persym.pdf
(
87 KB
)
Pobierz
273631416 UNPDF
Grupypermutacji,grupysymetrii
1Rozkładpermutacjinacyklerozł¡czne
Zadanie1
Ka»d¡zponi»szychpermutacjiprzedstawwpostaciiloczynucyklirozł¡cznych:
!
!
!
12345
53421
123456
345621
123456
146235
,
,
,
!
!
!
12345678
23451786
12345678
32587614
12345678
13254768
,
,
.
Zadanie2
Wyznacz
2
,
3
,
4
,
5
,
6
oraz
−
1
,je±lijestpermutacj¡:
(123)
2
S
3
,
(12)(34)
2
S
4
,
(1234)
2
S
5
,
(12)(345)
2
S
5
.
Podajrz¡dka»dejztychpermutacjijakoelementuodpowiedniejgrupy.
Zadanie3
Wyznaczwszystkiepot¦gi
(
owykładnikachcałkowitych
)
permutacjizzadania
1
.
Okre±lrz¦dytychpermutacji.
Zadanie4
Udowodnij,»erz¡dpermutacji
(1
,
2
,...,k
)(
k
+1
,k
+2
,...,k
+
l
)
2
S
k
+
l
jestrówny
NWW(
k,l
)
.
Zadanie5
Udowodnij,»erz¡ddowolnejpermutacjijestrówny
NWW
długo±cijejcyklirozł¡cz-
nych.
Zadanie6
Znajd¹wgrupieS
4
wszystkieelementyrz¦du:
1
,
2
,
3
,
4
.
Zadanie7
IleelementówgrupyS
6
:
a)
marz¡drówny
6
,
b)
spełniarównanie
6
=id
?
2Znakpermutacji
Zadanie8
Dlaka»dejpermutacjizzadania
1
:
–wypiszwszystkienieporz¡dkiiokre±lichliczb¦,
–podajdługo±cicykliwyst¦puj¡cychwrozkładzietejpermutacjiiokre±lznakka»degoznich,
–sprawd¹,»eznakpermutacjiwyznaczonyzapomoc¡liczbynieporz¡dkówjesttakisamjak
iloczynznakówcykli.
Zadanie9
Sprawd¹,»ezbiórwszystkichpermutacjiparzystychwS
n
jestpodgrup¡.
Zadanie10a)
Ileelementówrz¦du
2
jestwgrupieA
4
,ailewgrupieA
5
?
b)
Ileelementówrz¦du
4
jestwgrupieA
5
,ailewgrupieA
6
?
Zadanie11
Opiszwszystkieelementyrz¦du
6
wgrupachA
5
,A
6
iA
7
.
Zadanie12
Wyka»,»erz¡dpermutacjinieparzystejjestliczb¡parzyst¡.
Zadanie13
Przedstawmydowoln¡permutacj¦wpostaciiloczynucykli
(
niekoniecznierozł¡cz-
nych
)
.Udowodnij,»etapermutacjajestparzystadokładniewtedy,gdywdanymiloczyniewy-
st¦pujeparzystaliczbacykliodługo±ciparzystej.Zatemliczbacykliodługo±cinieparzystejnie
mawpływunaparzysto±¢permutacji.
1
3Podgrupygrup
D
n
,
S
n
i
A
n
Zadanie14
WyznaczwszystkiepodgrupygrupS
3
,A
4
,D
3
,D
4
,D
5
iD
6
.
Zadanie15
OpiszwszystkiepodgrupygrupyD
n
.
Zadanie16
Sprawd¹,»e:
a)
grupaS
3
jestgenerowanaprzeztranspozycje
(12)
i
(13)
,
b)
grupaA
4
jestgenerowanaprzezcykle
(123)
i
(124)
,
c)
grupaS
4
jestgenerowanaprzeztranspozycje
(12)
,
(13)
i
(14)
.
Zadanie17
Udowodnij,»egrupaS
n
jestgenerowanaprzeztranspozycje,agrupaA
n
jestgene-
rowanaprzezcykledługo±ci
3
.
4Klasyelementówsprz¦»onychwgrupach
D
n
,
S
n
i
A
n
Zadanie18
Dlaka»dego
2
S
3
oblicziloczyn
(123)
−
1
.
Zadanie19
Sprawd¹,»erelacjasprz¦»eniawdanejgrupiejestrelacj¡typurównowa»no±ci.
Zadanie20a)
Niech
!
12345
abcde
=
b¦dziedowolnymelementemgrupyS
5
.Oblicziloczyny:
−
1
(12)
,
−
1
(12)(34)
,
−
1
(123)(45)
.
b)
Opiszwszystkieelementysprz¦»one
(
wgrupieS
5
)
doka»dejznast¦puj¡cychpermutacji:
(12)
,
(12)(34)
,
(123)(45)
.
Zadanie21
Udowodnij,»edwaelementygrupyS
n
s¡sprz¦»onedokładniewtedy,gdymaj¡t¦
sam¡struktur¦cyklirozł¡cznych.
Zadanie22
Dlan
=1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,opiszpodziałnaklasyelementówsprz¦»onychwgrupieS
n
iwyznaczliczb¦elementówka»dejklasy.
Zadanie23
Wyznaczpodziałnaklasyelementówsprz¦»onych:
a)
wgrupachD
3
,D
4
,D
5
iD
6
,
b)
wgrupieD
n
dladowolnegon.
Rozwi¡zania,wskazówki,odpowiedzi
1Odpowied¹.
Naprzykład
!
12345
53421
=(15)(234)
.
2Odpowied¹.
Naprzykładdla
=(1234)
2
S
5
mamy:
2
2
=(13)(24),
3
=(1432),
4
=id,
5
=(1234),
6
=(13)(24),
−
1
=(1432).
3Odpowied¹.
Naprzykład
8
<
id
, n
0(mod6)
,
(15)(234)
,n
1(mod6)
,
(243)
, n
2(mod6)
,
(15)
, n
3(mod6)
,
(234)
, n
4(mod6)
,
(15)(243)
,n
5(mod6)
.
((15)(234))
n
=
:
4Wskazówka.
Niech
=(1
,
2
,...,k
),
=(
k
+1
,k
+2
,...,k
+
l
).Zauwa»,»e
=
,wi¦c
(
)
n
=
n
n
.Wyznacz
n
(
i
)dla
i
2{
1
,
2
,...,k
}
oraz
n
(
k
+
j
)dla
j
2{
1
,
2
,...,l
}
.
5Wskazówka.
Metod¦zzadania4mo»nazastosowa¢wsytuacjiogólnej.
6Wskazówka.
Elementgrupy
S
4
jestjednejznast¦puj¡cychpostaci:id,(
ab
),(
abc
),(
abcd
),
(
ab
)(
cd
),gdzie
a,b,c,d
toró»neelementy.
7Wskazówka.a)
Elementyrz¦du6wgrupie
S
6
topermutacjepostaci:(
abc
)(
de
)i(
abcdef
),
gdzie
a,b,c,d,e,f
toró»neelementy.
b)
Elementygrupy
S
6
spełniaj¡cerównanie
6
=id,topermutacjepostaci:id,(
ab
),(
ab
)(
cd
),
(
ab
)(
cd
)(
ef
),(
abc
),(
abc
)(
de
),(
abc
)(
def
),(
abcdef
),gdzie
a,b,c,d,e,f
toró»neelemen-
ty.Łatwiejjepoliczy¢,je±lizauwa»ymy,»es¡topermutacje,któreniemaj¡postaci:(
abcd
),
(
abcd
)(
de
),ani(
abcde
).
10Wskazówka.a)
Permutacjarz¦du2toiloczynrozł¡cznychtranspozycji.Kiedytakiiloczyn
jestpermutacj¡parzyst¡?
11Odpowied¹.
Naprzykładwgrupie
A
7
elementyrz¦du6topermutacjepostaci(
abcdef
)
i(
abc
)(
de
)(
fg
),gdzie
a,b,c,d,e,f,g
toró»neelementy.
12Wskazówka.
Mo»nasi¦powoła¢nazadanie5,alepro±ciejtowywnioskowa¢bezpo±rednio
zrówno±ci
n
=id.
13Wskazówka.
Tuwystarczyskorzysta¢ztego,»eznakiloczynupermutacjijestrówny
iloczynowiznakówtychpermutacji.
14Rozwi¡zanie.
Znajdziemywszystkiepodgrupywgrupie
D
4
=
{
a
k
b
l
;
k
=0
,
1
,
3
,
4
,l
=0
,
1
}
,
gdzie
a
4
=
e
,
b
2
=
e
i
ba
=
ab
3
.Najpierwwyznaczmypodgrupygenerowneprzezposzczególne
elementy:
h
e
i
=
{
e
}
,
h
a
i
=
h
a
3
i
=
{
e,a,a
2
,a
3
}
,
h
a
2
i
=
{
e,a
2
}
,
h
b
i
=
{
e,b
}
,
h
ab
i
=
{
e,ab
}
,
h
a
2
b
i
=
{
e,a
2
b
}
,
h
a
3
b
i
=
{
e,a
3
b
}
.
Uwaga.Tonies¡wszystkiepodgrupygrupy
D
4
,gdy»w
D
4
s¡jeszczepodgrupygenerowane
przezdwaelementy.
Niech
H
b¦dziedowoln¡podgrup¡grupy
D
4
.Je±lido
H
nale»y
a
lub
a
3
,to
{
e,a,a
2
,a
3
}
H
.
Je±liponadtodo
H
nale»yconajmniejjedenzelementów
b
,
ab
,
a
2
b
,
a
3
b
,to
b
2
H
(np.je±li
a
3
b
2
h
,to
b
=(
a
3
)
−
1
a
3
b
2
H
),wówczas
H
=
D
4
.
Niechteraz
a,a
3
62
H
.Ponadtozałó»my,»e
a
2
2
H
.Wówczas,je±li
b
2
H
,to
a
2
b
2
H
(ina
odwrót)oraz
ab,a
3
b
62
H
(gdy»
a,a
3
62
H
).Podobnie,je±li
ab
2
H
,
a
3
b
2
H
(inaodwrót)oraz
b,a
2
b
62
H
.Mamyzatemtrzymo»liwo±ci:
H
=
{
e,a
2
}
,
H
=
{
e,a
2
,b,a
2
b
}
,
H
=
{
e,a
2
,ab,a
3
b
}
.
Pozostałprzypadek
a,a
2
,a
3
62
H
.(cdn)
PiotrJ¦drzejewicz,wiczeniazalgebry,IIIrokinformatyki,wiosna2003.
Grupypermutacji,grupysymetrii,wersjadruga,2VI2003.
3
Plik z chomika:
monibach
Inne pliki z tego folderu:
strona_3.jpg
(226 KB)
strona_2.jpg
(125 KB)
strona_1.jpg
(202 KB)
persym.pdf
(87 KB)
Inne foldery tego chomika:
Fizyka
Podstawy logiki i teorii mnogości
Podstawy programowania - Pascal
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin