lista1.doc

Zadania ze statystyki

Lista 1.

Zad. 1. W pewnym przedsiębiorstwie dokonuje się często obliczeń związanych z kontami jednostkowymi Y produkcji wyrobu dla założonych z góry równych poziomów w produkcji X tego wyrobu. Ekonomiści w dziedzinie kosztów posługują się w tym celu funkcją kosztów postaci:

y = - x + .

              Zatrudniony statystyk postanowił zbadać poprawność stosowania takiej liniowej funkcji jako narzędzia do prognozowania kosztów. Po zebraniu odpowiednich danych statystycznych w odniesieniu do poziomów produkcji x oraz jednostkowych kosztów y danego wyrobu, stwierdził on, że obie wielkości są zmiennymi losowymi o takim rozkładzie:

f(x, y) =

              Na podstawie analizy tego rozkładu dwuwymiarowego (X, Y) należy odpowiedzieć na pytanie, czy posługiwanie się liniową funkcją kosztów y = - x + jest z praktycznego punktu widzenia zupełnie wystarczające?

Zad. 2. W pewnym zakładzie produkcyjnym postanowiono ustalić najekonomiczniejszą liczebność ekipy remontowej maszyn produkcyjnych pewnego ustalonego typu. W zakładzie tym znajduje się 100 maszyn tego rodzaju. Pracują one niezależnie. Prawdopodobieństwo zepsucia każdej z nich jest jednakowe i wynosi p = 0,015. W sprawie wielkości ekipy remontowej wysunięto dwie propozycje. Propozycja A przewiduje 3 – osobową, a propozycja B zakłada 4 – osobową ekipę remontową. Wiadomo też, że liczony na godzinę koszt zatrudnienia ekipy 3 – osobowej wynosi 100 zł, a ekipy 4 – osobowej 120 zł. Gdy ekipa remontowa okaże się za mała (tzn. gdy liczba zepsutych w danej godzinie maszyn przekracza liczebność ekipy), to łączny koszt przestoju maszyn (wraz z kosztami zatrudnienia ekipy) wynosi dla każdej z dwu proponowanych ekip 1000 zł na godzinę.

              Którą z propozycji A czy B powinna zatwierdzić dyrekcja tego zakładu produkcyjnego?

Zad. 3. Wyprodukowano N = 1000 sztuk pewnego wyrobu. Populacja ta (łączna liczba wyrobu) zawiera n1 = 250 sztuk bez usterek, n2 = 500 z jedną usterką oraz n3 = 250 sztuk z dwiema usterkami. Z populacji tej losujemy próbę prostą o liczebności n = 2 (sztuki wyrobu). Niech Z oznacza statystykę będącą sumą liczb usterek wykrytych w obu wylosowanych do próby prostej wyrobach. Partię wyrobu przyjmuje się do sprzedaży, jeżeli w wylosowanej dwuelementowej próbie prostej statystyka Z przyjmie wartość co najwyżej dwa. Jaka jest szansa przyjęcia tej partii wyrobu do sprzedaży?

Zad. 4. W wyniku pobranej próby prostej o liczebności n = 120 mieszkań pewnego nowego osiedla, badanych ze względu na wielkość ( w m2) powierzchni mieszkalnej otrzymano poniższy szereg rozdzielczy:

Dla powyższych danych znaleźć rozkład empiryczny (częstości), obliczyć wartości dystrybuanty empirycznej, sporządzić histogram i dla zmiennej losowej X o rozkładzie normalnym N (m, s) dla m = 41,7 i s = 11,8 porównać częstość z przedziału [45 – 55) z prawdopodobieństwem P (45 ≤ X ≤ 55). Sformułować poprawny wniosek.

Zad. 5. Z populacji X o rozkładzie normalnym N(5, 2) losujemy próbę  prostą  o  liczebności n = 16 elementów.   Obliczyć   prawdopodobieństwo, że średnia z tej próby > 4, czyli P ( > 4) = ?  Wsk. , Xi – są niezależne i każda z nich ma ten sam rozkład, co badana populacja X.