stat01.pdf

(187 KB) Pobierz
1
Fizyka
statystyczna
Notatki z wykładu z fizyki statystycznej
prowadzonego na trzecim semestrze fizyki
technicznej przez
Prof. Janusza Wolnego ,
sporządzone przez
Joannę Ropkę
2
Notatki z wykładu z fizyki statystycznej prowadzonego przez prof. Janusza Wolnego ,
sporządzone przez Joannę Ropkę
1. Rozkład dwumienny; przykłady. Liczba stanów
dozwolonych dla układu makroskopowego.
Kiedy mamy do czynienia z dużą ilością obiektów, traktujemy je jako zespół statystyczny , do
którego stosujemy pojęcia prawdopodobieństwa. Zespół statystyczny składa się z bardzo
dużej liczby N układów „podobnych” do siebie. Jeżeli pewien określony wynik doświadczenia
oznaczony został wskaźnikiem r i spośród N układów zespołu wynik ten uzyskany został na
N r układach, wówczas iloraz
P
r  nazywamy prawdopodobieństwem wystąpienia
N
r
N
N . Chociaż nie można przewidzieć wyniku
doświadczenia na pojedynczym układzie zadaniem teorii statystycznej jest przewidzenie
prawdopodobieństwa każdego z możliwych wyników doświadczenia.
N
Należy wprowadzić warunek normalizujący:
P oraz podstawowe prawa rachunku
1
r
1
prawdopodobieństwa:
P
(
r
 )
s
P
r P
s
,
P
(
r
 )
s
P
r P
s
- dla zdarzeń niezależnych.
Zespół statystyczny, którego obiekty mogą znajdować się w jednym z
dwóch stanów z prawdopodobieństwami p i q ( p + q = 1) opisuje ROZKŁAD
DWUMIENNY o rozkładzie prawdopodobieństwa:
P
(
n
)
N
p
n
q
N
n
n
Wartość średnia wyników obserwacji u :
N
u
P
r . Ma ona bardzo proste własności.
u
r
1
Jeżel i f( u) i g (u) są dowolnymi dwiema funkcjami zmiennej u to:
gf
f
g
,
fc
c
f
,
gf
f
g
(ten ostatni związek obowiązuje dla zmiennych nie skorelowanych).
Wartość średnia u jest parametrem, który wskazuje główną wartość, wokół której rozrzucone
będą poszczególne wartości u . Byłoby zatem pożyteczne wprowadzić j ak iś parametr, który
byłby miarą rozrzutu mo ż liwych wartości u dokoła wartości średniej u . Wartość średnia
wielkości  ( u
u
nie może być nigdy
ujemna. Wartość średnią tej wielkości zdefiniowaną jako:
 
N
(
u
)
2
P
u
)
2
P
(
u
u
)
2
nazywamy wariancją zmiennej u .
r
r
r
r
1
r
1
Wariancja może s ta ć się równa zeru tylko wtedy, gdy wszystkie wartości u r równe będą
wartości średniej u . Staje się ona coraz większa w miarę wzrostu prawdopodobieństwa
występowania wartości u różniących się znacznie od u . Wariancja stanowi zatem dogodną
miarę rozrzutu wartości zmiennej u .
http://www.knujon.prv.pl
wyniku r . Stosunek ten jest słuszny dla 
-
) nie może być taką miarą, ponieważ  jest średnio biorąc
jednakowo często dodatnie jak i ujemne. Natomiast wielkość   2
N
(
239476108.019.png 239476108.020.png 239476108.021.png 239476108.022.png 239476108.001.png
 
Notatki z wykładu z fizyki statystycznej prowadzonego przez prof. Janusza Wolnego ,
sporządzone przez Joannę Ropkę
3
Miarą liniową rozrzutu wielkośc i u je st pierwiastek kwadratowy z wariancji, czyli tzw.
odchylenie standardowe :
u
( u
)
2
Przykłady zastosowania rozkładu dwumiennego
 - składową momentu magnetycznego (wzdłuż kierunku „do góry”) dla i -tego
spinu. Interesuje nas całkowity moment magnetyczny M wzdłuż osi skierowanej „do góry”:
N
N
M
. Obliczamy wartość średnią:
i
M
. Prawdopodobieństwo, że jakiś dowolny
i
i
1
i
1
moment magnetyczny ma określoną orientację, jest dla wszystkich mom en tó w takie sa mo , a
zatem dla każdej cząstki średni moment magnetyczny jest taki sam (tzn.
1
  ) i
2
N
można go oznaczyć po prostu przez  . A zatem 
M . Obliczamy teraz wariancję M ,
N
tzn. wielkość
(  , gdzie
)
2
M
M
M
, a
i
 
i
.
N
M
i
i
1
N
N
Aby znaleźć
(  , musimy pomnożyć przez siebie sumę
)
2
i
j
, a więc
1
1
(
M
)
2
(
)
(
)
1
2
N
1
2
N
[(
)
2
(
)
2
(
)
2
]
[
]
1
2
N
1
2
N
N
1
czyli  
N
N
N
(
M
)
2
(
)
2
(
)
(
)
.
i
i
j
i
1
i
1 1
j
j
i
Pierwsza suma daje wszystkie człony kwadratowe otrzymane z pomnożenia przez siebie tych
samych wyrazów sumy. Suma podwójna zaś daje wszystkie iloczyny różniących się od siebie
składników sumy. Każdy z tych iloczynów jest średnio równy zeru, jako że jest on równie
często dodatni jak i ujemny. A zatem wzór zredukuje się do zwykłej sumy wyrazów
kwadratowych
N
(
M
)
2
(
)
2
. Prawdopodobieństwo, że dowolny moment ma jakąś
i
i
1
określoną orientację jest dla każdego z momentów takie samo. Stąd wariancja 2
 będzie
i
taka sama dla każdej cząstki i można ją oznaczyć przez
(  :
)
2
(
N
M
)
2
(
)
2
.
Odchylenie standardowe:
N
M
.
Z powyższych wzorów wynika, w jaki sposób M i  zależą od całkowitej liczby N
cząstek spinowych w naszym układzie. Względna wartość  w stosunku do M jest
proporcjonalna do
1
, czyli maleje z rosnącym N .
N
http://www.knujon.prv.pl
Przykład 1
Rozważmy idealny układ N cząstek o spinie połówkowym, które są statystycznie niezależne.
Przyjmujemy i
i
j
-
239476108.002.png 239476108.003.png 239476108.004.png 239476108.005.png 239476108.006.png 239476108.007.png
4
Notatki z wykładu z fizyki statystycznej prowadzonego przez prof. Janusza Wolnego ,
sporządzone przez Joannę Ropkę
Przykład 2
Rozważmy układ spinów w polu magnetycznym, które wyróżnia kierunek „do góry” z
prawdopodobieństwem p= 0.51, więc q= 0.49. Oznaczamy momenty ustawione „w górę”
 
i
0
, a w dół 0
 
i
. Zatem średni moment magnetyczny względem kierunku do góry
wynosić będzie
p
0
q
(
0
)
(
p
q
)
0
(
2
p
1
0
. Wariancja momentu
magnetycznego cząstki wynosi
(
)
2
(
)
2
p
(
)
2
q
(
)
2
.
0
0
Jednak
0
0
(
2
p
1
0
2
0
(
p
)
2
0
q
,
a także
0
0
(
2
p
1
0
2
0
p
.
A zatem otrzymamy
(
)
2
p
(
2
q
)
2
q
(
2
p
)
2
4
2
pq
(
q
p
)
. Ze względu na to, że
0
0
0
p , otrzymujemy
q
1
(
pq
)
2
4
2
. Ostatecznie
M
N
q
N
( 
p
)
0
oraz
0
(
M
)
2
4
Npq
2
. Odchylenie standardowe wielkości M wynosi:
M
2 
Npq
.
0
0
Pole magnetyczne, w którym znajduje się układ, jest słabe (np. pole ziemskie), odpowiadające
wartościom prawdopodobieństw p= 0.51 i q= 0.49. Podstawiając w artości p i q otrzymamy
średni całkowity moment magnetyczny układu N cząsteczek
M
0 
.
02
N
0
, a odchylenie
standardowe
M
2
Npq
N
0
0
.
A zatem
M
N
μ
0
5 0
.
M
0 0
.
02
Nμ
N
Rozważmy najpierw przypadek, w którym całkowita liczba cząsteczek jest stosunkowo
niewielka, np. N= 100, co daje 5
M
M
, czyli M
 . Rozrzut możliwych wartości M jest
M
w takim przypadku bardzo duży.
Jeżeli natomiast rozważymy układ o rozmiarach makroskopowych, w którym liczba cząstek
jest rzędu liczby Avogadro N= 10 24 , to
M
M
5
10
11
, czyli M
M 
. Rozrzut możliwych
wartości M jest wówczas bardzo m ały w stosunku do wielkości średniego całkowitego
momentu magnetycznego układu M . Gdybyśmy rozpocz ęli robić pomiary wielkości M , to
otrzymalibyśmy niemal zawsze wartości bardzo bliskie M . Dopóki stosowana przez nas
metoda pomiaru nie byłaby wystarczająco dokładna, aby wykryć różnice mom ent u
magnetycznego mniejsze niż 10 -8 %, otrzymywalibyśmy właściwie zawsze wartość równą M ,
nie zdając sobie sprawy z istnienia fluktuacji wokół tej wartości.
RYSUNEK
http://www.knujon.prv.pl
239476108.008.png 239476108.009.png 239476108.010.png 239476108.011.png 239476108.012.png
Notatki z wykładu z fizyki statystycznej prowadzonego przez prof. Janusza Wolnego ,
sporządzone przez Joannę Ropkę
5
Przykład 3
Interesuje nas rozmieszczenie cząsteczek w gazie. W naczyniu o objętości V 0 znajduje
się gaz doskonały złożony z N cząsteczek. Jeżeli gaz znajduje się w stanie równowagi, to
prawdopodobieństwo p znalezienia się jakiejś cząsteczki w objętości V wynosi
p
V
,
V
0
q
V
'
, gdzie (V+V’=V 0 ) .
V
0
N
Obliczamy wartość średnią
n
(
p
i
0
q
i
)
Np
; dla jednej cząstki p
n
1
i
1
(
n
)
2
p
(
n
n
)
2
q
(
n
n
)
2
p
(
p
)
2
q
(
0
p
)
2
pq
2
qp
2
pq
1
(
n
1 )
2
pq
( dla N cząstek.
Odchylenie standardowe: Npq
M
)
2
Npq
n
.
Błąd względny
n
N
pq
q
1
.
n
Np
p
N
Dla ustalonych prawdopodobieństw p i q błąd względny maleje ze wzrostem liczby cząstek N ,
jak
1
.
N
Liczba stanów dozwolonych dla układu makroskopowego
Załóżmy, że mamy do czynienia z układem makroskopowym, dla którego dane są parametry
zewnętrzne wyznaczające poziomy energetyczne układu. Całkowitą energię układu
oznaczymy przez E . Aby ułatwić policzenie stanów, zgrupujemy je według energii, dzieląc
obszar energii na równe małe przedziały o stałej odległości  . Przyjmujemy, że  jest
bardzo małe w skali makroskopowej, tzn. bardzo małe w porównaniu z całkowitą energią
układu, ale duże w skali mikroskopowej, tzn. znacznie większe niż energia pojedynczej
cząstki układu, a więc także dużo większe niż odstępy pomiędzy sąsiednimi poziomami
energetycznymi układu. Każdy przedział  obejmuje bardzo wiele możliwych stanów
kwantowych układu.
Oznaczmy:
( EΩ liczba stanów, których energie znajdują się w przedziale pomiędzy
)
E i E + E δ .
nazywamy gęstością stanów . Jest ona równa liczbie stanów przypadających na jednostkowy
przedział energii przy danej energii E .
(
E
)
 
(
E
)
E
, gdzie )
( jest niezależne od wielości przedziału . Wielkość )
( E
Względna zmiana wielkości )
( E
przy przejściu z jednego przedziału energii do sąsiedniego
jest bardzo mała. Zatem )
( E
można traktować jako gładką funkcję energii E .
( można otrzymać także, gdy znamy wielkość (E :
)
http://www.knujon.prv.pl
239476108.013.png 239476108.014.png 239476108.015.png 239476108.016.png 239476108.017.png 239476108.018.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin