Zadania ze statystyki
Lista 2.
Zadania z rozkładów ciągłych: gamma, beta, normalnego, t-Studenta i F-Snedecora.
Zad. 1. Dwie niezależne populacje mają rozkłady normalne odpowiednio N (10, 8) oraz N (6, 6). Obliczyć prawdopodobieństwo P {X1 > 2 + X2}.
Zad. 2. Dwie niezależne zmienne losowe X1 i X2 mają jednakowe rozkłady normalne N (0, 1). Obliczyć prawdopodobieństwo
P
Zad. 3. Zmienna losowa o postaci (badana populacja) X ma rozkład określony funkcją gęstości prawdopodobieństwa
f(x) = 4 x e-2x dla x > 0.
Obliczyć trzeci moment m3 tej zmiennej losowej.
Zad. 4. Dwie badane niezależnie populacje mają rozkłady gamma odpowiednio z parametrami b1 = 4, p1 = 2 oraz b2 = 4. p2 = 2. Obliczyć prawdopodobieństwo
P .
Wskazówka. Dla obliczenia powyższego prawdopodobieństwa skorzystać z twierdzenia: Jeżeli X1 i X2 są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie gamma odpowiednio z parametrami b, p1 oraz b, p2, to zmienna losowa
Z =
ma rozkład beta (standardowy) o parametrach p = p1 i q = p2.
Postać standardowa rozkładu beta:
f(x) = xp-1 (1 – x)q – 1 dla 0 £ x £ 1,
gdzie B(p, q) = .
Zad. 5. Zmienna losowa X ma rozkład t Studenta o 6 stopniach swobody. Obliczyć sumę prawdopodobieństwa
P (X2 > 13,7) + P ( > 234)
Zad. 6. Zmienna losowa X ma rozkład normalny N (0, 2). Obliczyć P(X2 > 0,592).
Zad. 7. Z odpowiednich tablic odczytano, że
przy czym Xi dla i = 1, ... , 9 mają jednakowe rozkłady normalne. N (0, 2), a Yi dla i = 1, …, 9 mają jednakowe rozkłady normalne N (0, 2), a Yi dla i = 1, …, 4 mają też jednakowe rozkłady normalne N (0, 3); wszystkie Xi i Yi są wzajemnie niezależne. Wyznaczyć wartość stałej k.
Zad. 8. W fabryce produkującej masowo pewien wyrób proponuje się wprowadzenie statystycznej kontroli jakości tego wyrobu, a kontrola ta ma obejmować pewną unormowaną cechę wyrobu, która ma rozkład normalny N (0, 1). Z każdej wyprodukowanej partii wyrobu losuje się niezależnie próbę prostą 9 sztuk i po zbadaniu każdej z nich proponuje się daną partią wyrobu przyjąć, gdy zachodzi
(A) lub (B) .
W przypadku otrzymania w próbie nierówności przeciwnych do podanych w warunku (A) i (B), partię wyrobów będzie się odrzucać, jako niezgodną z wymogami jakości. Technolodzy ustalili, że C2 = 19,7.
Na jakim poziomie należałoby przyjąć C1, aby oba kryteria (A) i (B) przyjęcia wyprodukowanej partii wyrobów były tak samo ostre(równoważne)?
uczelnia.zarzadzanie