Twierdzenia    +     Dowody

9. Całkowanie przez podstawienie całek oznaczonych. Przykład.

Zachodzi wzór :

Założenia:

- funkcja g ma w przedziale [a,b] ciągłe pochodne,

- funkcja f jest ciągła w zbiorze g([a,b]),

- g(a) = a  ,  g (b) = b

Dowód.

F – fun. pierw f

Przykład.

16. Liniowość całki oznaczonej.

Jeśli , to:

Dowód:

a = x o < x1 < ... < xn = b

Tworzę sumę całkową dla  af(x)  bg(x) :

stąd :

powyższa liczba nie zależy od doboru punktów Ci i ciągu Dn. Stąd zachodzi udowadniany wzór.

17.Całkowanie iloczynu dwóch funkcji całkowalnych.

Jeżeli

Dowód:

18. Gdy f £ g całki oznaczone funkcji f ,g.

20. Twierdzenie o wartości średniej całek oznaczonych.

Jeżeli f : [a,b] ®R jest ciągła, to istnieje takie c Î [a,b] że:

Dowód.

Z tw. Weierstrassa istnieje m,M takie że  m £ f(x) £ M w [a,b], stąd:

Z ciągłości f przyjmuję wszystkie wartości pośrednie pomiędzy    m   a    M.  Jedną z nich jest średnia całkowa. Stąd:

21. Nierówność pomiędzy całkami (moduły).

Jeżeli f całkowalna w sens. Reim. to :

Dowód:

22. Podstawowe tw. rachunku całkowego.

Niech . Funkcja górnej granicy całkowania:

Jeżeli f jest całkowalna to funkcja górn. gran. całkow. F jest ciągła i ma pochodne w każdym punkcie x Î [a,b] w którym funkcja f jest ciągła. Ponadto w każdym punkcie przedziału zachodzi związek F`(x) = f(x).

Dowód:

I. Ciągłośc xo Î [a,b] ,

x < x0

Gdzie M jest pewnym dodatnim ograniczeniem górnym f  tj.

| f(x) | £ M   ,   x Î [a,b]. Istnienie M jest rezultatem całkowalności funkcji f, (f całkowal. są ograniczone) oznacza to:

x > x0

Również:

II. Różniczkowalność.

Zakładam, że f jest ciągła w przedziale x Î [a,b]

Z tw. o wartości średniej dla całek istnieje taki punkt cn Î[x, x+h] że:

23. Wzór Newtona – Leibniza.

Jeżeli funkcja f:[a,b]®R jest ciągła, to :

Dla dowolnej G pierwotnej dla f.

dowód®

Dowód:

G – pierwotna dla f tj.   G`(x) = f(x)

F – pierwotna dla f tj.    F`(x)=f(x)

stąd:

24. Całkowanie przez części całki oznaczonej.

Jeżeli funkcje  u , v   : [a,b]®R mają ciągłe pochodne, to :

Dowód:

25. Twierdzenie o całkach funkcji parzystych i nieparzystych.

f : R®R jest parzysta gdy f (-x) = f (x) a nieparzysta gdy              f (-x) = - f(x).

Jeżeli a > 0 oraz funkcja f: [-a,a] ®R jest ciągła to:

a) jeżeli f jest nieparzysta

b) jeżeli f jest parzysta  

Dowód:

II. Funkcji wielu zmiennych.

23. TW. o ciągłości funkcji różniczkowalnej n zmiennych.

TW. U Ì Rn  jest zbiorem otwartym;  x Î U; 

Jeżeli funkcja  f : U®R jest różniczkowalna w punkcie x, to jest ciągła w tym punkcie.

Dowód:

Należy sprawdzić czy:

Z definicji różniczkowalności istnieje wektor c Î Rn taki,że:

24. TW. o istnieniu pochodnych cząstkowych f n.

TW. U Ì Rn  jest zbiorem otwartym;   x = (x1,x2,...,xn) Î U;

f : U®R. Jeżeli funkcja  f  jest różniczkowalna w punkcie x, to ma w tym punkcie pochodną cząstkową względem każdej zmiennej.

Dowód:

Z różniczkowalności istnieje wektor c=(c1,c2,...,cn) taki, że:

h=(0,..., t,...,0) ( h:=x+tci) ze wzoru (*)

25. WK istnienia extremum lokalnego.

Zakładam f: U®R,  U Ì Rn jest zbiorem otwartym, funkcja f ma w zbiorze U pochodne cząstkowe. Jeżeli funkcja f ma w pkt.        a Î U extremum lokalne, to:

9.Zamiana zmiennych w całce podwójnej.

Niech przekształcenie 1) x = x (u,v),   y = y (u,v) odwzorowuje obszar regularny domknięty D w płaszczy. u i v na obszar regularny domknięty D w płaszczy. x i y. Jeżeli funkcje x,y są klasy C1 to wyrażenie :

nazywamy jakobianem przekształcenia 1).

Jeżeli w przekształceniu 1):

- funkcje x(u,v),  y(u,v) są klasy C1 w pewnym zbiorze otwartym

   U zawierającym obszar regularny D,

- D – obszar regularny

- Wnętrze obszaru D przechodzi w przekształcenie x = x (u,v),

   y = y (u,v) na wnętrze obszaru D,

- Jakobian różny od zera dla każdych (u,v) Î U

- f(x,y) jest ciągła w D

to zachodzi wzór:

10. Zamiana zmiennych na biegunowe.

Założenia punktu9.

x = rcosj,    y = rsinj,

mamy:

8. Własności całek podwójnych.

Założenia: D1,D2,D – obszary normalne.

- - jeżeli D1 D2 nie mają wspólnych pkt. wewnętrznych, to: