Mtd4.doc

                                                                                                                                                mtd 4 (2008 / 2009)   –  1

Tytus Sosnowski

Kurs 004  (2008 / 2009)

METODOLOGIA  BADAŃ  PSYCHOLOGICZNYCH

Wykład obligatoryjny dla I roku studiów wieczorowych

Wydziału Psychologii UW

Część 4:   POMIAR

ELEMENTY TEORII RELACJI

Uwaga: o elementach teorii relacji nie będzie mówił na wykładzie, bo jest ona przedmiotem wykładu z logiki i nie będzie ona przedmiotem egzaminu. Wykład właściwy zaczyna się od izomorfizmu relacji
 

x pozostaje w relacji (stosunku) R do y

co zapisujemy: x R y  lub  R(x,y),

Relacja zachodzi zawsze w jakimś zbiorze, co zaznaczamy zapisem:

                                          Ù x, y ÎA (x R y)

Dwa sposoby określania relacji (na przykładach):

- relacja „większości” w zbiorze licz naturalnych;

- relacja "jest większy od" w zbiorze liczb naturalnych.

Elementy między którymi zachodzi relacja nazywają się ARGUMENTAMI relacji. Ze względu na liczbę argumentów możemy podzielić relacje na dwu-,  trój- i więcej argumentowe*.

Przykłady

Relacje dwuargumentowa:

                            "x jest większy od y",

                            "Jan kocha Marię".

Relacje trójargumentowa:

                            "x leży pomiędzy y i z".
 

* Wszystkie relacje omawiane w dalszej części rozdziału są
   relacjami dwuargumentowymi.

Element x, pozostający w relacji R do y, nazywa się POPRZEDNIKIEM relacji, a zbiór wszystkich poprzedników relacji -- DZIEDZINĄ relacji.

Element y nazywa się NASTĘPNIKIEM relacji, a zbiór wszystkich następników -- PRZECIWDZIEDZINĄ relacji.

Zbiór wszystkich poprzedników i następników relacji to
POLE relacji.

WYBRANE CECHY RELACJI DWUARGUMENTOWYCH

Relację zachodzącą w danym zbiorze można scharakteryzować za pomocą różnych cech (można badać czy konkretna relacja posiada określone cechy).

ZWROTNOŚĆ

Relacja R zachodząca w zbiorze A jest ZWROTNA jeśli zachodzi między dowolnym elementem tego zbioru a nim samym.

Ù x ÎA (x R x)

Przykład: relacja równości w zbiorze liczb naturalnych (każda liczba naturalna jest równa sobie samej).

Jeśli relacja nigdy nie zachodzi miedzy danym elementem a nim samym mówimy że jest ona PRZECIWZWROTNA.

Ù x ÎA  ~(x R x)

Przykład: relacja większości w zbiorze licz naturalnych (żadna liczba nie jest większa od niej samej).

SYMETRYCZNOŚĆ

Relacja jest SYMETRYCZNA wtedy gdy, jeśli zachodzi między dwoma dowolnymi elementami zbioru w jedną stronę to zachodzi też zawsze w drugą stronę (np. relacja „x jest krewnym y”).

Ù x,y ÎA ((x R y) É (y R x))
 

Relacja jest NIESYMETRYCZNA (ASYMETRYCZNA) gdy zachodząc w jedną stronę nie zawsze zachodzi w drugą stronę (np. „x kocha y”)

Ú x,y ÎA  ~((xRy) É (yRx))

Ú x,y ÎA   ((xRy) Ù ~ (yRx))

Relacja jest PRZECIWSYMETRYCZNA  (ANTYSYMETRYCZNA) gdy zachodząc w jedną stronę nigdy nie zachodzi w drugą stronę (np. „x jest ojcem y”):

               Ù x,y ÎA ((xRy) É ~(yRx))

PRZECHODNIOŚĆ

Ù x,y,z ÎA ((x R y)  Ù  (y R z)) É (x R z)

Przykład: „jest większy” w zbiorze liczb.

SPÓJNOŚĆ

Relacja R jest spójna w zbiorze Z jeśli zachodzi w jedną lub drugą stronę między dwoma dowolnymi elementami tego zbioru:

Ù x,y ÎA  ((xRy) Ú (yRx))

Relacje zwrotne, symetryczne i przechodnie nazywamy relacjami RÓWNOŚCIOWYMI.

Relacje antysymetryczne, przechodnie i spójne SILNIE PORZĄDKUJĄ zbiór.

Relacja która jest antysymetryczna i przechodnia ale nie jest spójna, natomiast spójna jest jej alternatywa z relacją równościową, CZĘŚCIOWO PORZĄDKUJE zbiór (porządkuje wszystkie elementy z wyjątkiem równych).

RELACJA JEDNOZNACZNA
(WIELO-JEDNOZNACZNA)

Dla każdego x istnieje tylko jeden y

Ù x,y,z ÎA ((xRy Ù xRz) É (y=z))

Przykład:  funkcje (np. y = )

RELACJA ODWROTNIE JEDNOZNACZNA
                            (JEDNO-WIELOZNACZNA)

Dla każdego y istnieje tylko jeden x

Ù x,y,z ÎA ((xRy Ù zRy) É (x=z))

Przykład: „X jest matką Y”

RELACJA WZAJEMNIE JEDNOZNACZNA
                            (JEDNO-JEDNOZNACZNA)

Dla każdego x istnieje tylko jeden y i dla każdego y istnieje tylko jeden x (relacja która jest zarazem jednoznaczna
i odwrotnie jednoznaczna).

Przykład: „X pozostaje w związku małżeńskim z Y” w zbiorze małżeństw monogamicznych.

IZOMORFIZM I HOMOMORFIZM RELACJI

Niech będą dane dwa zbiory: zbiór A złożony z elementów
a1, a2, ..., an, między którymi zachodzi relacja R i zbiór B złożony z elementów b1, b2, ..., bn między którymi zachodzi relacja S. Niech będzie dana relacja T taka, że jej dziedziną są elementy zbioru A a przeciwdziedziną elementy zbioru B.

Relacja T odwzorowuje IZOMORFICZNIE relację R na relację S (R jest izomorficzna z S) zawsze wtedy i tylko wtedy gdy T jest relacją wzajemnie jednoznaczną, której dziedziną jest pole relacji R a przeciwdziedziną pole relacji S, przy czym jeśli relacja T przyporządkowuje elementowi element
a elementowi element  , to relacja R zachodzi między
i zawsze wtedy i tylko wtedy, gdy relacja S zachodzi między i .

Gdy przyporządkowanie elementów obu zbiorów jest jednoznaczne (wielo-jednoznaczne) mówimy o odwzorowaniu HOMOMORFICZNYM.

Przykład odwzorowania izomorficznego

Mamy zbiór numerków do szatni (n1, n2, ... nn)
i zachodzącą między nimi relacje "jest mniejszy od".

Mamy zbiór okryć oddawanych do szatni (o1, o2, .. on)
i zachodzącą między nimi relację "zostało oddane do szatni wcześniej niż".

Jeśli szatniarka przydziela numerki okryciom według kolejności oddawania ich do szatni to:

·       każdy numerek jest przydzielony do jednego okrycia i każde okrycie ma przydzielony jeden numerek;

·       jeśli numerek jest mniejszy od numerka to okrycie , któremu przydzielono numerek , zostało oddane do szatni wcześniej niż okrycie któremu przydzielono numerek .

Jeśli jednak szatniarka będzie wieszała kilka okryć razem (dając im ten sam numerek) to odwzorowanie relacji między numerkami na relację między okryciami będzie homomorficzne.

POMIAR

Pomiar jest to obserwacja ilościowa

Narzędziem pomiaru jest skala pomiarowa

SKALA POMIAROWA jest to system relacyjny, złożony z systemu matematycznego i systemu empirycznego, zbudowany w taki sposób, że określone relacje między liczbami odwzorowane są izomorficznie na określone relacje między cechami przedmiotów.

Funkcja przyporządkowująca liczby cechom nazywa się FUNKCJĄ POMIAROWĄ. Liczbę przyporządkowaną danej cesze przez funkcję pomiarową nazywamy MIARĄ LICZBOWĄ tej cechy.

POMIAR to przyporządkowanie liczb obiektom
(pod względem jakiejś cechy) w taki sposób aby (wybrane) relacje miedzy liczbami odzwierciedlały relacje między cechami (obiektami).

POMIAR (konkretnej cechy) CECHY to znalezienie jej miary liczbowej.

RODZAJE POMIARU

Jeśli istnieje funkcja która bezpośrednio przyporządkowuje liczby mierzonym wielkościom (np. przez porównanie obiektu z wzorcem mierzonej wielkości) to mówimy o pomiarze PODSTAWOWYM.

Jeśli mierzymy jakąś wielkość jako funkcję innej wielkości mówimy o pomiarze POŚREDNIM (POCHODNYM)
(np. pomiar temperatury za pomocą pomiaru wysokości słupka rtęci w termometrze.

Jeśli mierzymy cechę C za pomocą innej cechy W będącej wskaźnikiem cechy C, mówimy o pomiarze WSKAŹNIKOWYM.

Nie możemy mierzyć bezpośrednio cech psychologicznych, nie możemy też stosować pomiaru pośredniego (pochodnego).

Pomiar cech psychologicznych można traktować jako pomiar wskaźnikowy pod warunkiem, że pojęcie wskaźnika będziemy rozumieli odpowiednio szeroko, obejmując nim również wskaźniki inferencyjne).

...