gm_matematyka_zad2.doc

Kod ucznia .............................................

MAŁOPOLSKI KONKURS MATEMATYCZNY

dla gimnazjalistów

rok szkolny 2008 / 2009

ETAP REJONOWY - 22 stycznia 2009 roku

1.      Zestaw zawiera 14 zadań.
Za bezbłędne rozwiązanie wszystkich zadań możesz uzyskać 30 punktów.

2.      W zadaniach 1.– 4. przedstaw pełne rozwiązania, każde na oddzielnej kartce, pamiętając o wszystkich obliczeniach, potrzebnych uzasadnieniach i odpowiedziach (w czystopisie).
Za poprawne rozwiązanie każdego z zadań 5. – 9. otrzymasz 1 punkt.
Za poprawne rozwiązanie każdego z zadań 10. – 14. otrzymasz 2 punkty.

3.      W zadaniach 5. – 14. spośród 5 proponowanych odpowiedzi tylko jedna jest poprawna.

4.      Odpowiedzi do zadań 5. – 14. zaznacz symbolem X w tabeli odpowiedzi, która znajduje się na końcu arkusza. Tylko odpowiedzi zaznaczone w tabeli będą oceniane. Jeśli się pomylisz, błędne zaznaczenie otocz kółkiem i zaznacz symbolem X inną odpowiedź. Brak wyboru odpowiedzi będzie traktowany jako błędna odpowiedź.

5.      Pamiętaj, że brudnopis podlega zwrotowi, lecz nie podlega ocenie.

6.      Pisz długopisem lub piórem, nie używaj korektora.

7.      Podczas pracy nie możesz korzystać z kalkulatora.

8.      Na rozwiązanie wszystkich zadań masz 120 minut.

Życzymy powodzenia!!!

Zadanie 1. ( 4 pkt )

Z miasta A do miasta B wyruszył samochód jadący ze stałą szybkością x km/h. W tym samym momencie z miasta B do miasta A wyruszył drugi samochód jadący ze stałą szybkością y km/h. Na trasie samochody spotkały się. Od momentu spotkania pierwszy samochód potrzebował 2 godz. 30 min na dojazd do miasta B, a drugi 1 godz. 36 min na dojazd do miasta A. Ile czasu potrzebował każdy z tych samochodów na przejechanie trasy pomiędzy miastami?

Zadanie 2. ( 4 pkt )

Dany jest sześcian ABCDEFGH, którego krawędź ma długość 1. Na krawędziach GH, CB, AE wybrano odpowiednio punkty X, Y, Z w taki sposób, że:
- długość odcinka HX stanowi długości odcinka GH,
- długość odcinka CY stanowi długości odcinka CB,
- długość odcinka EZ stanowi długości odcinka AE.
Oblicz pole trójkąta XYZ.

Zadanie 3. ( 3 pkt )

Oblicz wartość wyrażenia.

(12 + 22 + 32 + … + 20082 + 20092) – ( 1 . 3 + 2 . 4 + 3 . 5 + … + 2007 . 2009 + 2008 . 2010)

Zadanie 4. ( 4 pkt )

Pewien zestaw liczb utworzono według następującej reguły:

„jeżeli weźmiemy dwie kolejne liczby a, b tego zestawu, to następną liczbę otrzymamy dzieląc iloczyn liczb a i b przez ich sumę”.

Wiedząc, że pierwszą liczbą tego zestawu jest , a drugą liczbą jest znajdź

a) trzecią i czwartą liczbę tego zestawu.

b) trzynastą liczbę tego zestawu.

Zadanie 5. ( 1 pkt )

Długości boków kwadratów przedstawionych na rysunku są równe 1.
Pole czworokąta ABCD jest równe

Zadanie 6. ( 1 pkt )

Cyfrą jedności pewnej liczby trzycyfrowej jest 2. Jeżeli tę cyfrę przesuniemy przed cyfrę setek, to otrzymamy nową liczbę trzycyfrową o 36 mniejszą od początkowej. Ile wynosi suma cyfr początkowej liczby?

Zadanie 7. ( 1 pkt )

Anna otrzymuje 25 euro za 6 godzin pracy, a Leszek 49 euro za 12 godzin pracy. Ile godzin muszą obydwoje pracować jako zespół, aby przy takiej samej wydajności pracy każdego z nich, zarobili łącznie 82,5 euro?

Zadanie 8. ( 1 pkt )

Punkty A, B i C są środkami okręgów wzajemnie stycznych ( rysunek obok ).
Okrąg o środku A ma promień r. Obwód trójkąta ABC jest równy

Zadanie 9. ( 1 pkt )

Jaki jest stosunek obwodu wyróżnionej części koła do obwodu tego koła?

Zadanie 10. ( 2  pkt )

Które z podanych równości są prawdziwe dla dowolnych liczb k i m ?

I.                ( k – m )2 = ( m – k )2              II.                ( m – k )2 = ( k + m )2

III.              (– k – m )2 = ( m + k )2              IV.               – ( k – m )2 = ( m – k )2

Zadanie 11. ( 2  pkt )

W pewnej klasie prawie wszyscy uczniowie mają po tyle samo lat. Wyjątek stanowi trzech uczniów: dwóch z nich jest starszych o rok, a jeden jest młodszy o rok od większości uczniów. Wszyscy uczniowie w klasie mają  łącznie 208 lat. Ilu uczniów jest w tej klasie?

Zadanie 12. ( 2 pkt)

W równoległoboku kąt ostry ma miarę 60o. Do boku o długości 6 cm jest prostopadła jedna z przekątnych tego równoległoboku. Oblicz jego pole.

Zadanie 13. ( 2 pkt )

Punkt P = (1, –2) jest jednym z końców wysokości trójkąta równobocznego ABC. Wysokości tego trójkąta przecinają się w początku układu współrzędnych. Oblicz długość a boku tego trójkąta. Rozważ wszystkie przypadki.

A.  a =               ...