Probabilistyka:

W - przestrzeń zdarzeń elementarnych;

w - element – zdarzenie elementarne.

Klasa zbiorów probabilizowalnych dla których określone jest prawdopodobieństwo .

Def. Klasa B zbiorów Borelowskich:

Klasę wszystkich zbiorów, które można otrzymać z przedziałów otwartych za pomocą skończonej  lub przeliczalnej liczby operacji sumy i iloczynu. W szczególności (a,b); <a,b); (a,b>; (-¥,b); (-¥,b>; (a,+¥); <a,+¥), wszystkie zbiory przeliczalne jednopunkt., otwarte, domknięte, cała prosta, zbiór Æ.

Prwdopodobieństwo:

Aksjomat 1. Dla każdego zdarzenia AÎM zachodzi:         0 £ P(A) £ 1

Aksjomat 2. Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego wynosi 1 Þ P(W)=1

Aksjomat 3. Prawdopodobieństwo sumy przeliczalnej ilości parami rozłącznych zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń:

A1 , A2 ,… Î M przy czym Ai Ç Aj = Æ; i¹j

P(A1ÈA2ÈA3…)= P(A1)+ P(A2)+ P(A3)+…

Przestrzeń probabilistyczna:

Trójkę (W,M,P) nazywamy przestrzenią probabilistyczną.

Zmienna losowa:

Niech (W,M,P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową X nazywamy każdą funkcję o wartościach rzeczywistych określoną na przestrzeni zdarzeń elementarnych W, mającą tę własność, że dla każdego zbioru borelowskiego A z prostej R (osi rzeczywistej) X-1(A)ÎM, gdzie:

X-1(A)={w:X(w)ÎA}

X:W®R – zmienna losowa.

Rozkładem zmiennej losowej:

Niech (W,M,P) będzie przestrzenią probabilistyczną, a X -  zmienną losową określoną na przestrzeni zdarzeń elementarnych W. Rozkładem zmiennej losowej X nazywamy rozkład Px określony na klasie B zbiorów borelowskich prostej R następującym wzorem:

Px(A)=P{X-1(A)}=P({w:X(w)ÎA})

Dystrybuanta:

Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F(x) zmiennej rzeczywistej x określoną wzorem:

F(x)= Px((-¥,x))= P({w:X(w)<x})= P(X<x).

Własności Dystrybuanty:

Dystrybuanta F(x) ma następujące własności:

1.         

2.          Dystrybuanta F(x) jest funkcją niemalejącą.

3.          Dystrybuanta F(x) jest funkcją lewostronnie ciągłą:

Tw. Dysterybuanta wyznacza…

Dystrybuanta F(x) zmiennej losowej x wyznacza jednoznacznie rozkład Px tej zmiennej losowej.

Zmienna losowa typu dyskretnego:

Jeżeli istnieje skończony lub przeliczalny zbiór liczb Sx={x1,x2,x3,…} taki, że:

gdzie P(X=xi)=pi¹0 to mówimy, że zmienna losowa jest typu skokowego.

-           Rozkład Px nazywamy skokowym.

-           Liczby xi ; i=1,2,… nazywamy punktami skokowymi zmiennej losowej X, albo rozkładu Px.

-           Prawdopodobieństwa p.i nazywamy skokami zmiennej losowej X, albo rozkładu Px.

Tw. Zmienna losowa typu skokowego:

Zmienna losowa X jest typu skokowego Û

Si [ F(xi+) - F(xi)] =1; gdzie F(x) – jest dystrybuantą zmiennej losowej X, natomiast xi są wszystkimi punktami nieciągłości F(x).

Zmienna losowa typu ciągłego:

Jeżeli istnieje f(x)³0, że dla każdego x dystrybuanta określona jest wzorem:

to mówimy, że zmienna losowa x jest typu ciągłego. Rozkład Px zmiennej losowej x nazywamy w tym przypadku nazywamy rozkładem ciągłym, f(x) – gęstością prawdopodobieństwa (gęstością zmiennej losowej x, lub jej rozkładu Px).

Własności gęstości:

1.          dla każdego xÎR f(x)³0

2.         

Dla zmiennej losowej X typu ciągłego zachodzą następujące wzory:

Tw. Jeżeli dystrybuanta F(x) zmiennej losowej x jest ciągła i różniczkowalna poza skończoną liczbą punktów to zmienna losowa x jest typu ciągłego, a jej gęstość f(x) określamy wzorem:

Def. Wartość oczekiwana zmiennej losowej typu skokowego:

Niech x-zm. Losowa typu skokowego o rozkładzie P(X=xi), i=1,2,… Wartością oczekiwaną tej zmiennej losowej nazywamy liczbę określoną wzorem

EX=Sixip.i o ile ostatni szereg jest bezwzględnie zbieżny.

Wartość oczekiwana zmiennej losowej typu ciągłego:

Niech x- zm. Losowa typu ciągłego o gęstości f(x). Wartością oczekiwaną tej zmiennej losowej nazywamy liczbę określoną wzorem

o ile ostatnia całka jest bezwzględnie zbieżna.

Wariancja.

Wariancją zmiennej losowej x nazywamy liczbę określoną wzorem:

Odchylenie standardowe:

pierwiastek z wariancji – odchylenie standardowe:

Zmienna losowa standaryzowana:

Niech X – dowolna zmienna losowa o wartości oczekiwanej m=EX i wariancji s2; gdzie s>0. Zmienną losową Y określoną wzorem

nazywamy zmienną losową standaryzowaną.

Zmienna losowa dwuwymiarowa:

Niech (W, P) będzie przestrzenią probabilistyczną i niech X, Y będą dwiema zmiennymi losowymi określonymi na tym samym zbiorze W, uporządkowaną parę w=(X,Y)nazywamy dwuwymiarową zmienna losową.

Rozkład zmiennej losowej dwuwymiarowej:

Rozkładem dwuwymiarowej zmiennej losowej w - łącznym zmiennych losowych X i Y nazywamy rozkład prawdopodobieństwa PXY określony na płaszczyźnie R2 wzorem:

PXY(A)=P(w-1(A))=P({w:(X(w),Y(w))ÎA}) dla A Ì C.

Dystrybuanta:

Dystrybuantą dwuwymiarowej zmiennej losowej X, Y     ( łączną zmiennych losowych) nazywamy funkcję F(x,y) określoną wzorem: F(x,y) = P(X<x, Y<y).

Zmienna losowa typu ciągłego:

Jeżeli istnieje taka funkcja nieujemna f(x,y)³ 0, że dla każdej pary (x,y) liczb rzeczywistych dystrybuanta

, gdzie F(x,y) jest dystrybuantą zmiennej losowej (X,Y), to mówimy, że zmienna ta jest typu ciągłego.

Tw. Prawo wielkich liczb Bernoulliego:

Niech Yn , n=1,2,3… będzie ciągiem zmiennych losowych o rozkładzie dwumianowym danym wzorem:

, k=0,1,2,…,n; 0<q<1; p+q =1

Wówczas ciąg zmiennych losowych jest zbieżny wg prawdopodobieństwa do liczby p. tzn.

Tw. Moivre’a – Laplace’a:

Niech Yn , n=1,2,3… będzie ciągiem zmiennych losowych o rozkładzie dwumianowym danym wzorem:

, k=0,1,2,…,n; 0<q<1; p+q =1

oznaczmy przez Un – standaryzowaną zmienną losową o rozkładzie dwumianowym

a przez Fn(u) – dystrybuantę zmiennej losowej Un; Fn(u)=P(Un<u), to ciąg dystrybuant Fn(u) jest zbieżny do dystrybuanty rozkładu normalnego standaryzowanego:

Statystyka

Statystyka:

Statystyką nazywamy każdą funkcję borelowską próby losowej

Y=f(x1 , … , xn)     f:Rn®R