PROBABILISTYKA

                                                                       I

                                                STATYSTYKA STOSOWANA

                                                                                                    WYKŁAD 4

                                                                                          AUTOR: ANNA NAWROT             

TWIERDZENIE POISSONA (wniosek):

Założenia:

 Jeżeli:

n³50 ,

0<p<0,1,

n×p<10

 Wtedy:

Pn,k = ×pk×(1-p)n-k»(e-l×lk)/k!

 Pn,k – prawdopodobieństwo uzyskania k-sukcesów w n-próbach Bernoulliego;

Przykład 1

Prawdopodobieństwo uszkodzenia pojedynczego aparatu w trakcie jego sprawdzania wynosi 0,05. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w trakcie sprawdzania 100 aparatów uszkodzimy mniej niż 5?

Zadanie to rozwiązujemy w oparciu o twierdzenie Poissona.

W naszym przypadku: n=100,

                                     p=0,05,

                                      q=0,95;

Niech zdarzenie A będzie sukcesem; w naszym przypadku A oznacza zdarzenie polegające na tym, że dany aparat został uszkodzony.

k£4

                                                                                                                                           4                                                                   

P100,k£4 = P100,0+P100,1+P100,2+P100,3+P100,4  = ×(0,05)K×(0,95)n-k

Korzystając z twierdzenia Poissona:

n×p=l=5

                                  4

P100,k£4  »S (e-5×5k)/k!

                           K=0

(Wartość powyższego wyrażenia odczytujemy z tablic).

                                           Zmienna losowa

Niech  (W, S, m) – przestrzeń z dowolną miarą m;

            X: W ® R; (rozpatrujemy dowolne odwzorowanie X);

            BÌR;       X-1[B] :=  { wÎW :  X(w)ÎB };

Definicja

Odwzorowanie X nazywamy m-mierzalnym, jeśli  " aÎR :  X-1[(-¥; a)]ÎS;

Uwaga:

Z własności s-ciał i własności miary:

X-1[(-¥; a)]ÎS Û X-1[(-¥; a>]ÎS Û X-1[(a,¥)]ÎS Û X-1[<a,¥)]ÎS  Û  " AÎB(R),

X-1[A]ÎS;

Gdzie A- dowolny zbiór borelowski;

Niech (W, S, P) – przestrzeń probabilistyczna,

           X:W®R;

Definicja zmiennej losowej:

Mówimy, że X jest zmienną losową, jeśli jest odwzorowaniem P-mierzalnym, tzn. " aÎR:    X-1[(-¥; a)]ÎS, czyli X-1[(-¥; a)] jest zdarzeniem, (tzn. umiemy określić prawdopodobieństwo tego zdarzenia).

Przykład2

Niech (W, S, P)-przestrzeń probabilistyczna,

           W=<0,1>,

           S={f,W,<0,1/2>,(1/2,1>},

           P- prawdopodobieństwo;

 

Pytamy czy X jest zmienną losową?

1. Dla a£0 mamy:

X-1[(-¥; a)]={wÎW: X(w)<a}=fÎS,

2. Dla aÎ(0,1> mamy:

X-1[(-¥; a)]=<0,1/2)ÏS (czyli, rozwiązując zadanie, w tym momencie wiemy już, że X nie jest zmienną         losową),                

3. Dla a>1 mamy:

X-1[(-¥; a)]=WÎS;

Wniosek: Jeżeli rozpatrzymy przestrzeń (W, S, P) to X nie jest zmienną losową. Zdefiniujmy zatem inne s-ciało, np.:

S’={f, W, <0,1/2),<1/2,1>};

W przestrzeni probabilistycznej (W, S’, P)  X jest zmienną losową.                        

Niech (W, S, P)-przestrzeń probabilistyczna          

      X   ¯              

       (R, B(R), Px)     

gdzie X-zmienna losowa, B(R)-zbiory borelowskie na prostej R;

Definiujemy zatem pewną miarę Px:

Px :  B(R)'B®Px(B) := P(X-1[B]) = P({wÎW:X(w)ÎB});

(P:S®R, więc X-1[B]ÎS (a to wynika z definicji, że X-zmienna losowa);

Lemat:

a) X-1[U Bi]=U X-1[Bi];

b) BiÇBj =f  Þ X-1[Bi] Ç X-1[Bj] =f;  przy założeniu, że i¹j;

Twierdzenie:

Odwzorowanie Px jest miarą unormowaną (czyli prawdopodobieństwem).

Dowód:

Etap1: sprawdzenie warunków miary.

a) " BÎB(R)  : Px(B) = P(X-1[B])  ³ 0  

Nieujemność tej funkcji wynika z nieujemności prawdopodobieństwa P.

b) Px(f) = P(X-1[f]) =P(f) = 0;

c) Px(U Bi) = P(X-1[U Bi])  =  P(U X-1[Bi])  = å P(X-1[ Bi]) =å Px( Bi);

                 iÎI                          iÎI            (1)       iÎI                   (2) iÎI                           iÎI

{przejście(1) na podstawie lematu(a), przejście (2) na podstawie lematu(b)}

Etap2: sprawdzenie czy jest to miara unormowana:

Px(R) = P(X-1[R]) = P(W) =1,  zatem Px jest miarą unormowaną, ckd.

Definicja

Prawdopodobieństwo Px nazywamy rozkładem zmiennej losowej X.

Przykład3

Grupa 25 studentów otrzymała następujące wyniki z egzaminu:

Ocena  -    Liczba studentów

   1       -             2

   2       -             4

   3       -             5

   4       -            10

   5       -             4

Zmienna losowa opisuje ocenę uzyskaną przez losowo wybranego studenta. Podaj jej rozkład oraz oblicz Px((1,2>), Px(<2,4>), Px(<3,+¥)).

Niech Ai – „losowo wybrany student otrzymał ocenę ‘i’”;

P(A1)=2/25,

P(A2)=4/25,

P(A3)=5/25,

P(A4)=10/25,

P(A5)=4/25;

X : W'w ® iÎ{1,2,3,4,5}

Px({1}) =  P( X-1[{1}]) = P({wÎW :  X(w)=1}) = P(A1)=2/25,

Px({2}) =  P( X-1[{2}]) = P({wÎW :  X(w)=2}) = P(A2)=4/25,                   

Px({3}) =  P( X-1[{3}]) = P({wÎW :  X(w)=3}) = P(A3)=5/25,

Px({4}) =  P( X-1[{4}]) = P({wÎW :  X(w)=4}) = P(A4)=10/25,

Px({5}) =  P( X-1[{5}]) = P({wÎW :  X(w)=5}) = P(A5)...