DEST 2012test.docx

Przedziały ufności dla rozkładu normalnego

Wzory na funkcje centralne oraz parametry a,b:

Qx,σ2=n-1s2σ2 ~Χ2n-1;a=Χ2α2,n-1;b=Χ21-α2,n-1

Qx,μ=x-μsn ~tn-1;b=t1-α2,n-1;a=-b

Algorytm: Rozwiązujemy nierówność a<Q<b ze względu na parametr σ2/μ

PRZYKŁAD:

1.     Dysponujemy wynikami 16-elementowej próby prostej z populacji o rozkładzie N(µ, σ2), gdzie µ i σ2 są nieznanymi parametrami. Na ich podstawie wyznaczmy przedział ufności dla parametru σ2 wiedząc, że

x= 1n1nxk = 4    oraz    s2= 1 n-11nxk-x2 =16.

Kwantyle χv2(p) rzędu χ2 z v-stopniami swobody:

p

95% przedział ufności dla parametru σ2 ma postać: …………………

Rozwiązanie:

Dane: x=4;s2=16;n=16; α=5%

Qx,σ2=15⋅16σ2=240σ2

a=Χ2α2,n-1=Χ20,025;15=6,2621

b=Χ21-α2,n-1=Χ20,975;15=27,4884

6,2621<240σ2<27,4884

σ2∈8,7310;38,3258

Jednowymiarowa statystyka dostateczna

·        Liczymy pθx=k=1nfθxk i przekształcamy to wyrażenie

·        „Rozwalamy” to na trzy funkcje takie, że pθx=gθTxhx; gdzie h nie zależy od θ, a g zależy od x tylko poprzez T

·        Statystyką dostateczną jest funkcja T(x)

PRZYKŁAD

2.     Niech x = (x1,…,xn)’ będzie próba prostą z populacji o rozkładzie opisanym gęstością

fθx=θ+1θxθI0,1(x) ,   x∈R,

Gdzie 0<θ<1 jest parametrem.

Jednowymiarowa statystyka dostateczna dla parametru θ ma postać: …………..

Rozwiązanie:

pθx=k=1nθ+1θxkθI0,1xk=θ+1θn⋅1k=1nxkθ⋅k=1nI0,1(xk)

Zatem wystarczy wziąć:

Tx=k=1nxk;gθT(x)=θ+1θn⋅1Txθ;hx=k=1nI0,1(xk)

Weryfikacja hipotez

·        Lewa strona nierówności = wartość statystyki testowej

·        Prawa strona nierówności = wartość krytyczna

·        Nierówność spełniona -> odrzucamy hipotezę zerową

μ≠μ0: x-μ0sn≥t1-α2,n-1

μ>μ0: x-μ0sn≥t1-α,n-1

μ<μ0: x-μ0sn≤tα,n-1

σ2≠σ02:Χ21-α2,n-1≤ n-1s2σ2lubn-1s2σ2≤Χ2α2,n-1

σ2>σ02: n-1s2σ2≥Χ21-α,n-1

σ2<σ02: n-1s2σ2≤Χ2α,n-1

PRZYKŁAD:

3.     Dysponujemy wynikami 16-elementowej próby prostej z populacji o rozkładzie N(µ,σ2) gdzie µ i σ są parametrami. Na ich podstawie weryfikujemy hipotezę zerową H0: µ=4 przeciwko hipotezie alternatywnej H1: µ>4, testem Studenta dla jednej próby. Przyjmujemy poziom istotności testu równy 0,05. Na podstawie wyników próby obliczono, że x=1n1nxk=6 oraz s2=1n-11nxk-x2=16. Wartość krytyczna z tablicy: (kwantyle tv(p) rozkładu Studenta)