rozd3.pdf

(377 KB) Pobierz
QPrint
3. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE
I DYSTRYBUANTY
Niech
, S
,
bħdzie dowolnĢ przestrzeniĢ probabilistycznĢ.
ZmiennĢ losowĢ (ZL) nazywamy funkcjħ
=
(
)
odwzorowujĢcĢ
zbir zdarzeı elementarnych w zbir liczb rzeczywistych .
Np. przy jednokrotnym rzucaniu monetĢ zbir skþada siħ z dwch punktw:
orþa i reszki. JeŇeli orþowi przyporzĢdkujemy 1, a reszce 0, to oczywiĻcie otrzymamy
zmiennĢ losowĢ (ZL).
ZL jest takŇe liczba oczek wypadajĢcych na kostce szeĻciennej.
OdlegþoĻę od poczĢtku ukþadu wspþrzħdnych do losowo rzuconego punktu w
kwadrat
1
0
1
.
Prawdopodobieıstwo
{
B
}
=
{
B
}
=
{
:
(
)
B
nazywa
siħ rozkþadem ZL
.
Niech
B − = . Wwczas na caþej osi rzeczywistej okreĻlona jest funkcja
( x
)
F
(
x
)
=
{(
−
;
x
)}
=
{
:
(
)
(
−
;
x
)}
=
{
(
−
;
x
)}
=
=
{
:
(
)
<
x
}
=
{
<
x
}.
Funkcjħ
F
(x
)
nazywamy dystrybuantĢ ZL
.
Tam, gdzie to nie prowadzi do nieporozumieı, zamiast )
F
(x
bħdziemy pisali
po prostu )
Rozpatrzmy schemat Bernoulliego z prawdopodobieıstwem sukce-
su p i licznoĻciĢ prbki k. Zbir zdarzeı (wynikw) elementarnych w tym przy-
kþadzie skþada siħ ze wszelkich moŇliwych ciĢgw z zer i jedynek o dþugoĻci k. Zda-
rzeniami tu sĢ wszystkie podzbiory zbioru . OkreĻlmy na ZL
P
(
r
,
k
)
=
k
p
r
(
−
p
)
k
− .
r
=
{
=
r
}
r
19
x jest takŇe ZL.
Niech B bħdzie dowolnym zbiorem wartoĻci ZL
0[
y
}
(F .
w sposb nastħ-
pujĢcy: kaŇdemu ciĢgowi zer i jedynek przyporzĢdkowujemy liczbħ jedynek w tym
ciĢgu. Prawdopodobieıstwo r sukcesw jest, jak juŇ wiemy, rwne
169132189.005.png
A zatem dystrybuanta )
F wprowadzonej ZL dana jest wzorem
<
(x
F
(
x
)
=
{
<
x
}
=
{
=
r
}
=
P
(
r
,
k
)
.
r
x
r
<
x
JeŇeli 0
x , to
<
F , jeŇeli zaĻ k
(
x
)
=
0
x > , to 1
F .
( =
x
)
a prostej rzeczywistej rzucany w sposb lo-
sowy punkt: przyjmujemy, Ňe prawdopodobieıstwo wpadniħcia punktu do pewnego
przedziaþu poþoŇonego w odcinku ]
Niech na odcinek ]
[ b
;
[ b
a jest proporcjonalne dþugoĻci tego przedziaþu.
;
OkreĻlmy ZL
w sposb nastħpujĢcy:
( ,
)
=
[ b
a
;
]
, tj. ZL
jest rwna tej
liczbie z odcinku ]
[ b
a , w ktrĢ wpadþ rzucony punkt. JeŇeli a
;
x < , to
F . Niech teraz
(
x
)
=
{
<
x
}
=
0
x
[ b
a
;
]
. Wwczas zdarzenie }
{ x
<
oznacza, Ňe
a . Prawdopodobieıstwo wpadniħcia punktu do tego
przedziaþu jest proporcjonalne do jego dþugoĻci, a wiħc
[ x
;
F
(
x
)
=
{
<
x
}
=
x
−
a
,
b
−
a
jeŇeli zaĻ b
x > , to oczywiĻcie 1
F . Ostatecznie mamy
( =
x
)
0
gdy
x
<
a
,
F
(
x
)
=
x
−
a
,
gdy
a
x
b
,
(1)
b
−
a
1
gdy
x
>
b
.
Ta dystrybuanta wyznacza tzw. rozkþad jednostajny na ]
[ b
a .
;
ss
Niech )
F bħdzie dystrybuantĢ ZL
(x
.
F ma nastħpujĢce wþasnoĻci.
WþasnoĻę monotonicznoĻci: jeŇeli 2
(x
x , to
1 x
F .
(
x
1 x
)
F
(
2
)
lim =
−
F
(
)
0
i
lim
x
F
(
)
=
1
.
x
x
WþasnoĻę lewostronnej ciĢgþoĻci:
x =
lim
F
(
x
)
F
(
x
0
)
.
x
−
0
1. PoniewaŇ dla
x mamy
1 x
2
{
:
(
)
<
x
}
=
, wiħc wþasnoĻę wynika natychmiast z wþa-
snoĻci 3 prawdopodobieıstwa (patrz p. 2.2).
{
<
x
1
}
{
:
(
)
<
x
2
}
=
{ 2
<
x
}
20
punkt wpadþ do przedziaþu )
Twierdzenie 1. Funkcja )
x
=
169132189.006.png
− jest prawdo-
podobieıstwem zdarzenia niemoŇliwego, natomiast
2. PrawdziwoĻę wynika z tego, Ňe
lim
F
(
x
)
=
lim
{
<
x
}
x
x
−
lim
jest
F
(
x
)
=
lim
{
<
x
}
x
x
prawdopodobieıstwem zdarzenia pewnego.
3. Tego punktu dowodzię nie bħdziemy.
ZauwaŇmy, Ňe funkcja )
(F byþaby ciĢgþa prawostronnie, gdybyĻmy przyjħli
F
(
x
)
.
KorzystajĢc z okreĻlenia dystrybuanty )
=
{
x
}
(F ZL
moŇemy natychmiast znaleŅę
prawdopodobieıstwo
{[
a
;
b
)}
=
{
[
a
;
b
)}
=
{
a
<
b
}
dla dowolnego prze-
dziaþu postaci )
[ . Istotnie, z oczywistej rwnoĻci
[
ba −
;
)
− + na mo-
(
;
a
)
=
(
;
b
)
cy addytywnoĻci skoıczonej prawdopodobieıstwa mamy
{
[
a
;
b
)}
+
{
(
−
;
a
)}
=
{
(
−
;
b
)}
,
czyli
.
StĢd wynika, Ňe jeŇeli dana jest dystrybuanta pewnej ZL, to prawdopodobieıstwo
}
{
[
a
;
b
)}
=
{
(
−
;
b
)}
−
{
(
−
;
a
)}
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
jest automatycznie okreĻlone w sposb jednoznaczny na dowolnym przedziale
B, bĢdŅ na sumie przedziaþw rozþĢcznych.
{B
Twierdzenie 2. JeŇeli funkcja )
(F ma wþasnoĻci , i , to istnieje ZL, dla
ktrej funkcja ta jest dystrybuantĢ.
Innymi sþowy, jeŇeli funkcja )
(F posiada wþasnoĻci , i , to jest ona
dystrybuantĢ pewnej ZL.
Rozpatrzmy teraz przykþady rŇnych rozkþadw ZL.
a Ten rozkþad jest skupiony w punkcie a: jeŇeli
ZL losowa
ma rozkþad a , to
a . Dystrybuanta zmiennej losowej
{
=
}
=
1
o
rozkþadzie a ma postaę
F
(
x
)
=
0
gdy
x
a
,
1
gdy
x
>
a
.
p Zgodnie z definicjĢ ZL
n
ma rozkþad dwumia-
nowy
p , jeĻli
n
{
=
k
}
=
n
p
k
(
−
p
)
n
−
k
. Tu parametr n jest liczbĢ naturalnĢ, na-
k
tomiast drugi parametr p przyjmuje wartoĻci
p
(
0
1
; n
k 0
=
. Rozkþad
p bħ-
1
dziemy oznaczali przez p (rozkþad Bernoulliego).
21
169132189.007.png
s b
a, JeŇeli ZL
ma rozkþad jednostajny b
a, ,to jej
dystrybuanta ma postaę (1).
2
JeŇeli ZL
,
ma rozkþad normalny 2
,to jej
,
dystrybuanta ma postaę
= x
(
x
)
1
e
−
(
u
−
)
2
(
2
2
)
du
.
2
,
2
−
Rozkþad 2
,
zaleŇy od dwch parametrw (dowolna liczba rzeczywista) i
>
0
. JeŇeli 0
=
, 1
=
, to taki rozkþad normalny 1
0 nazywamy standaryzowa-
,
nym. Dystrybuanta rozkþadu 1
0 ma postaę
,
1
x
2
−
u
2
=
(
x
)
e
du
.
0
,
1
2
−
Jest oczywiste, Ňe jeŇeli ZL
ma rozkþad 2
,
, to ZL
=
−
ma rozkþad
0 . Istotnie,
,
1
<
−
1
+
x
2
2
−
(
u
−
)
(
2
)
{
<
x
}
=
x
=
{
<
+
x
}
=
e
du
=
,0 x
(
)
,
1
2
−
jeŇeli dokonujemy podstawienia
t
= u
−
. Wynika z tego, Ňe dystrybuanta
(
x
)
rozkþadu 2
,
jest rwna
x
−
, tj. parametry i
majĢ sens
,
2
0
,
1
odpowiednio zsuniħcia i skali. Aby przekonaę siħ, Ňe )
,0 x
(
(lub
x
−
) jest
1
0
,
1
jest funkcjĢ ciĢgþĢ. WþasnoĻę wynika z dodatnioĻci funkcji podcaþ-
kowej. PrawdziwoĻę wþasnoĻci wynika z tego, Ňe
,0 x
1
(
0
,
1
(
−
)
=
0
, co jest oczywi-
ste, oraz
e u
−
2
2
du
=
2
(jest to znana z analizy matematycznej caþka Poissona).
−
ZL
ma rozkþad wykþadniczy ( 0
>
), jeŇeli
jej dystrybuanta ma postaę
x
=
−
u
−
x
e
du
=
1
−
e
,
gdy
x
0
F
(
x
)
{
<
x
}
=
0
0
gdy
x
<
0
.
22
dystrybuantĢ, naleŇy sprawdzię wþasnoĻci , i . WþasnoĻę jest oczywista,
gdyŇ )
169132189.008.png 169132189.001.png 169132189.002.png
Rozkþad wykþadniczy jest szczeglnym przypadkiem tzw. rozkþadu Gamma
.
jest dyskretnym analogonem rozkþadu wykþadnicze-
go. Ten rozkþad ma postaę
{
=
k
}
=
(
−
p
)
p
k
,
p
(
0
1
,
k
=
0
1
...
.
Podobnie rozkþadu normalnemu, ten rozkþad za-
leŇy od dwch parametrw i 0
,
>
. JeŇeli ZL
ma rozkþad CauchyÓego
, to
,
jego dystrybuanta ma postaę
K
(
x
)
= x
1
du
.
,
u
−
2
−
1
+
K rozkþadu 1
,
1
(
jest rwna
0
,
1
x
du
K
(
x
)
=
.
0
,
1
− +
1
u
2
Dystrybuanta rozkþadu
bħdzie rwnaoczywiĻcie
K 1
x
−
.
,
0
,
Tak jak w rozkþadzie 4, þatwo sprawdza siħ tu wþasnoĻci charakterystyczne dys-
trybuanty.
, jeŇeli przybiera ona
tylko wartoĻci caþkowite nieujemne z prawdopodobieıstwami
ZL
ma rozkþad Poissona µ
µ
m
{
=
m
}
=
e
−
µ
, 0
µ ,
>
m
=
0
1
...
.
m
!
Dystrybuanta takiego rozkþadu (tak jak w przykþadzie 1 p. 3.1) ma postaę sumy
= µ−
µ
m
e
,
dla
x
>
0
F
(
x
)
m
!
m
<
x
0
dla
x
0
.
Przeanalizowane przez nas rozkþady 1Î8 moŇna rozbię na dwa typy.
1. Rozkþady typu dyskretnego
Rozkþad ZL
nazywa siħ dyskretnym, jeŇeli ZL
przybiera skoı-
czonĢ lub przeliczalnĢ liczbħ wartoĻci ...
x
1 x
, 2
,
w taki sposb, Ňe
p
k
=
{
=
x
k
}
>
0
,
k
p .
k
=
1
23
,
Dystrybuanta )
0 x
ss µ
169132189.003.png 169132189.004.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin