyć, że zachodzi :   .

Postacie (18.1), (18.7), (18.9), (18.10) szeregu Fouriera są sobie równoważne i w zależności od potrzeby korzysta się z jednej z nich. Istnieje ścisły związek pomiędzy wielkością Ch określoną wzorem (18.5) a wielkością Fmh określoną wzorem (18.11). Mianowicie

,

natomiast                                             .                      (18.13)
 

Zależność (18.13) pozwala w prosty sposób wyznaczyć współczynniki zespolone Fmh, gdy dany jest szereg w postaci (18.6).

Jeżeli funkcja f(t) jest parzysta, tzn. f(t) = f(-t), to szereg (18.1) przyjmuje postać

              .              (18.14)
 

Wykażemy słuszność postaci szeregu Fouriera wyrażoną wzorem (18.14).

Zgodnie ze wzorem (18.1) i definicją parzystości f(t) = f(-t), mamy:

.

Uwzględniając, że  cos(hwt) = cos(-hwt),  oraz  sin(hwt) = -sin(-hwt),  otrzymujemy

              .              (18.15)
 

Równanie (18.15) jest spełnione dla dowolnych wartości czasu t, wtedy i tylko wtedy, gdy . Podobne rozumowanie można przeprowadzić dla funkcji nieparzystej.

Dla funkcji nieparzystej, tzn. f(t) = -f(-t), szereg Fouriera przyjmuje postać:

              .              (18.16)
 

Dla  funkcji  antysymetrycznej,  dla  której  spełniony  jest  warunek,  że  f(t) = -f(t + T/2), w rozwinięciu szeregu Fouriera występują tylko harmoniczne nieparzyste.

              .              (18.17)
 

W elektrotechnice najczęściej korzysta się z symbolicznej postaci szeregu lub z funkcji symbolicznej przebiegu f(t). Można wykazać, że jeżeli dla funkcji

              ,              (18.18)
 

to dla funkcji przesuniętej o pewien interwał czasu t zachodzi

              .              (18.19)
Prawdziwe jest również stwierdzenie, że:                  ,              (18.20)

gdzie:   a, b dowolne stałe.

18.2.              Wartości  skuteczne  przebiegów  okresowych odkształconych  i  rodzaje  mocy

Kwadratem wartości skutecznej funkcji okresowej f(t) zgodnie z definicją, nazywane jest wyrażenie

              .                  (18.21)
 

Wartość skuteczna jest pierwiastkiem kwadratowym ze średniej kwadratowej obliczonej za okres T. Dla funkcji aproksymowanej szeregiem Fouriera (18.1) jej kwadrat wynosi

              .                (18.22)
 

Po zmianie kolejności sumowania i całkowania otrzymuje się

              .               (18.23)
 

Wykorzystując fakt, że:          ,                          ,

wzór (18.23) można zapisać     .                     (18.24)
 

Wyrażenie (18.24) znane jest w teorii szeregów Fouriera pod nazwą wzoru Parsevala.

W ogólnym przypadku dla dowolnej funkcji okresowej f(t) na podstawie wzoru (18.24) otrzymujemy    ...